华应龙《找次品》课堂实录

华应龙《找次品》课堂实录一、课前絮语：未成曲调先有情（教室里，孩子们已经坐定，眼中充满了对新知的期待。华应龙老师面带微笑，目光温和地扫过每一个孩子，教室里的气氛既安静又活跃。）华应龙：同学们，今天我们要一起研究一个有趣的问题。在生活中，我们偶尔会遇到一些“不完美”的东西，比如，老师手里有三瓶看起来一模一样的口香糖（举起三瓶外包装相同的口香糖），其中有一瓶因为机器的小失误，少装了几粒，变成了“次品”。它跟其他两瓶比，会怎么样？学生（齐声）：轻一点！华应龙：对，轻一点。如果我们只有一架没有砝码的天平，你能想出办法，用最少的次数保证把这瓶次品找出来吗？（稍作停顿，给学生思考时间）别着急回答，今天这节课，我们就来好好琢磨琢磨“找次品”的学问。二、新知探究：层层剥茧探本质（一）初步感知，建立模型华应龙：刚才说的，3瓶口香糖，其中1瓶是次品（较轻）。用天平称，至少称几次能保证找到次品？谁来说说你的想法？生1：我觉得要2次。第一次称两瓶，如果不一样重，轻的那个就是；如果一样重，剩下的那个就是。华应龙（作惊讶状）：哦？他说“如果……如果……”，这两种情况都考虑到了，是吗？那这“至少几次”，是指哪种情况呢？生2：应该是保证能找到的最少次数。就算运气最差，也能在这么多次内找到。华应龙：说得真好！“保证找到”，这四个字很重要。不能靠运气，得是一种必然能找到的方法。那么，按照生1的说法，称1次，是不是就有可能找到？生：是！华应龙：那“至少称几次能保证找到”呢？生（齐声）：1次！华应龙：大家都同意吗？（大部分学生点头）好，我们来模拟一下。（请两位学生上台，配合用教具天平演示）左边放1号瓶，右边放2号瓶。第一种情况，天平不平衡，左边翘起来了，说明什么？生：1号瓶是次品！华应龙：第二种情况，天平平衡了，说明什么？生：3号瓶是次品！华应龙：非常好！看来，3瓶的时候，我们把它分成了几份？（引导学生观察）生：3份，每份1瓶。华应龙：称其中的2份（天平两边各1份），就能根据天平的状态判断次品在哪一份里。如果平衡，次品在没称的那份里；如果不平衡，次品在轻的那份里。所以，3瓶，至少称1次就能保证找到次品。这个“3份”的思路，大家有感觉了吗？（二）深入探究，寻求规律华应龙：好，那如果不是3瓶，是5瓶呢？5瓶口香糖，其中1瓶是次品（较轻），用天平称，至少称几次能保证找到次品？请同学们独立思考，把你的想法用自己喜欢的方式记录下来，可以画一画，也可以写一写。（学生开始独立思考、记录，教师巡视，了解学生的想法，并适时引导。几分钟后，组织小组交流。）华应龙：好，刚才大家都很投入。现在请小组代表分享一下你们组讨论的结果，说说你们是怎么称的，至少需要几次。小组1代表：我们认为要2次。先把5瓶分成2瓶、2瓶、1瓶。第一次称2瓶和2瓶，如果平衡，剩下的1瓶就是次品，1次就够了。但如果不平衡，次品就在轻的那2瓶里，再称1次，就能找出次品。所以至少要2次。华应龙：嗯，这个思路是先分成了2、2、1。还有不同的分法吗？小组2代表：我们是分成1、1、3。第一次称1瓶和1瓶，如果不平衡，轻的就是次品（1次）。如果平衡，次品就在剩下的3瓶里，然后就像刚才3瓶那样，再称1次。所以也是至少2次。华应龙：听明白了吗？这两种分法，虽然第一次分的数量不同，但最终至少都需要2次。那大家比较一下，这两种分法，在运气不好的情况下，哪种更清晰或者说更高效一些？生3：我觉得分成2、2、1和1、1、3差不多，最后都是2次。不过，分成3份好像跟刚才3瓶的方法有点像。华应龙：你这个观察很敏锐！都分成了3份。那么，是不是分的份数越多越好呢？还是有什么讲究？我们再来看一个数——9瓶。9瓶口香糖，1瓶次品（较轻），至少称几次能保证找到次品？这次，我们来挑战一下，看看能不能找到最优化的方法。请同学们先独立思考，再在小组内讨论，把你们的方案记录下来。特别要思考：你是怎么分的？为什么这么分？（学生再次投入思考与讨论，教师参与到部分小组中，引导学生思考“如何分组”是关键。）华应龙：好，时间到。哪个小组先来分享你们的“最优方案”？小组3代表：我们组讨论的结果是至少3次。第一次分成4、4、1。称4和4，如果平衡，剩下的1瓶就是（1次）。如果不平衡，轻的4瓶再分成2、2称一次，轻的2瓶再分成1、1称一次，共3次。华应龙：嗯，这是一种方案。还有不同的吗？小组4代表：我们觉得2次就够了！把9瓶平均分成3份，每份3瓶。第一次称其中两份（3瓶和3瓶）。