融通·建构·迁移：有理数乘除运算的深度探究与思维进阶-北师大版七年级数学上册教学设计

融通·建构·迁移：有理数乘除运算的深度探究与思维进阶——北师大版七年级数学上册教学设计一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课隶属于“数与代数”领域，核心在于发展学生的“运算能力”和“抽象能力”。有理数的乘除是继加减运算后，对数系运算律的又一次系统性扩张，其不仅是对“运算”这一核心概念的深化，更是学生从算术思维向代数思维过渡的关键节点。知识技能图谱上，学生需在理解有理数乘法法则（特别是符号规则）的基础上，自然类比、推导出除法法则，并最终综合运用于混合运算，这是构建完整有理数运算体系的必备一环，直接关乎后续学习代数式、方程等内容的根基。过程方法路径上，课标强调在真实情境中发现问题、运用模型（此处为运算模型）解决问题。本课可将“负负得正”等抽象法则置于生活情境（如方向、盈亏的连续变化）中进行探究，引导学生经历“具体情境—抽象模型—解释应用”的数学化过程，体悟数学建模思想与归纳推理方法。素养价值渗透层面，有理数运算规则的高度抽象与逻辑自洽，是培养学生理性精神、规则意识与逻辑思维的绝佳载体。通过对法则合理性的探讨与验证，学生能感受数学的确定性与严谨美，从而实现从“会算”到“懂理”的跨越。基于“以学定教”原则，需进行立体化学情研判。学生的已有基础与障碍在于：已掌握有理数的意义、数轴表示及加减运算，对“相反数”、“绝对值”概念熟悉，这为理解乘除的符号规则提供了支点；但同时，从“减去一个数等于加上它的相反数”到“除以一个数等于乘以它的倒数”的类比迁移可能存在认知惯性障碍，且“负负得正”的法则与直观生活经验存在一定隔阂，容易产生机械记忆倾向。过程评估设计将贯穿课堂：通过导入环节的快速口算摸底前认知；在新授探究中，通过巡视聆听小组讨论、捕捉典型解题思路与错误进行动态诊断；在巩固环节通过分层练习的完成情况量化评估不同层次学生的掌握度。教学调适策略据此提出：对于理解符号规则有困难的学生，提供更丰富的直观模型（如数轴动态演示、生活实例连续变化）进行支撑；对于易在混合运算顺序和符号上出错的学生，设计“运算流程分解图”和错误辨析专项任务；对于学有余力者，则引导其探究运算律在有理数范围内的普适性，或设计开放性问题，如“如何设计一个包含多步有理数乘除运算的实际问题？”二、教学目标知识目标：学生能准确阐述有理数乘法与除法的运算法则，特别是符号确定规则；能熟练地将除法运算转化为乘法运算，并正确进行有理数的乘除混合运算。他们不仅会背诵“同号得正，异号得负”，更能结合具体例子解释其合理性，理解法则与加减运算符号规则的内在区别与联系，从而建构起有理数乘除运算的清晰知识网络。能力目标：重点发展学生的数学运算能力与抽象概括能力。学生能够从一组具有共性的具体算例中，通过观察、比较、归纳，自主或合作抽象出一般化的运算规律；能够将抽象的法则灵活应用于解决含有多步运算、带有实际背景的数学问题，做到运算程序清晰、结果准确；并能在混合运算中自觉进行算理审核与过程优化。情感态度与价值观目标：在探究“负负得正”等规则的过程中，激发学生对数学规律的好奇心与求知欲，克服对抽象规则的畏难情绪。通过小组协作探究与分享，培养乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度，在成功应用数学解决情境问题的体验中，增强学习数学的信心和应用意识。科学（学科）思维目标：着重强化数学中的模型思想与归纳推理能力。引导学生经历“从特殊到一般”的完整归纳过程，体验如何将具体情境抽象为数学运算模型（如用正负数表示相反意义的量，用乘法表示连续变化）。