小学六年级数学百分数乘除法应用题专题复习知识清单

小学六年级数学百分数乘除法应用题专题复习知识清单

一、核心概念体系与知识建构

【基础】百分数的本质意义在于它是一种特殊的分数，其分母固定为100，用以表达两个量之间的倍比关系。百分数不能带单位名称，这决定了它区别于具体数量的根本属性。在六年级数学的知识体系中，百分数乘除法应用题与分数乘除法应用题在数量关系与解题结构上具有高度的同构性，掌握分数应用题的解题原理是迁移到百分数应用题的关键前提。本清单旨在通过对百分数乘除法应用题的系统梳理，帮助学生建立起“以单位‘1’为核心，以量率对应为方法”的认知模型，从而实现对各类变式问题的精准解答。

【重要】百分数应用题的核心数量关系可以归纳为三种基本形态，这三种形态构成了所有复杂问题的基石。第一种形态是“求一个数是另一个数的百分之几”，对应的是比较量除以标准量的除法关系，结果是一个百分率。第二种形态是“求一个数的百分之几是多少”，对应的是标准量乘以百分率的乘法关系，结果是比较量。第三种形态是“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”，对应的是比较量除以百分率的除法关系，结果是标准量。这三种形态并非孤立的，而是可以相互转化的，理解三者之间的互逆关系，是达到灵活解题水平的前提。

二、基础类型系统梳理与方法精析

（一）求一个数是另一个数的百分之几

【基础】【高频考点】此类问题是最基础的百分数应用，其本质是计算两个数量的比值并将其转化为百分数形式。解题的核心在于准确识别“标准量”，即被用作比较基准的那个量。标准量的判断通常依据关键词“是”“占”“相当于”等，这些词后面的量即为标准量。

【解题步骤】第一步，审题并圈画出表示比较关系的关键词，确定标准量。第二步，用比较量除以标准量，得到一个商（通常为小数或分数）。第三步，将该商转化为百分数，即将小数点向右移动两位，并在末尾添上百分号。第四步，检验答案的合理性，确认百分数是否在可能的范围内。

【易错点剖析】学生常常混淆标准量与比较量，尤其是在问题表述较为隐蔽时。例如，“男生人数是女生的百分之几”与“女生人数占男生的百分之几”，尽管数据相同，但标准量不同，算式完全相反。另一个常见错误是计算结果忘记乘以100%转化为百分数形式，或者除法的结果本身就是百分数时处理不当。

【常考题型示例】给出具体数据求达标率、发芽率、出勤率等百分率，或直接给出两个数量求占比关系。此类题型通常分值在2-4分，属于基础得分题。

（二）求一个数的百分之几是多少

【基础】【重要】这类问题对应于分数乘法应用题中的“求一个数的几分之几是多少”，是百分数乘法应用题的基本原型。当题目已知整体量（单位“1”）和对应的百分率，要求计算部分量时，适用乘法模型。

【解题原理】将百分数视为一个比率，单位“1”的量乘以这个比率，所得积即为所求的部分量。用公式表达为：单位“1”的量×百分率=百分率对应的量。在计算过程中，通常需要先将百分数化为小数或分数再进行乘法运算，以提高计算的准确率。

【思维进阶】当百分率超过100%时，计算结果会大于单位“1”的量，这是合理的，例如“某企业今年产值是去年的120%”，意味着今年产值超过了去年。学生需要打破“百分数必须小于100%”的思维定势，理解百分数可以大于100%的现实意义。

【考查方式】直接应用型，如“一本书200页，读了40%，读了多少页”；或者结合生活情境，如“一件商品原价500元，打八五折出售，现价是多少元”，其中折扣率本质上就是百分数。

（三）已知一个数的百分之几是多少，求这个数

【基础】【难点】此类问题是百分数乘法问题的逆运算，对应分数除法应用题中的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。当题目已知部分量及其对应的百分率，要求计算整体量（单位“1”）时，适用除法模型。

【解题原理】部分量除以它所对应的百分率，得到的就是单位“1”的量。用公式表达为：部分量÷百分率=单位“1”的量。这里的关键是确保“部分量”与“百分率”之间具有一一对应的关系，即这个百分率确实是这个部分量占单位“1”的比率。

【列方程解法】对于理解除法有困难的学生，推荐使用列方程的方法。设单位“1”为x，根据“x×百分率=部分量”列出方程求解。这种方法将逆向思维转化为正向思维，降低了思维难度，且不易出错。

【高频易错点】学生常犯的错误是用部分量乘以百分率，或者用部分量除以（1±百分率）而不明就里。关键在于判断所求的是整体还是部分，如果要求的是“谁”，而题目中给出的是它的百分之几是多少，那么这个“谁”就是整体，需要用除法。

三、复合类型深度解析与策略突破

（一）求一个数比另一个数多（或少）百分之几

【高频考点】【热点】这是百分数应用题中变化最多、陷阱最多的类型。其本质是求两个数的差量相对于标准量的百分比。解题公式为：相差量÷标准量×100%=多（或少）的百分率。