如果平衡，次品在剩下的3瓶里；如果不平衡，次品在轻的3瓶里。然后，不管哪种情况，剩下的3瓶就像我们刚开始学的那样，再称1次就够了。所以一共是1+1=2次。华应龙（目光中带着赞许）：哇！2次？这个方案听起来很吸引人！大家觉得这个方案可行吗？我们一起来分析一下。把9瓶平均分成3份，每份3瓶。第一次称A份和B份。*如果A=B（平衡），次品在哪里？（生：C份）然后C份3瓶，称1次，共2次。*如果A≠B（不平衡），次品在哪里？（生：轻的那份）比如A轻，次品在A份3瓶里，再称1次，共2次。华应龙：确实！这样一来，不管哪种情况，都只需要2次。太棒了！那为什么同样是9瓶，刚才有的小组需要3次，这个小组只需要2次呢？关键在哪里？生4：分的方法不一样！平均分成3份的话，称一次就能把次品的范围缩小到三分之一，而分成4、4、1的话，运气不好就要缩小到四分之一，但四分之一还是比三分之一多，所以次数就多了。华应龙：你说得太精彩了！“缩小范围”，而且是“尽量缩小范围”。把待测物品平均分成3份，能让我们在每一次称量后，都把次品所在的范围缩小到原来的三分之一，这样当然就最高效了！那如果不能平均分成3份呢？比如刚才的5瓶，我们能平均分成3份吗？（生：不能）5除以3，每份1瓶，还余2瓶。那这种时候，我们怎么分比较好呢？生5：那就尽量平均分，让每份的数量相差最少，比如分成2、2、1，或者1、1、3，就像刚才5瓶那样，每份之间最多差1。华应龙：非常好！也就是说，在找次品时，我们的最优策略是：把待测物品分成3份；能平均分的，就平均分成3份；不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。这样，每称一次，就能最大限度地缩小次品所在的范围，从而用最少的次数保证找到次品。三、巩固应用：拓展延伸促思维华应龙：通过刚才的研究，我们找到了找次品的最优策略。现在，我们来检验一下学习成果。请看大屏幕：1.有6瓶维生素，其中一瓶少了几片（次品较轻），用天平称，至少称几次能保证找到次品？2.有10个零件，其中一个是次品（次品较重），用天平称，至少称几次能保证找到次品？（学生独立完成，同桌互查，然后请学生上台讲解思路。教师重点关注学生是否运用了“三分法”的最优策略。）华应龙（针对10个零件的问题）：10个，不能平均分成3份。怎么分呢？生6：分成3、3、4。第一次称3和3，如果平衡，次品在4个里；如果不平衡，次品在重的3个里。然后再按照之前的方法继续称。所以至少需要3次。华应龙：思路非常清晰！先分成3、3、4，然后根据第一次称量结果，再对3个或4个进行最优分组。看来大家已经掌握了这种“层层递进”的思考方法了。四、总结升华：回味思考品余韵华应龙：同学们，这节课我们一起探索了“找次品”的奥秘。回想一下，我们是怎么一步步找到最优策略的？从3瓶到5瓶，再到9瓶、10瓶，我们经历了猜想、验证、比较、总结的过程。生7：我们知道了要尽量把物品分成3份。生8：能平均分就平均分，不能平均分就让每份相差1。华应龙：是的，这是我们找到的“术”——方法。但更重要的是，我们在这个过程中学会了如何思考问题。当遇到一个新问题时，我们可以从简单的情况入手，通过实验、分析，发现规律，然后再用这个规律去解决更复杂的问题。这种“化繁为简”、“从特殊到一般”的思考方式，是我们数学学习中非常重要的能力。华应龙：生活中，“找次品”的问题无处不在，它不仅仅是一个数学游戏，更是一种优化思想的体现——如何用最少的资源（在这里是称量次数）达到最优的效果。希望同学们能把今天学到的思考方法，运用到今后的学习和生活中去，做一个善于思考、乐于探究的人。（下课铃响）华应龙：今天的课就上到这里，下课！生：谢谢老师！老师再见！五、课后反思：教学相长启新思华应龙老师的《找次品》一课，犹如一场精妙的思维盛宴。他没有直接给出找次品的方法，而是通过巧妙的设问、耐心的引导，让学生在自主探究、合作交流中，经历从具体到抽象、从模糊到清晰的认知过程。1.情境创设“真”而“趣”：以学生熟悉的口香糖为载体，自然引入“找次品”问题，激发了学生的探究欲望。2.问题设计“精”而“准”：从3瓶到5瓶，再到9瓶、10瓶，问题设置层层递进，既符合学生的认知规律，又能有效引导学生聚焦核心问题——如何分组才能用最少的次数保证找到次品。3.学生主体“凸”而“显”：充分给予学生独立思考、动手操作、小组讨论的时间和空间，让学生在“做数学”的过程中主动建构知识，教师真正成为了学习的引导者和合作者。4.数学思想“融