同时，培养其逻辑思维的严密性，例如在解释除法法则合理性时，能建立与乘法互为逆运算的逻辑联系。评价与元认知目标：引导学生初步形成对自身运算过程的监控与反思习惯。例如，在完成练习后，能依据“先定符号，再算绝对值”的步骤进行自我检查；能在小组互评中，针对同伴的解题过程指出其算理是否清晰、步骤是否规范；并能总结在混合运算中避免常见错误（如顺序错误、符号错误）的个人策略。三、教学重点与难点教学重点为有理数乘除法法则的理解与运用，以及乘除混合运算的熟练进行。其确立依据在于：从课标看，有理数的运算能力是“数与代数”领域的基石性能力，乘除法法则是构建整个有理数乃至实数运算体系的“大概念”。从学业评价看，有理数运算是中考的必考基础内容，且常作为工具渗透于方程、函数等综合题型中。深刻理解法则，方能确保运算的准确性与速度，为后续学习提供坚实保障。重点不仅在于“会算”，更在于“明理”，即理解符号规则背后的数学逻辑。教学难点在于有理数乘法中“负负得正”的算理理解，以及在复杂情境或多步混合运算中灵活、准确地综合运用乘除法则。预设依据源于学情：七年级学生的抽象逻辑思维仍在发展中，“负负得正”缺乏直接的现实模型对应，易导致机械记忆。常见错误分析表明，学生在处理多个有理数连乘除、或乘除加减混合时，极易在运算顺序、尤其是连续的符号确定上出现混淆和错误。突破方向在于，一方面通过多样化的情境（如速度与时间、反向运动叠加）和数学内在一致性（如利用运算律推导）来阐释“负负得正”的合理性；另一方面通过清晰的运算流程指导和充分的变式训练来化解综合应用难点。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态数轴演示、生活情境动画、分层练习题）；实物投影仪；磁性数字卡片（正负号、数字）。1.2学习资料：分层设计的学生《探究学习任务单》（包含情境导入问题、探究记录表、分层练习区）；《课堂巩固与分层作业》活页。2.学生准备2.1知识预备：复习有理数的概念、绝对值、倒数及加减运算法则。2.2学具：铅笔、直尺、练习本。3.环境布置3.1座位安排：按4人异质小组就坐，便于开展合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境激疑，唤醒旧知：“同学们，假设我们玩一个‘财富变化’模拟游戏。如果每分钟收入3元记为+3，那么3分钟后的总变化是多少？怎么列式？”（预计学生答：+3×3=+9）“很好，这是正数乘正数。那如果每分钟‘亏损’3元记为3，3分钟后的总变化呢？”（学生可能尝试列式：3×3）“这个式子结果是多少？又该如何理解？”2.提出核心驱动问题：在学生产生争议或思考时，明确核心问题：“当数扩展到有理数范围，乘法运算的规则究竟是什么？特别是涉及到负数时，符号如何确定？除法运算又该如何进行？”同时，抛出更具挑战性的情境：“如果不仅是每分钟亏损3元，这亏损的状态还持续了‘之前’的3分钟（可记为3分钟），总财富又该如何计算？这引出了（3）×（3）的问题。”3.勾勒学习路径：“今天，我们就化身‘数学侦探’，一起从大家熟悉的情境出发（指向任务单），通过一组组算例的观察对比（提示探究方法），去发现并验证有理数乘除运算的‘秘密法则’，最后成为运算高手，去解决更复杂的问题。我们先从几个具体问题开始热身。”第二、新授环节任务一：从具体到抽象，归纳有理数乘法法则教师活动：首先，在课件上呈现《学习任务单》上的第一组探究问题（源于导入的财富游戏变式）：①（+4）×（+3）=？②（4）×（+3）=？③（+4）×（3）=？④（4）×（3）=？引导学生结合情境赋予每个算式实际意义（如“每分钟收入/亏损4元，经过3分钟/之前3分钟”）。接着，提问：“抛开具体情境，单从数字运算角度，你能发现①和②、①和③、③和④之间，积与因数有什么关系吗？特别是符号和绝对值。”然后，搭建归纳“脚手架”：“请大家再计算（2）×5，2×（5），（2）×（5），并填写任务单上的观察表，横向比较因数符号组合与积的符号、绝对值的关系。”巡视小组，针对困惑小组提问引导：“看看积的绝对值，和因数的绝对值有什么关系？”“当因数符号相同时，积的符号是什么？不同时呢？”学生活动：阅读情境，尝试解释每个算式的现实含义。独立计算第一组算式结果。在小组内交流各自的计算结果和对意义的理解，共同完成观察记录表。通过比较大量算例，尝试用语言描述发现的规律：“积的绝对值等于因数绝对值的积”；“同号得正，异号得负”。部分学生可能对（4）×（3）的现实意义表述有困难，进行小组内讨论。即时评价标准：1.能否正确计算出给定算式的数值结果。2.在小组讨论中，能否主动分享自己的计算过程和观察发现。3.归纳的规律描述是否准确、简洁。4.能否尝试对自己归纳的规律举出新的例子进行验证。形成知识、思维、方法清单：1.★有理数乘法法则核心：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。（这是本课最核心的规则，需通过大量实例从具体感知上升为抽象规则。）2.▲法则的直观理解：可通过方向（向东为正，向西为负；未来为正，过去为负）连续变化的模型来辅助理解“负负得正”，但需明确数学规则本身的抽象性与确定性。3.数学思想方法：经历了“具体实例—观察归纳—猜想规律—举例验证”的完整归纳推理过程，这是发现数学规律的基本路径。4.学习提示：记忆法则时，关键在于先确定积的符号，再计算绝对值。“大家找找规律，是不是‘符号’和‘绝对值’这两步，就像确定一个点的位置需要‘方向’和‘距离’一样？”任务二：类比迁移，自主推导有理数除法法则教师活动：承接乘法法则，提出新挑战：“我们已经掌握了有理数的乘法‘宝剑’，现在，如何用它来攻克除法的‘城堡’？”引导学生回忆小学所学：“除法是乘法的逆运算。比如，因为（3）×4=12，所以（12）÷4=？（12）÷（3）=？”板书这两道算式及其依据的逆运算关系。然后，布置小组探究任务：“请各小组利用乘法是除法的逆运算这一关系，尝试计算任务单上的第二组算式：①12÷(3)②(12)÷(3)③0÷(5)。并观察、比较所得结果与被除数、除数的符号和绝对值，你能猜想出有理数的除法法则吗？”巡视中，关注学生是否严格依据逆运算关系推导，并提问：“比较一下你们猜想的除法法则和刚才的乘法法则，在‘符号规则’上有什么发现？”学生活动：回顾“乘除互逆”关系。在小组内，利用已知的乘法算式，推导出给定的除法算式的结果。例如，由（3）×（4）=12，推导出12÷（3）=4，12÷（4）=3。通过计算多组例子，观察、讨论并尝试归纳除法法则。对比乘法法则，发现符号规则的一致性（同号得正，异号得负）。即时评价标准：1.能否清晰说出乘除互逆关系并据此进行正确推导。2.在归纳除法法则时，是否关注了符号和绝对值两个方面。3.能否发现并清晰表述乘除法在符号规则上的共性。4.小组探究过程是否有序、高效。形成知识、思维、方法清单：1.★有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。（这是除法运算转化为乘法的根本依据，将未知转化为已知。）2.★有理数除法法则二（符号规则）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。