【确定标准量的黄金法则】标准量通常是“比”字后面的那个量。例如“甲比乙多百分之几”，标准量是乙；“今年比去年增产百分之几”，标准量是去年。口诀“作差除比后”可以有效帮助记忆：先求出两个数的差，再除以“比”后面的那个数。

【重要辨析】“甲比乙多百分之几”与“乙比甲少百分之几”通常是不相等的。因为尽管相差量相同，但标准量不同，前者除以乙，后者除以甲，结果自然不同。学生需要深刻理解这一点，避免想当然地认为“多几就是少几”。

【常考题型】增长率问题、下降率问题、幅度变化问题。例如“某厂今年产量比去年增长15%”，这里的15%就是增长的部分占去年产量的比率。解题时需先计算出增长的具体数量，再除以去年的产量。

（二）求比一个数多（或少）百分之几的数是多少

【重要】【综合应用】这是百分数乘法问题的拓展形式。题目给出单位“1”的量，以及比单位“1”多（或少）的百分率，要求计算比较量。解题公式为：单位“1”的量×（1±百分率）=所求的量。

【解题要点】括号内的“1”代表单位“1”本身，“1+百分率”表示比单位“1”多出部分后的总比率，“1-百分率”表示比单位“1”减少部分后的剩余比率。理解这个算式的意义，比单纯记住公式更为重要，它体现了整体与部分之间的动态关系。

【易错警示】当题目表述为“增加了百分之几”时，乘法因子是（1+增长率）；当表述为“减少到百分之几”时，则需要仔细辨析“减少到”与“减少了”的区别。“减少了20%”意味着是原来的80%，而“减少到20%”则意味着目标量就是原来的20%。

【典型例题】“一件衣服原价200元，先提价10%，再降价10%，现价是多少？”此题陷阱在于提价和降价的单位“1”不同，第一次提价是以原价为单位“1”，第二次降价是以提价后的价格为单位“1”，因此现价不等于原价，而应是200×（1+10%）×（1-10%）=198元。

（三）已知比一个数多（或少）百分之几的数是多少，求这个数

【难点】【压轴题】这类问题属于百分数除法中的逆向思维题，是区分学生能力水平的关键题型。题目给出了比较量以及它比单位“1”多（或少）的百分率，要求求出单位“1”。

【解题公式】比较量÷（1±百分率）=单位“1”的量。其中，“+”对应“多”的情况，“-”对应“少”的情况。这一公式的来源可以追溯到乘法的逆运算：因为单位“1”×（1±百分率）=比较量，所以比较量÷（1±百分率）=单位“1”。

【思维支架】学生可以用线段图辅助理解。将单位“1”画成标准长度，然后在它基础上延长或缩短一段表示多出或减少的部分，整个线段对应的就是比较量。从图中可以直观看出，比较量对应的是单位“1”的（1±百分率）倍。

【方程解法】设所求的数为x，根据“x×（1±百分率）=已知量”列出方程求解。这种方法规避了除法中单位“1”判断不清的风险，尤其对于中等程度的学生更为友好。

四、量率对应思想与复杂问题破解

【核心思想】【非常重要的方法】“量率对应”是解答百分数乘除法应用题的最高指导原则。其基本内涵是：题目中的每一个具体数量（量），都必然对应着一个百分数（率）；反之，每一个百分数，也都对应着一个具体数量。解题的核心任务，就是找到已知的“量”所对应的“率”，或者已知的“率”所对应的“量”。

【量率对应的三层含义】第一层，基本对应：如“一本书的40%是80页”，这里的80页对应40%。第二层，间接对应：如“一本书，读了40%后还剩120页”，这里的120页对应的是（1-40%）。第三层，复合对应：如“一本书，第一天读20%，第二天读30%，还剩100页”，这里的100页对应的是（1-20%-30%）。

【解题四步法】第一步，找准单位“1”，通常是最不变量或者被比较的基准量。第二步，确定已知数量所对应的百分率，即这个数量占了单位“1”的百分之几。第三步，根据“对应量÷对应率=单位‘1’”或“单位‘1’×对应率=对应量”列出算式。第四步，计算并检验。

【经典案例】“修一条路，第一天修了全长的25%，第二天修了余下的30%，还剩210米，求全长。”此题中，210米的对应率不是简单的（1-25%-30%），因为30%的单位“1”是余下的部分。需要逐步分析：第一天后余下全长的75%，第二天修了余下的30%，即修了全长的75%×30%=22.5%，则两天共修25%+22.5%=47.5%，剩余52.5%，对应210米。再用除法求得全长。

五、常考特殊题型专项突破

（一）百分率问题专题

【基础】【必考】百分率问题源于生活实际，是百分数应用题的重要载体。常见的百分率包括：出勤率、发芽率、成活率、合格率、出油率、命中率、及格率、优秀率等。

【通用公式】各种百分率的计算均遵循同一模式：率=部分量÷总量×100%。例如，出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%；成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%；出油率=榨出油的质量÷原料质量×100%。

