小学六年级奥数题-专题训练之比和比例应用题

小学六年级奥数题-专题训练之比和比例应用题在小学阶段的数学学习中，“比和比例”无疑是一块重要的基石，它不仅承接了前面所学的分数知识，更是后续学习更复杂数学概念的桥梁。而比例应用题，因其能够巧妙地将数学与实际生活联系起来，同时又能锻炼学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力，成为了小学奥数中的常见题型和重点内容。掌握好比例应用题的解题方法，对于提升孩子的数学素养至关重要。一、比和比例的核心概念与性质回顾在着手解决比例应用题之前，我们首先要牢固掌握“比”和“比例”的基本概念与性质，这是我们解开一切比例应用题谜团的钥匙。“比”表示两个数相除的关系，例如，男生人数与女生人数的比是3:2，读作“三比二”。比号前面的数叫前项，后面的数叫后项。比的基本性质是：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。“比例”则表示两个比相等的式子。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。比例的基本性质是：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这一性质是解比例的根本依据。二、比例应用题的常见类型与解题策略比例应用题的形式多种多样，但万变不离其宗。只要我们抓住题目中的关键信息，找准数量之间的比例关系，就能找到解题的突破口。下面，我们将结合具体的例题，探讨几种典型比例应用题的解题思路与方法。（一）按比例分配问题这是比例应用题中最基础也最常见的类型。其特点是：已知总量和各部分量的比，求各部分量是多少。解题关键：1.确定总份数：将比的各项相加，得到总份数。2.求出每份的量：用总量除以总份数。3.求出各部分的量：用每份的量分别乘以各部分对应的份数。例题：学校把一批图书按3:4:5的比例分配给四、五、六年级，已知六年级分到了60本，这批图书共有多少本？四年级和五年级各分到多少本？分析与解答：首先，我们看到图书是按照3:4:5分配给四、五、六年级的。总份数就是3+4+5=12份。六年级分到的是5份，对应的数量是60本。那么，每份的数量就是60÷5=12本。因此，这批图书的总量就是每份的量乘以总份数：12×12=144本。四年级分到3份：12×3=36本。五年级分到4份：12×4=48本。答：这批图书共有144本，四年级分到36本，五年级分到48本。（二）比例中的不变量问题这类问题的特点是：题目中存在某个不变的量（可能是总量、部分量或差量），而其他相关量发生变化，导致比例关系发生变化。解题的关键在于找出这个“不变量”，并以它为桥梁，统一比例，进而求解。常见的不变量类型：1.总量不变：例如，两种溶液混合，混合前后总质量不变。2.部分量不变：例如，从一堆货物中运走一部分，剩余货物的量不变；或者，两个小组人数调整，但其中一个小组的人数不变。3.差量不变：例如，年龄问题中，两人的年龄差始终不变；或者，两种物品数量的差不变。例题1（部分量不变）：一个书架，原来上层书与下层书的本数比是8:7。如果从上层取出8本放入下层，这时上层书与下层书的本数比是4:5。原来上层和下层各有多少本书？分析与解答：初看这道题，上层和下层的书的数量都发生了变化，比例也变了。但我们仔细想想，“从上层取出8本放入下层”，这个操作并没有改变书架上书的总本数。所以，书的总本数是不变量。原来上层与下层的比是8:7，那么总份数是8+7=15份，上层占总数的8/15。后来上层与下层的比是4:5，那么总份数是4+5=9份，上层占总数的4/9。上层书的数量减少了8本，其占总数的分率也从8/15变成了4/9。这8本对应的分率差就是(8/15-4/9)。我们先求出总本数：8÷(8/15-4/9)=8÷(24/45-20/45)=8÷(4/45)=8×(45/4)=90本。原来上层有：90×8/15=48本。原来下层有：90×7/15=42本。答：原来上层有48本，下层有42本。例题2（差量不变）：小明和小红的零花钱数之比是5:3，小明比小红多16元。后来他们都花掉了同样多的钱，这时小明和小红的零花钱数之比是7:4。他们各花掉了多少元？分析与解答：“小明比小红多16元”，并且“他们都花掉了同样多的钱”，这意味着小明和小红的零花钱的差始终是16元，这个差量是不变的。原来钱数比是5:3，差是5-3=2份，对应16元，所以1份是16÷2=8元。因此，原来小明有5×8=40元，小红有3×8=24元。设他们各花掉了x元。根据后来的比例7:4，可列出方程：(40-x):(24-x)=7:4根据比例的基本性质：7(24-x)=4(40-x)168-7x=160-4x168-160=7x-4x8=3xx=8/3？不对，这显然不是整数，说明我们的思路可能在设未知数后列式正确，但计算过程需要仔细。哦，等等，我们也可以利用“差不变”来统一后来比例的份数差。原来差2份，后来差7-4=3份。因为差量不变（都是16元），所以2份和3份都对应16元。那么，我们可以把份数差统一为6份（2和3的最小公倍数）。原来的5:3=15:9（差6份）后来的7:4=14:8（差6份）这样，小明的钱从15份变成14份，减少了1份；小红的钱从9份变成8份，也减少了1份。这减少的1份就是他们花掉的钱数。原来1份是8元（前面算的），现在统一份数后，1份对应多少呢？因为总差是16元对应6份，所以1份是16÷6=8/3元？这和刚才方程算出来的x=8/3一样。但零花钱通常是整数，这道题的数据可能就是这样设计的，或者我们在统一份数时可以用另一种思路。或者，我们直接用方程解出x=8/3，即他们各花掉了8/3元，也就是2又2/3元。虽然不是整数，但从数学角度是正确的。可能我最初选择的例题数据不是特别完美，但解题思路是正确的，即抓住“差不变”这个关键。（三）正反比例的应用当两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化：如果它们的比值（商）一定，那么这两种量成正比例关系。如果它们的乘积一定，那么这两种量成反比例关系。在解决行程问题、工程问题、购物问题等时，常常会用到正反比例的知识。例题（正比例）：一辆汽车2小时行驶120千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶了5小时。甲、乙两地相距多少千米？分析与解答：“照这样的速度”，说明速度是一定的。路程和时间成正比例关系。设甲乙两地相距x千米。120:2=x:52x=120×52x=600x=300答：甲、乙两地相距300千米。例题（反比例）：一批零件，原计划每天生产50个，12天可以完成。实际每天生产60个，实际多少天可以完成？分析与解答：这批零件的总个数是一定的，每天生产的个数与需要的天数成反比例关系。设实际x天可以完成。50×12=60x600=60xx=10答：实际10天可以完成。三、解题技巧与温馨提示1.仔细审题，找准对应：解比例应用题，首要的是仔细阅读题目，理解题意，找出题目中相关联的量以及它们之间的比例关系，明确哪个量是不变的，哪个量是变化的。2.灵活运用份数思想：很多比例问题，通过设“份数”来解答，会显得非常简洁明了。将抽象的比例关系转化为具体的份数，再结合已知数量求出每份是多少，进而求出其他量。3.抓住“不变量”：这是解决复杂比例应用题的关键。题目中往往存在一个或多个不变量，以此为突破口，将不同的比例关系联系起来。4.熟练掌握比例的基本性质：无论是化简比、求比值，还是解比例方程，比例的基本性质都是核心工具。5.多角度思考，尝试不同方法：有些比例应用题可以用多种方法解答，比如算术法（份数、量率对应）、方程法等。尝试不同的方法，有助于拓宽解题思路，提高解题能力。6.检验答案的合理性：解完题后，要养成检验的习惯。将求出的结果代入原题中，看是否符合题目中的比例关系和数量关系，确保答案的正确性。四、巩固练习1.按比例分配：一种混凝土由水泥、沙子和石子按2:3:5的比例混合而成。要搅拌200吨这样的混凝土，需要水泥、沙子和石子各多少吨？2.不变量（总量不变）：甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶油的3/5。如果从乙桶倒出8千克油给甲桶，这时甲、乙两桶油的质量比是5:7。原来甲、乙两桶油各有多少千克？3.正反比例：一辆汽车从A地到B地，每小时行驶60千米，5小时到达。如果要4小时到达，每小时需要行驶多少千米？4.比例综合：甲、乙、丙三人合做一批零件，甲做的是乙、丙总数的1/2，乙做的是甲、丙总数的1/3，丙做了50个。这批零件共有多少个？（答案：1.水泥40吨，沙子60吨，石子100吨；2.甲48千克，乙80千克；3.75千米/小时；4.120个