（此法则可由法则一结合乘法法则推出，体现了知识的内在一致性。）3.核心思维方法：类比迁移与化归思想。将新的除法问题，通过“倒数”这一桥梁，化归为已解决的乘法问题。这是数学中解决问题的强大策略。4.易错点提醒：除法没有交换律和结合律。计算时，要特别注意运算顺序。“记住，除号是个‘倔脾气’，不能随意改变它后面数字的顺序哦！”任务三：法则整合与乘除混合运算初探教师活动：明确告知学生：“在实际运算中，尤其是复杂式子中，将除法转化为乘法往往更简便。”板书示范：将(12)÷4×(2)写为(12)×(1/4)×(2)。强调：“这一步转换，就把整个式子统一成了连乘运算，我们只需要连续运用乘法法则即可。”然后，出示一道混合运算题：(6)÷2×(1/3)。先让学生独立尝试，教师巡视收集典型做法（包括正确和错误的）。用实物投影展示不同的解题过程，引导学生辨析：“这位同学先算除法再算乘法，结果正确；那位同学先将除法转化为乘法，再计算，结果也一样。大家比较一下，哪种方法在步骤上更清晰，更不容易出错？为什么？”最后，引导学生小结乘除混合运算的一般步骤。学生活动：观察教师示范，理解“除法转乘法”的优越性。独立尝试计算(6)÷2×(1/3)。部分学生可能按顺序计算，部分学生可能先转化。在教师组织下，观察投影上的不同解法，积极参与辨析讨论，阐述各自优劣。共同总结步骤：①将除法运算统一转化为乘法运算（找准倒数）；②确定积的符号（数负因数的个数）；③计算绝对值的积。即时评价标准：1.能否正确地将除法运算转化为乘法运算。2.在混合运算中，能否遵循正确的运算顺序，或成功转化为连乘后计算。3.在辨析环节，能否清晰表达自己的观点，并指出他人解法的合理之处或潜在风险。4.总结的运算步骤是否条理清晰。形成知识、思维、方法清单：1.★乘除混合运算策略：优先将除法统一转化为乘法，变混合运算为连续的乘法运算，简化计算过程，减少错误。（这是提升运算效率和准确性的关键技术。）2.运算顺序原则：在没有括号的乘除混合运算中，应按从左到右的顺序进行；但转化为连乘后，可灵活运用乘法交换律、结合律简化计算。3.符号确定进阶：多个非零有理数连乘除时，积的符号由负因数的个数决定：奇负得负，偶负得正。这是单一“异号得负”规则的推广。“来，我们一起数一数：这里有几个‘负号小朋友’？是奇数个还是偶数个？它们在一起会‘商量’出什么结果？”4.易错点强化：转化乘法时，必须将被除数乘以除数的倒数，切勿混淆。对于带分数，应先化为假分数再参与运算。任务四：综合应用与错例辨析教师活动：设计一道综合应用题：“某气象站测得，山峰的高度每上升100米，气温大约下降0.6°C。已知山脚气温是20°C，现在测得山顶气温为4°C，请问这座山大约有多高？”引导学生分析：温度总下降值为20(4)=24°C。每下降0.6°C对应上升100米。列式为：24÷0.6×100。让学生先列式，再计算。同时，在课件上呈现几个源于学生作业的典型错误计算过程（如：(8)÷4×2=8÷8=1；计算中符号确定错误等）。组织小组“诊断”活动：“请各位‘数学医生’会诊，这些计算‘病’在哪里？应该如何‘医治’？”学生活动：阅读问题，提取信息，建立数学模型（总温差÷单位温差下降值×单位高度）。列出算式并计算。积极参与“错例诊断”小组活动，分析错误原因（可能是运算顺序错误、除法转化错误、符号规则应用错误等），并提出正确的解法。在纠错中深化对正确运算流程和规则的理解。即时评价标准：1.能否从实际问题中抽象出正确的数学算式。2.计算过程是否规范、结果是否准确合理。3.在错例辨析中，能否准确指出错误本质并提供正确方案。4.能否将实际问题的结果进行合理解释（山的高度）。