532 简单的轴对称图形（复习）知识清单（七年级数学下册）

532简单的轴对称图形（复习）知识清单（七年级数学下册）

一、★【基础概念与核心原理】轴对称现象面面观

（一）轴对称图形与轴对称的定义辨析

1、轴对称图形：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这是一个“一个图形”的自对称特性。【基础】【必会】

2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。这是描述“两个图形”之间的位置关系。【基础】【必会】

3、★★【高频混淆点】两者的区别与联系：区别在于对象数量不同，轴对称图形研究的是一个具有特殊形状的图形，而轴对称研究的是两个全等图形之间的位置关系。联系在于，若把轴对称的两个图形看作一个整体，则它就是一个轴对称图形；反之，若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两个部分关于这条直线成轴对称。这是选择题中常见的概念辨析考点。【易错点】

（二）★【核心性质】轴对称的性质

1、对应点连线被对称轴垂直平分：关于某条直线对称的两个图形，它们的对应点所连的线段被对称轴垂直平分。这是作图与计算的根依据。【非常重要】

2、对应线段相等，对应角相等：成轴对称的两个图形是全等形，因此它们的对应边长度相等，对应角大小相等。

3、对应线段或其延长线的交点：如果两组对应线段（或延长线）相交，那么交点一定在对称轴上。

二、★★【模型与性质】两种基本图形的轴对称性

（一）线段——最简单的轴对称图形之一【重点】

1、轴对称性：线段是轴对称图形，它有两条对称轴。一条是它的垂直平分线（中垂线），另一条是线段本身所在的直线（这条对称轴通常容易被忽略，需特别注意）。【基础】

2、★★★【高频考点】线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。这是证明两条线段相等的重要途径，常与等腰三角形、全等三角形综合考查。【非常重要】

3、★★★【高频考点】线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。常用于证明点在直线上或直线过定点。

4、应用模型：在几何题中，遇到“垂直平分”或“中垂线”字眼，要立即联想到“连接中垂线上的点与线段两端点”，从而构造出等腰三角形，获得边相等、角相等的结论。【解题技巧】

（二）角——最简单的轴对称图形之二【重点】

1、轴对称性：角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线。

2、★★★【高频考点】角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。特别注意，“距离”指的是点到角两边垂线的长度。【非常重要】

3、★★★【高频考点】角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

4、应用模型：当题目中出现角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段，以此构造相等的线段，为面积法或全等证明铺路。【解题技巧】

三、★★★【核心素养与综合应用】等腰三角形与等边三角形

（一）等腰三角形——轴对称性的完美体现【重中之重】

1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

2、轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。等腰三角形只有一条对称轴（等边三角形除外）。

3、★★★【绝对核心】性质1：等边对等角。等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。这是证明角相等最常用的定理之一。【高频考点】

4、★★★【绝对核心】性质2：三线合一。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。【高频考点】【难点】

*用法一：如果已知等腰三角形和底边上的中线，可得这条线也是高和角平分线。

*用法二：如果已知等腰三角形和底边上的高，可得这条线也是中线和角平分线。

*用法三：如果已知等腰三角形和顶角平分线，可得这条线也是底边上的中线和底边上的高。

*“三线合一”的逆定理也常被用来证明等腰三角形或证明直线垂直。

5、★★【核心】等腰三角形的判定：等角对等边。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。这是证明线段相等，特别是证明同一个三角形中两边相等的重要方法。【重要】

（二）等边三角形——特殊的等腰三角形【重点】

1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。它是特殊的等腰三角形（底边与腰相等）。

2、性质：

（1）等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且每个角都等于60°。【基础】

（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条内角平分线（或三边上的中线、高）所在的直线。

（3）等边三角形具备等腰三角形的所有性质（如“三线合一”在其每条边上都成立）。

3、★★判定方法：【重要】

（1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（或有两个角是60°的三角形）。

（3）★★【热点】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。这是一个非常重要的判定捷径，常用于动态几何问题中，当等腰三角形出现一个60°角时，可直接判定其为等边三角形。

（三）含30°角的直角三角形性质【难点】【高频考点】

1、定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、应用：这是计算线段长度、证明线段倍分关系的重要工具。通常出现在翻折问题或存在30°特殊角的几何综合题中。

3、典型题例：若直角三角形中，30°角所对的边长为a，则斜边长为2a，另一条直角边长为√3a（勾股定理后续会深入学习，现阶段主要考察其数量关系）。

四、★★【实践与应用】轴对称作图与图案设计

（一）作轴对称图形【基础操作】

1、核心思想：几何图形均可看作由点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点即可。这是一种“以点带面”的转化思想。【解题策略】

