概率分布练习题

概率分布练习题一、预备知识与练习建议在着手练习之前，建议读者确保对以下基础概念有清晰的认识：随机变量（离散型与连续型）、概率质量函数（PMF）、概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF）、期望、方差以及各分布的核心参数（如均值、方差、成功概率等）。练习时，建议先尝试独立思考，明确问题所涉及的分布类型及其原因，再动手计算或推导。对于计算结果，不妨思考其实际意义，这将有助于深化理解。二、离散型概率分布练习题（一）二项分布1.题目：某工厂生产的一批产品中，已知次品率为5%。现从中随机抽取20件进行检验。*（1）求恰好发现2件次品的概率。*（2）求至少发现1件次品的概率。*（3）求发现次品件数的期望与方差。2.题目：一名篮球运动员投篮命中率为70%。假设每次投篮相互独立，他连续投篮10次。*（1）求他投中6次的概率。*（2）求他投中次数多于8次的概率。（二）泊松分布3.题目：某客服热线平均每小时接到6个咨询电话。假设电话呼叫的到来服从泊松分布。*（1）求该热线在某一小时内接到恰好4个电话的概率。*（2）求在15分钟内接到至少1个电话的概率。*（3）该热线在一小时内接到电话数的期望和方差是多少？4.题目：某放射性物质在单位时间内平均发生3次衰变。求在某单位时间内衰变次数不超过2次的概率。三、连续型概率分布练习题（一）正态分布5.题目：已知某地区成年男性的身高（单位：cm）近似服从均值为175，标准差为6的正态分布。*（1）求该地区一名成年男性身高在170cm至180cm之间的概率。*（2）求该地区成年男性身高的90%分位数（即有90%的男性身高低于该值）。*（3）若随机抽取一名成年男性，其身高超过190cm的概率是多少？6.题目：某品牌袋装食品的净含量（单位：g）服从正态分布N(500,4)。（注：此处4为方差）*（1）求一袋食品净含量在498g到503g之间的概率。*（2）若规定净含量低于495g为不合格品，求该产品的不合格率。（二）均匀分布7.题目：某公共汽车站每隔10分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站是等可能的。*（1）求乘客等待时间不超过3分钟的概率。*（2）求乘客平均等待时间是多少？8.题目：一个随机变量X在区间[2,8]上服从均匀分布。*（1）求P(3<X<6)。*（2）求X的期望和方差。四、练习题解析与思路指引（以下为部分题目的思路解析，完整详细的计算过程建议读者自行完成，以达到练习效果。）*题目1（二项分布）：*思路：每次抽取产品可视为一次伯努利试验，“次品”为“成功”，概率p=0.05，n=20。*（1）恰好2件次品：P(X=2)=C(20,2)*(0.05)^2*(0.95)^(18)。*（2）至少1件次品：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(0.95)^20。*（3）期望E(X)=n*p=20*0.05=1；方差Var(X)=n*p*(1-p)=20*0.05*0.95=0.95。*题目5（正态分布）：*思路：身高X~N(175,6²)。涉及正态分布的概率计算，需先进行标准化，即Z=(X-μ)/σ，再利用标准正态分布表或软件求值。*（1）P(170<X<180)=P((____)/6<Z<(____)/6)=P(-0.833<Z<0.833)。查标准正态分布表可得。*（2）90%分位数：找到Z值使得Φ(Z)=0.9，然后X=μ+Z*σ。*题目7（均匀分布）：*思路：乘客等待时间T在[0,10]上服从均匀分布。*（1）等待时间不超过3分钟：P(T≤3)=(3-0)/(10-0)=0.3。*（2）均匀分布的期望E(T)=(a+b)/2=(0+10)/2=5分钟。五、总结概率分布的练习不仅仅是数学计算的演练，更是对随机现象规律认知的深化。通过上述练习题，希望读者能够更好地理解二项分布、泊松分布、正态分布和均匀分布的本质特征、适用条件及计算方法。在实际应用中，准确识别问题所服从的概率分布，并能熟练运用其性质进行分析和推断，是统计学应