形成知识、思维、方法清单：1.★数学建模初步：将实际问题（温度与海拔关系）转化为有理数乘除运算模型，体现了数学的应用价值。关键步骤：识别数量关系，用正负数表示具有相反意义的量（上升、下降）。2.运算的严谨性：通过错例辨析，反面强化了运算顺序、转化规则和符号法则的重要性。常见错误如“先算后边的乘除”违反了从左到右的顺序。3.批判性思维：审视他人的解题过程，需要基于牢固的算理知识进行判断，这是深化理解的有效途径。“看看这个‘病号’，是不是把除号后面的整个式子都当成一个整体来求倒数了？这可是‘误诊’啊！”4.知识关联：本题综合运用了有理数的减法（求温差）、乘除法，体现了知识点的综合应用能力。第三、当堂巩固训练本环节设计分层、变式训练体系，学生根据《课堂巩固活页》自主选择完成，教师巡视指导。基础层（全体必做）：直接应用法则进行单一或两步乘除运算。例如：①(5)×6；②9×(1/3)；③(12)÷(4)；④0÷(2.5)；⑤(4)×(2)×5；⑥15÷(5)×2。综合层（鼓励大多数学生完成）：在稍复杂情境或多步运算中综合应用。例如：⑦计算(10)÷2×(1/5)÷(0.5)；⑧某公司股票周一开盘价20元，接下来四天的涨跌情况（相对于前一日）依次为：+2元，1元，3元，+1元。求周五收盘价。挑战层（学有余力者选做）：涉及规律探究或开放思维。例如：⑨已知|a|=3，|b|=5，且ab<0，求a÷b的值。⑩请设计一个包含至少三步有理数乘除运算的现实生活情境问题，并给出解答。反馈机制：完成基础层后，同桌互换，依据投影上的答案和简要步骤进行互评。综合层和挑战层的问题，教师抽取不同解法的学生上台板演或口述思路，组织全班讨论、优化。针对共性疑问，如多个数乘除时符号的快速判断、除法转化时的注意事项，进行集中精讲。第四、课堂小结“经过一节课的探索，我们的‘侦探’任务完成得如何？现在请大家按下‘暂停键’，进行复盘。”引导学生进行结构化总结与元认知反思。知识整合：“请以‘有理数的乘除运算’为中心，用你喜欢的方式（如思维导图、知识树）梳理本节课的核心知识点，并标明它们之间的联系。”邀请一位学生分享其知识结构图。方法提炼：“回顾一下，我们今天是如何发现和掌握这些新运算规则的？（从例子中归纳）。当遇到除法时，我们用了什么策略？（转化为乘法）。在混合运算中，我们又优化了什么方法？（统一为乘法）这些思考问题的方法，以后还能用在哪些地方？”作业布置与延伸：公布分层作业（详见第六部分）。并留下思考题：“有理数的乘法和除法运算，满足哪些运算律？加法与乘法的运算律有什么异同？这为我们简化运算提供了哪些可能？”为下一节课的学习埋下伏笔。六、作业设计基础性作业（必做）：1.教科书对应章节的配套基础练习题（约10道），重点巩固乘除法则的直接应用和简单混合运算。2.整理本节课的课堂笔记，用自己的话复述有理数乘除法法则。拓展性作业（建议完成）：1.情境应用题：记录一天中家中电表（或水表）的读数变化，结合电价（水价），尝试估算一天的电费（水费）消耗。写出估算过程中涉及的有理数运算式。2.错题重建：从当堂巩固练习或以往作业中，找出23道关于有理数运算的错题，分析错误原因，并重新规范、正确地解答。探究性/创造性作业（选做）：1.数学小论文（提纲）：以“‘负负得正’为什么有道理？”为题，通过查阅资料（可提示数轴模型、分配律推导等角度），撰写一份不少于300字的说明提纲，阐述你对这一规则的理解。2.运算游戏设计：设计一个可供两人玩的“有理数乘除速算”卡牌游戏规则（需包含正负数、分数等），并和一位家人或朋友试玩一次，记录游戏过程。七、本节知识清单及拓展1.