初中数学三角形单元综合测试题

初中数学三角形单元综合测试题同学们，三角形是我们平面几何世界中最基本也最重要的图形之一，它的性质和应用贯穿了整个初中乃至更高阶段的数学学习。这份综合测试题旨在帮助大家全面梳理三角形单元的核心知识，检验学习成果，并查漏补缺。请大家认真审题，仔细作答，相信你一定能交出一份满意的答卷！考试时间：90分钟满分：100分一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A.1，2，3B.2，3，4C.2，3，5D.2，4，72.一个三角形的两个内角分别是50°和80°，则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定3.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15m，OB=10m，则A、B间的距离不可能是()(注：此处原题应有图，实际测试时需配上简单示意图：O为一点，OA、OB为连接到A、B的线段，形成三角形OAB)A.5mB.10mC.15mD.20m4.下列说法中，正确的是()A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形的周长和面积分别相等C.全等三角形是指面积相等的两个三角形D.所有的等边三角形都是全等三角形5.如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点，若∠A=50°，∠B=65°，BC=20cm，则∠F的度数及EF的长度分别是()(注：此处原题应有图，示意两个全等三角形的对应关系)A.65°，20cmB.50°，20cmC.65°，10cmD.65°，20cm(原题选项可能重复，实际出题时需调整，此处假设D选项为65°，20cm)6.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数为()A.40°B.50°C.70°D.100°7.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个直角三角形中较小锐角的度数是()A.30°B.45°C.60°D.90°8.下列条件中，不能判定△ABC与△A'B'C'全等的是()A.AB=A'B'，BC=B'C'，∠B=∠B'B.∠A=∠A'，∠B=∠B'，AC=A'C'C.AB=A'B'，BC=B'C'，∠C=∠C'D.AB=A'B'，∠A=∠A'，AC=A'C'二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.三角形具有__________性，而四边形不具有这种性质。10.在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD的面积为10，则△ABC的面积为__________。11.一个多边形的内角和是三角形内角和的3倍，则这个多边形的边数是__________。12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为__________cm。(注：此处原题应有图，示意直角三角形及角平分线)13.等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为__________。14.如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=__________度。(注：此处原题应有图，示意一副含30°和45°的直角三角板顶点重合放置)三、解答题(本大题共6小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(8分)已知一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长为偶数，求这个三角形的周长。16.(8分)如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。(注：此处原题应有图，示意线段关系)17.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A的度数。(注：此处原题应有图，示意等腰三角形及其中的线段关系)18.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6cm。(1)求AB的长；(2)若AD平分∠CAB，交BC于点D，求CD的长。(注：此处原题应有图，示意直角三角形及角平分线)19.(10分)已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F。(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数。(注：此处原题应有图，示意等边三角形内的线段关系，因为AB=AC且∠B=60°，所以△ABC为等边三角形)20.(12分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE。(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，DE、AD、BE之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。(注：此处原题应有图1和图2，分别示意直线MN与△ABC不同的相对位置)---参考答案与解析一、选择题1.B解析：三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。A中1+2=3，不满足；C中2+3=5，不满足；D中2+4=6<7，不满足。2.A解析：第三个角为180°-50°-80°=50°，三个角均为锐角，所以是锐角三角形。3.A解析：根据三角形三边关系，OA-OB<AB<OA+OB，即5m<AB<25m，所以AB不可能是5m。4.B解析：全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，形状和大小都相同，故A、C错误；全等三角形周长和面积一定相等，B正确；等边三角形边长不一定相等，故D错误。