【重要提醒】计算出的百分率通常不超过100%，但也有例外，如增长率、利润率等可能超过100%。此外，部分百分率公式需要灵活变形，如已知出勤率和总人数，可以反求出勤人数：出勤人数=总人数×出勤率。

【易错点】分子分母颠倒。以出油率为例，学生有时会用原料质量除以油的质量，这显然是错误的，因为出油率不可能大于100%。另一个易错点是百分率的单位处理，所有百分率都是无名数，不需要带单位。

（二）折扣与成数问题

【生活应用】【热点】折扣和成数都是百分数在日常生活中的具体应用。折扣表示现价是原价的百分之几，几折就是百分之几十。例如八五折就是85%，六折就是60%。成数表示一个数是另一个数的十分之几，三成就是30%，八成五就是85%。

【核心关系式】现价=原价×折扣；原价=现价÷折扣；便宜的钱=原价×（1-折扣）。解决折扣问题的关键是准确理解折扣的含义，将折扣转化为百分数，然后套用百分数乘除法的基本模型。

【复合折扣问题】“先打八折，再打九折”相当于一次性打七二折（0.8×0.9=0.72）。但要注意，两次折扣的基准不同，第一次折扣后价格成为第二次折扣的原价，因此不能简单相加。

【成数应用题】成数问题与百分数问题完全一致，只需将成数转化为百分数即可。例如“今年小麦比去年增产二成”，就是增产20%，今年产量是去年的120%。

（三）税率与利率问题

【综合应用】【必考】税率与利率是百分数在金融领域的应用。应纳税额=应纳税所得额×税率；利息=本金×利率×存期；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×存期）。

【重点辨析】计算利息时要注意利率与存期的对应关系。如果利率是年利率，存期必须以年为单位；如果利率是月利率，存期必须以月为单位。题目中给出的利率通常是年利率，需要根据实际存期进行调整。

【易错点】学生对“税率”理解不清，尤其是对于分段计税、起征点等问题，需要仔细阅读题目条件。利息税问题也是常见考点，税后利息=利息×（1-利息税率），本息和=本金+税后利息。

【典型例题】“爸爸存入银行5000元，定期三年，年利率3.25%，到期后可得利息多少元？共可取回多少元？”解题时需注意定期三年的存期是3年，利息=5000×3.25%×3=487.5元，本息和=5487.5元。

（四）浓度问题初步

【拓展延伸】浓度问题本质上是百分数应用题的一种变形。浓度=溶质质量÷溶液质量×100%。常见的浓度问题包括稀释、加浓、混合等类型。

【基本数量关系】溶质=溶液×浓度；溶液=溶质÷浓度。解决浓度问题的关键是抓住不变量，通常是溶质不变（稀释问题）或溶剂不变（加浓问题）。

【解题策略】稀释问题：加水前后溶质质量不变，可据此列方程。加浓问题：加糖（溶质）前后水的质量不变，可据此列方程。混合问题：混合前后溶质的总质量等于各组分溶质质量之和。

六、解题策略与思维建模

【通用解题流程】第一步，阅读题目，圈出关键数据和关键词。第二步，判断题型，确定属于三类基本题型中的哪一种或哪几种的组合。第三步，找准单位“1”，明确它是已知还是未知。第四步，建立数量关系式，如果单位“1”已知用乘法，未知用除法或方程。第五步，计算并检验答案的合理性。

【单位“1”的确定口诀】“是、比、占、相当于”后面的是单位“1”；“的”字前面的量通常是单位“1”；表示整体、总量、原价的量通常是单位“1”；没有明显标志时，与问题最相关的那个量可能是单位“1”。

【方程法的优势】对于复杂问题，尤其是逆向问题和多步问题，方程法具有明显的优势。设单位“1”为x，按照题意列出等式，将未知转化为已知，把逆向思维转化为顺向思维，学生只需按照题目叙述的顺序翻译成数学式子即可。

【检验策略】代入检验法：将求出的结果代入原题，看是否符合所有条件。估算检验法：根据常识判断答案是否合理，例如求出的百分率不应超过100%（特殊情况除外），求出的量不应超出合理范围。互逆检验法：用乘法算出的结果，可以用除法还原回去验证。

七、常见陷阱与避坑指南

【陷阱一：单位“1”变化问题】典型题目：“一种商品先涨价10%，再降价10%，现价与原价相比”。很多学生误以为不变，但实际上涨价和降价的基准不同，结果是降价了。此类问题的关键在于理解单位“1”在过程中发生了改变。

【陷阱二：百分数不能带单位】如“0.25米就是25%米”这样的说法是错误的，因为百分数不能表示具体数量，只能表示比率。凡是在百分数后面带单位的表述都是错误的。

【陷阱三：“增加”与“增加到”的区别】“增加了20%”意味着在原来基础上多出20%，现在是原来的120%；“增加到20%”意味着现在是原来的20%，含义完全不同。

【陷阱四：百分率总和问题】在统计类问题中，各部分百分率之和应为100%或小于100%