★有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘得0。（记忆口诀：先定符号，再算绝对值）2.★有理数除法法则（转化式）：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。（这是进行除法运算的根本方法）3.★有理数除法法则（直接式）：两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。0除以任何非零数得0。（可由乘法法则推导，符号规则与乘法一致）4.▲倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。求一个数的倒数，就是求1除以这个数。5.★乘除混合运算步骤：①将除法运算全部转化为乘法运算；②确定积的符号（看负因数个数：奇负得负，偶负得正）；③计算绝对值的乘积（可先约分）。（统一成乘法是关键步骤）6.★运算顺序：在只有乘除（或加减）的同一级运算中，应按从左到右的顺序进行。有括号先算括号内。7.▲多个有理数连乘的符号规律：当负因数的个数为奇数时，积为负；为偶数时，积为正。（适用于统一成乘法后的情况）8.易错点1：符号遗漏：在计算过程中，特别是多步计算时，容易丢失负号或符号判断错误。（对策：每一步都先明确符号）9.易错点2：除法转换错误：错误地将a÷b转化为a×b或b×a，忘记求倒数。（对策：牢记“除以谁，乘谁的倒数”）10.易错点3：运算顺序混淆：误认为乘除混合运算可以随意交换顺序，如a÷b×c错误地先算b×c。（对策：严格从左到右，或先统一为乘法）11.易错点4：带分数参与运算：带分数未化为假分数就直接进行乘除运算，导致错误。（对策：乘除运算中，带分数必先化假）12.▲学科思想：化归思想：将陌生的除法运算，通过转化为倒数，变为熟悉的乘法运算。这是数学中解决问题的核心策略之一。13.▲学科思想：模型思想：用有理数乘法表示“方向”与“时间”连续变化等现实情境，体现了用数学抽象刻画现实世界的过程。14.▲学科思想：归纳推理：从若干个具体的有理数乘法算例中，通过观察、比较，归纳出普遍适用的符号法则和绝对值法则。15.学习工具提示：在练习初期，可以在算式上方标记每个因数的符号，并数出负因数的个数，帮助确定最终结果的符号。八、教学反思本次教学设计尝试将结构性教学模型、差异化支持与核心素养培育进行深度融合。从假设的课堂实施角度看，教学目标达成度方面，通过导入情境的快速反馈、新授环节的探究观察以及分层巩固练习的完成情况，预计多数学生能够掌握有理数乘除的基本法则并完成常规运算（知识、能力目标）。在“负负得正”的合理性讨论和实际问题建模中，部分学生表现出浓厚的兴趣和初步的理性思维萌芽（情感、思维目标）。然而，让所有学生都能深入理解法则背后的算理，并在复杂运算中实现100%的准确率，仍是一个挑战。对各教学环节有效性的评估：导入环节的“财富游戏”情境成功引发了认知冲突，激发了探究欲望。新授环节的四个任务层层递进，从归纳到迁移，再到整合应用与辨析，符合学生的认知规律。任务二（推导除法法则）中，学生利用乘法逆运算进行类比迁移的主动性超出预期，这得益于任务一奠定的坚实基础和明确的“脚手架”指引。任务四的错例辨析环节，“数学医生”的角色扮演极大地调动了学生的参与热情，纠错效果显著。然而，在任务三（混合运算初探）的过渡中，部分中等生对于“为何要优先转化”的理解可能不够深刻，需要教师更细致的对比讲解和更多即时练习。对不同层次学生课堂表现的深度剖析：学优生在探究环节能迅速发现规律，并乐于挑战复杂情境题和开放性问题，他们需要的是更具思维深度和跨学科联系的拓展任务。中等生