5.A解析：全等三角形对应角相等，对应边相等。∠F=∠C=180°-∠A-∠B=65°，EF=BC=20cm。（假设选项A正确，需根据实际图形对应关系调整）6.C解析：等腰三角形两底角相等，∠B=(180°-∠A)/2=(180°-40°)/2=70°。7.A解析：设较小锐角为x，则另一个锐角为2x，x+2x=90°，解得x=30°。8.C解析：A是SAS，B是AAS，D是SAS，均能判定；C是SSA，不能判定全等。二、填空题9.稳定10.20解析：中线将三角形分成面积相等的两个三角形，所以△ABC面积是△ABD的2倍。11.5解析：三角形内角和为180°，则多边形内角和为540°。根据多边形内角和公式(n-2)×180°=540°，解得n=5。12.4解析：角平分线上的点到角两边的距离相等。CD=BC-BD=10-6=4cm，所以点D到AB的距离等于CD=4cm。13.22解析：等腰三角形两边长为4和9，需考虑三角形三边关系。若腰为4，4+4=8<9，不成立；若腰为9，则周长为9+9+4=22。14.180解析：假设一副是含30°、60°的三角板，另一副是含45°的等腰直角三角板。∠AOB=∠AOC+∠COB，∠DOC=∠DOB-∠COB（或根据具体摆放方式，核心是两个直角重叠，∠AOD+∠COB=90°，则∠AOB+∠DOC=∠AOD+∠DOB+∠DOC=∠AOD+∠COB+2∠DOC=90°+90°=180°，具体需结合图形，但结果通常为180°）。三、解答题15.解：设第三边长为x。根据三角形三边关系，得7-3<x<7+3，即4<x<10。因为第三边长为偶数，所以x=6或8。当x=6时，周长为3+7+6=16；当x=8时，周长为3+7+8=18。答：这个三角形的周长为16或18。16.证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SSS）。17.解：设∠A=x。∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x。∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x。∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x。∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°。答：∠A的度数为36°。18.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。∵BC=6cm，∴AB=2BC=12cm。(2)∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°。∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=15°。∴∠ADB=∠CAD+∠C=15°+90°=105°，∠ABD=60°，在△ABD中，∠BAD=15°，故∠ADB=180°-60°-15°=105°（此步可省略）。（方法一：角平分线性质）过点D作DE⊥AB于E，则CD=DE。设CD=DE=y，则BD=BC-CD=6-y。在Rt△BDE中，∠B=60°，∠BED=90°，∴∠BDE=30°。∴BE=1/2BD=(6-y)/2。由勾股定理得DE=√(BD²-BE²)=√[(6-y)²-((6-y)/2)²]=(6-y)√3/2。又∵DE=CD=y，∴y=(6-y)√3/2。解得y=6√3/(2+√3)=6√3(2-√3)/[(2+√3)(2-√3)]=6√3(2-√3)/(4-3)=12√3-18≈2.784cm(此结果非整数，可能题目设计CD为整数，建议用特殊角关系或设未知数用方程)（方法二：设CD=x，则BD=6-x。在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD/AC，AC=BC/tan∠A=6/tan30°=6√3。∠CAD=15°，tan15°=2-√3，x=AC·tan15°=6√3(2-√3)=12√3-18，同上。若题目设定为30°，则简单，但此处AD平分30°为15°，计算复杂，可能原题AD平分∠CAB后，∠BAD=30°/2=15°，确实如此。若为了计算简便，可调整题目数据，或在此处说明CD=6/(√3+1)=3(√3-1)，但学生可能未学分母有理化。此处按原题意，可能期望学生用方程思想，具体数值可能在原题图中有暗示或数据调整。）（考虑到是初中测试，可能更简便的方法是：在Rt△ABC中，AC=√(AB²-BC²)=√(____)=√108=6√3。设CD=x，则BD=6-x。由角平分线定理：AC/AB=CD/BD，即6√3/12=x/(6-x)→√3/2=x/(6-x)→√3(6-x)=2x→6√3-√3x=2x→x(2+√3)=6√3→x=6√3/(2+√3)=6√3(2-√3)/1=12√3-18≈2.78。若题目要求精确值，则保留此形式；若为整数，可能题目中BC长度或角度设置不同。此处按题目所给条件解答。）19.(1)证明：∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形。∴AB=AC=BC，∠BAC=∠C=60°。在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）。(2)解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD。∵∠BFD是△ABF的外角，∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°。答：∠BFD的度数为60°。20.(1)证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°。∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°。又∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE。在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB