小学五年级数学上册典型例题序列·可能性单元多维突破知识清单

小学五年级数学上册典型例题序列·可能性单元多维突破知识清单

一、核心素养导向的单元知识体系建构

本单元“可能性”隶属于统计与概率领域，是学生初次系统学习随机现象的重要窗口。本知识清单旨在超越简单的概念记忆，引导学生从数学的本质出发，建立初步的数据分析观念和随机思维。我们将从四个核心维度构建知识框架：确定性与不确定性的哲学辨析、可能性大小的量化比较、基于可能性的逆向推理、以及随机思想在游戏公平性中的价值判断。这不仅是为应对考试，更是为了培养用概率的眼光观察世界的关键能力。

二、核心概念与原理深度解析

（一）随机现象与确定现象的本质区别【基础】▲

在数学中，我们可以根据事件发生的结果是否唯一，将其划分为确定现象和随机现象。确定现象指的是在一定的条件下，事件的结果是预先可以确定的。这包括两种情况：一是必然事件，即条件具备时一定发生，例如“一个星期有7天”；二是不可能事件，即条件具备时一定不发生，例如“正方形是圆形的”。这类事件我们用“一定”或“不可能”来描述。而随机现象（或称不确定现象）则是指在同一条件下，每次观察或试验可能出现不同的结果，且哪一个结果会出现事先无法预料。例如“抛掷一枚硬币，落地时哪一面朝上”，尽管我们知道只有两种可能，但每一次抛掷前都无法确定。对于这类事件，我们用“可能”来描述。这是整个概率论的基石，务必清晰区分。【非常重要】

（二）可能性大小的度量与比较【核心考点】★★★

随机事件发生的可能性是有大小的，这种大小在数学上称为概率。在本学段，我们主要通过定性分析和简单定量计算来比较可能性大小。其核心原理是：可能性的大小与事件所包含的结果的数量直接相关。在总结果数量相同的情况下，某个事件所包含的结果数量越多，它发生的可能性就越大；反之则越小。例如，在一个不透明的袋子里放入4个红球和1个白球，因为红球的数量多，所以摸出红球的可能性就比摸出白球的可能性大。反之，如果已知摸出红球的可能性大，我们可以推断袋子里红球的数量可能比较多。这体现了由因推果和由果溯因的辩证思维。

（三）等可能性与游戏的公平性原则【难点与应用】▲▲

等可能性是随机事件中一个非常重要的特例，指在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相等。例如，一个质地均匀的正方体骰子，掷出每个数字（1-6）的可能性都是相等的，这就是等可能性。基于此，判断一个游戏规则是否公平，其核心标准就是看参与游戏的各方获胜的可能性是否相等。如果各方获胜的可能性相等，则游戏公平；如果不相等，则游戏不公平。设计公平游戏规则的本质，就是利用等可能性，将获胜的条件分配给各方，使每个人获胜的概率相同。这不仅是数学知识，更是社会规则意识的启蒙。

三、高频考点与典型例题全解析

（一）考点一：用“一定”、“可能”、“不可能”描述生活现象【热点】

1.考向分析：此考点主要考查学生对确定事件和随机事件的直观判断能力，常以选择题或判断题形式出现。

2.解题策略：仔细分析题目描述的事件，结合生活经验和常识，判断其结果是唯一的（肯定怎样或肯定不怎样）还是有多种可能的。切忌主观臆断，要基于客观事实。

3.典型例题：判断：太阳（）从东方升起。明天（）会下雨。鱼（）生活在水中。

4.解答要点：第一个空填“一定”，这是自然规律；第二个空填“可能”，天气变化无法精确预测；第三个空填“一定”，这是鱼类生存的基本条件。

5.易错警示：学生容易混淆“不可能”和“可能不”。例如，“明天不可能下雨”与“明天可能不下雨”表达的意思完全不同，前者是完全否定，后者是包含不下的可能性。必须严格区分。

（二）考点二：比较事件发生的可能性大小【高频考点】★★★★

1.考向分析：通常以摸球、转转盘、掷骰子等游戏为背景，要求比较两种或多种结果出现的可能性大小。这是本单元最重要的计算与说理题型。

2.解题步骤（三步法）：

[1]定总数：明确所有可能出现的等可能结果共有多少种。

[2]数个数：分别数出目标事件所包含的结果有多少种。

[3]作比较：哪种目标事件包含的结果多，哪种可能性就大。如果总结果数已知，也可以用分数表示可能性的大小，从而进行精确比较。

3.典型例题：一个盒子里有形状大小相同的3个红球和5个黄球，任意摸出一个，摸到（）球的可能性大。如果要使摸到红球的可能性大，至少需要再放入（）个红球。

4.解答要点：第一问，黄球数量多，所以摸到黄球的可能性大。第二问，要使红球可能性大，需使红球数量超过黄球。目前黄球5个，红球至少需要6个，所以需要再放入3个红球。

5.思维提升：当题目中球的数量发生改变时，可能性大小也会随之改变，这是一种动态的函数思想雏形。

（三）考点三：根据可能性大小推测数量【难点与逆向思维】▲▲

1.考向分析：给出多次实验（如摸球、抽签）的统计数据，要求学生反推盒子里哪种颜色的物体多或少。

2.解题原理：实验次数足够多时，事件发生的频率会接近它的可能性大小。因此，在实验中，摸出次数多的那种颜色的球，其原始数量很可能就多；摸出次数少的，其数量很可能就少。

3.典型例题：下表是从一个袋子里摸20次球的记录（摸出后放回摇匀）。根据此表，最有可能袋子里（）球多，（）球少。

颜色红球白球

记录正正正正

次数155

4.解答要点：红球摸出15次，白球摸出5次，红球出现的频率远高于白球，因此最有可能袋子里红球多，白球少。需要注意的是，这只是一个基于统计规律的“可能性”推测，不是绝对的“一定”。

5.易错点：学生容易将“推测”理解为“确定”。教师需强调，即使红球摸出次数多，也不能100%断定袋子里红球一定多，只能说“可能性很大”或“很可能”。

（四）考点四：游戏规则的公平性设计与判定【综合应用】★★★★★

1.考向分析：通常给出一个游戏规则，让学生判断是否公平，并说明理由；或者让学生自己设计一个公平的游戏规则。这是将数学知识应用于解决实际问题的典型体现。

2.解题步骤：

[1]找结果：列出游戏可能出现的所有结果。

[2]算概率：分别计算各方获胜的可能性大小。

[3]判公平：比较可能性是否相等。若相等，则公平；若不相等，则不公平，且可能性大的那一方占优势。

[4]改规则：如果要让游戏公平，就要修改规则，使得双方获胜的可能性相等。

3.典型例题：小军和小明玩掷骰子游戏。骰子六个面上分别写着1-6。小军说：“掷到大于3的点数我赢，掷到小于3的点数你赢。”请问这个游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的规则。

4.解答要点：不公平。因为大于3的点数有4、5、6共3种，小于3的点数有1、2共2种。小军获胜的可能性是3/6，小明获胜的可能性是2/6，两者不相等，小军更占优势。

设计公平规则（示例一）：掷到1、2、3小军赢，掷到4、5、6小明赢。这样双方获胜的可能性都是3/6，即1/2。

设计公平规则（示例二）：掷到单数小军赢，掷到双数小明赢。单数有1、3、5三种，双数有2、4、6三种，双方可能性相等。

5.拓展思考：公平的游戏不一定只有50%对50%这一种形式。只要是参与者各自获胜的可能性相等，就是公平的，例如三人游戏，每人概率1/3也是公平的。

四、解题方法与思维建模

（一）枚举法与列表法：当情况比较复杂时，如同时掷两个骰子求点数和的概率，需要运用枚举法或列表法将所有可能的结果有序地列举出来，做到不重不漏。这是解决较复杂可能性问题的基本策略。

（二）分数表示法：本单元虽然不要求进行复杂的分數加减乘除，但要求学生能用分数表示可能性的大小，如“从10张卡片中抽到唯一一张中奖卡的可能性是1/10”。掌握这一点，有助于学生更精确地描述和比较可能性。

（三）正反对比思维：在判断游戏公平性或进行可能性大小比较时，不仅要看“赢”的概率，有时也要考虑“输”的概率或“平”的概率。例如，一个游戏可能出现“甲赢、乙赢、平局”三种结果，我们需要综合比较甲赢和乙赢的概率是否相等，平局不影响公平性判断。

五、单元典型易错点集中剖析

（一）对“不可能”与“可能”的误判：容易将生活中极少发生的事件误判为不可能事件。例如，“人长生不老”在目前科技下是不可能的，而“买彩票中500万”虽然可能性极小，但在数学上属于可能事件，因为存在中奖号码。

（二）混淆“数量多少”与“可能性大小”的直接关系：认为某种颜色的球绝对数量多，摸到的可能性就一定大。这是正确的，但要警惕陷阱。例如，甲袋有10红5白，乙袋有20红15白。甲袋红球可能性是10/15=2/3，乙袋红球可能性是20/35≈4/7，虽然乙袋红球绝对数量多，但乙袋摸到红球的可能性反而比甲袋小。因此，比较可能性大小必须看“占比”，而不是单纯的“数量”。

（三）设计公平游戏时规则不清晰或不等可能：学生在设计游戏时，可能会提出诸如“摸到红的男生赢，摸到蓝的女生赢”这样看似公平的规则，但如果不说明袋子里红球和蓝球的数量相等，这个规则就是不公平的。设计规则时，必须保证决定胜负的每种情况发生的可能性是相等的。

（四）受主观意愿影响：在分析可能性时，学生容易说“我想摸到红球，所以摸到红球的可能性大”。这是典型的用主观愿望代替客观事实。必须强调，可能性的大小是由客观条件（如数量、面积等）决定的，与个人喜好无关。

六、综合拓展与跨学科视野

（一）可能性在统计中的运用：可能性是统计学的基础。通过“掷一掷”等综合实践活动，我们经历“猜想—实验—数据收集—分析—验证”的全过程，深刻理解随机事件的偶然性与大量重复实验下的统计规律性（即大数定律的初步感知）。例如，掷两个骰子，点数和为5、6、7、8、9的可能性比和为2、3、4、10、11、12的可能性大，可以通过组合数学（如列表格数组合）来解释，这正是核心素养中“数据分析观念”的具体体现。

（二）跨学科融合：

1.与科学融合：生物的遗传与变异也具有随机性。例如，一对双眼皮的父母生出单眼皮的孩子，这就像是摸球游戏一样，是一种可能发生的事件。

2.与语文融合：学习用精确的词语表达不确定性和确定性。例如“大概”、“或许”、“一定”、“必定”这些词语在语文中的准确使用，与数学中的“可能”和“一定”有着异曲同工之妙。

3.与德育融合：理解“公平”的数学内涵，即机会均等。这有助于学生在生活中建立规则意识，理解通过掷硬币、抽签等方式决定先后是公平的，从而学会尊重规则，敬畏规则。

（三）生活应用建模：预测天气预报中的降水概率，理解“降水概率30%”并不代表30%的时间下雨，而是指在类似条件下100次中有30次会下雨；了解彩票中奖率，建立正确的财富观和风险意识；企业在做决策时，也会评估各种