2、作一点关于直线的对称点的步骤（过点作垂线，并延长等长）：

（1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O。

（2）在垂线上截取OA‘=OA，则点A’即为点A关于直线l的对称点。

3、补全轴对称图形的方法：先找出图形中的关键点（如线段端点、角的顶点、转折点），作出它们关于对称轴的对称点，然后按照原图形的顺序连接这些对称点。

（二）利用轴对称进行设计【拓展】

1、设计原理：通过轴对称变换，可以将一个基本图形通过、翻转，创造出和谐、均衡的美丽图案。

2、常见设计手法：利用一组平行对称轴或相交对称轴，进行连续多次轴对称变换，可以得到丰富的重复性或旋转性图案。

五、★★★【应试策略】考点、考向、题型与解题步骤全析

（一）高频考点分布与考查方式

1、【选择题与填空题】——侧重基础概念辨析

*考点1：轴对称图形与轴对称的识别（常考交通标志、车标、字母、汉字、常用图形）。

*考点2：求角度或边长（利用等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”，或角平分线、中垂线性质）。

*考点3：对称轴条数的判断（常见图形如线段、角、长方形、正方形、圆、正n边形的对称轴数量）。

2、【解答题】——侧重逻辑推理与综合应用

*考向1：★★【中档题】利用等腰三角形的性质与判定进行推理证明。例如：已知AB=AC，D是BC上一点，连接AD，添加条件证明AD⊥BC或证明某两条线段相等。

*考向2：★★【中档题】角平分线与垂直平分线的性质综合应用。例如：在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交AB于D，求△BCD的周长或角度。

*考向3：★★★【压轴题】动点问题与等腰三角形的存在性问题。例如：在直线或坐标轴上找一点P，使以P为顶点的三角形是等腰三角形。常需分类讨论（以已知线段为腰或底，分情况设点计算）。

*考向4：★★★【热点】翻折（折叠）问题。折叠前后的图形关于折痕成轴对称，利用对应边相等、对应角相等建立等量关系。

（二）典型解题步骤与规范

1、【求角度问题的一般步骤】：

（1）标图：将题目中所有已知角度在图上清晰标出。

（2）找等腰：寻找等腰三角形，利用“等边对等角”得出底角相等。

（3）设未知数：对于复杂的角度计算，特别是出现多个等腰或倍分关系时，常设最小的底角为x，然后用含x的代数式表示其他角。

（4）列方程：利用三角形内角和180°或外角性质列出方程求解。【重要方法】

2、【证明线段相等的一般思路】：

（1）若两条线段在同一个三角形中：优先考虑“等角对等边”（即证明这两条线段所对的角相等）。

（2）若两条线段在两个不同三角形中：优先考虑证明三角形全等，或利用垂直平分线、角平分线的性质进行转化。

（3）若涉及等腰三角形的顶角平分线、底边中线或高：优先考虑“三线合一”。

3、【等腰三角形中的分类讨论思想】——【必考难点】

*情形一：已知等腰三角形的一个角，求另两个角。需分该角是顶角还是底角讨论（若该角为钝角或直角，只能为顶角）。

*情形二：已知等腰三角形的两条边，求周长。需分已知边是腰还是底讨论，并验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）。

*情形三：等腰三角形的存在性问题（动点问题）。常以“两圆一线”模型解决：以已知线段为腰时，以两端点为圆心，以该线段长为半径画圆；以已知线段为底时，作该线段的垂直平分线，找与坐标轴或直线的交点。【解题绝招】

（三）易错点与避坑指南【警示】

1、对称轴是一条直线，不是线段也不是射线。说“圆的对称轴是直径”是错误的，应说“直径所在的直线”。

2、角平分线的性质定理使用时，必须是“点到角两边的距离”，即垂线段。如果不是垂线段，则不一定相等。

3、“三线合一”的使用前提是“在等腰三角形中”。非等腰三角形不具有此性质。

4、分类讨论后必须检验。例如，求等腰三角形边长时，算出结果后要验证是否能构成三角形（即两边之和是否大于第三边）。如果不检验，可能导致多解或错解。

5、“等边对等角”与“等角对等边”的适用范围不同。前者是由边相等推角相等，后者是由角相等推边相等，不要混淆使用顺序。

六、★★【数学思想与方法】核心素养渗透

1、转化思想：将复杂的几何图形问题转化为轴对称的性质问题；将不规则图形的周长转化为线段的和差问题（如将军饮马模型）。

2、分类讨论思想：在解决等腰三角形相关问题时，由于顶角、底角、腰、底边的不确定性，必须进行分类讨