小学数学三年级·人教版“解决问题”专题复习知识清单

小学数学三年级·人教版“解决问题”专题复习知识清单

一、核心概念体系与知识图谱重构

“解决问题”板块在三年级上册人教版教材中并非孤立的知识点堆砌，而是贯穿“数与代数”“图形与几何”两大领域的综合性应用能力载体。其知识体系以“四则运算意义”为根基，以“数量关系建模”为主干，衍生出“归一归总”“倍比关系”“分数应用”“周长优化”“集合思想”五大分支。本专题复习的核心不在于“会算”，而在于“会想”——即从纷杂的生活情境中剥离出不变的数学结构。

（一）知识模块全景图（按教材编排逻辑）

本册“解决问题”分散于六个单元，复习阶段需打破单元壁垒，按思维模型重组：

1.第一类：基于“份”的模型——包括“求一个数是另一个数的几倍”“求一个数的几倍是多少”“求一倍数”以及“归一问题”（单一量不变）、“归总问题”（总量不变）。这是三年级承上启下的核心，衔接二年级表内除法与四年级两步以上复合应用题。

2.第二类：基于“和差”的模型——主要是万以内加减法的两步计算应用，如“连加连减”“加减混合”“带括号的运算”，重点在于理解“部分量与总量”“连续变化量”的关系。

3.第三类：基于“度量”的模型——包括“长度与周长的计算”“周长的逆问题”（已知周长求边长/长宽）、“拼组图形中的周长优化”（16个小正方形拼长方形周长最短问题）。【难点】在于空间观念的具身化。

4.第四类：基于“率”的模型——分数的初步应用，如“求一个数的几分之一/几分之几是多少”，这是五年级分数乘法应用题的前概念，本质是“整数倍”向“分数倍”的自然延伸。

5.第五类：基于“分类”的模型——集合思想（韦恩图）的雏形，解决重叠问题，核心是“各部分之和减去重叠部分”。

（二）总复习阶段的知识结构化策略

【重要】建议引导学生以“核心问题”为锚点构建知识网络：解决一个问题，我们需要哪些信息？信息之间是什么运算关系？为什么要用这种运算？例如，“每份数×份数=总数”这一主干模型，既能解释“归一问题”中的单一量×数量=总量，也能解释“倍”问题中的标准量×倍数=比较量，还能解释长方形周长中的（长+宽）×2，甚至能为分数应用题中的“单位‘1’×分率=对应量”埋下伏笔。

二、基本数量关系模型与建构路径

（一）归一问题与归总问题的本质辨析

【高频考点】【非常重要】

归一问题的本质是“单一量不变”，解题路径呈现“先除后乘”或“先除再除”（当求份数时）的双步结构。例如：2袋陶泥做4个笔筒，6袋陶泥做几个？第一步：4÷2=2（单一量：每袋2个）；第二步：2×6=12。变式：求“30袋陶泥可以做几个”或“做20个笔筒需要几袋”，模型一致。

归总问题的本质是“总量不变”，解题路径呈现“先乘后除”的结构。例如：每行站12人，站6行；每行站8人，站几行？第一步：12×6=72（总量）；第二步：72÷8=9。

【易错点】学生往往在读完题后机械地判断“这是归一还是归总”，导致条件稍作变形（如增加“每支钢笔比圆珠笔贵2元”的差价条件）便无从下手。复习策略应指向“寻找题目中的不变量”，而非记忆题型名称。

（二）倍的认识与三类基本问题

【基础】【热点】

“倍”是两个量比较的结果，无量纲，故不带单位。三年级必须牢固建立“标准量（1份）”与“比较量（几份）”的对应关系。

1.求倍数：比较量÷标准量。如：24个篮球，6个足球，篮球是足球的几倍？24÷6=4。

2.求比较量（几倍数）：标准量×倍数。如：女生6人，男生是女生的4倍，男生几人？6×4=24。

3.求标准量（一倍数）：比较量÷倍数。如：男生24人，是女生的4倍，女生几人？24÷4=6。

【难点】【高频】“求一倍数”是三年级逆向思维的第一次集中爆发，错误率显著高于前两类。原因在于学生习惯于“看到大数就用乘法”，缺乏对“谁是标准”的审视。复习中必须强化线段图的规范训练——先画1份量（标准），再画几份量。

（三）分数应用题的第一次启蒙

【重要】【难点】

三年级分数应用题的起点是“一个物体的几分之一/几”。如：把一张纸平均分成5份，取其中2份，即2/5。解决“求一个数的几分之几是多少”时，核心步骤是“先除后乘”。例如：爷爷70岁，笑笑的年龄是爷爷的1/7，求笑笑年龄？70÷7=10。如果求的是爸爸的年龄是爷爷的4/7，则70÷7×4=40。

【关键能力】区分“整体1”与“部分量”的对应关系。此阶段的分数应用题分母较小（通常不超过10），且分母与整数除法直接对应，是学生从“整数倍”思维过渡到“分数倍”思维的桥梁。

（四）集合思想（重叠问题）

【热点】【基础】

三年级集合问题以两个集合的并集为主，公式模型为：总人数=A人数+B人数-既A又B人数。典型情境为“参加语文组和数学组的共有几人”“跳绳和跑步比赛”等。考查形式多为图文结合，要求学生看懂韦恩图各部分的含义：左圈、右圈、中间交集、外部全不算。

【解题三步法】①圈出“两项都参加”的人数；②用A+B算出含重叠的总人次；③减去重叠的一次，得到实际总人数。

三、核心模型专题精讲与考点解码

专题一：两步计算应用——运算顺序与括号的使用

【基础】【必考】

（一）典型模型分析

本册两步计算应用题以“加减混合”“乘加/乘减”“带小括号”为主要形式。例：剪纸小组要剪96张窗花，第一天剪14张，第二天剪15张，还剩多少张？此题的思维分叉点在于：既可以“连减”（96-14-15），也可以“先加后减”（96-（14+15））。

【考点1】括号的引入背景：当我们需要先算加减、后算减（或除）时，必须用括号改变运算顺序。

【考点2】列综合算式的规范性：脱式计算的格式要求——等号对齐，不跳步，先算部分画横线。

【考查方式】看图列综合算式；根据情境补充算式中的括号；判断“加括号”与“不加括号”的区别（如：25+75÷5与（25+75）÷5结果迥异）。

（二）解题程序规范【★★★★★】

第1步：阅读理解——读三遍。第一遍通读，知道讲什么事；第二遍圈画，圈出数字、单位、关键词（如“一共”“还剩”“比……多”“倍”）；第三遍复述，用自己的话把条件和问题连起来说一遍。

第2步：分析数量关系——核心环节。常用工具是“直条图/线段图”。低年级的实物图已升级为半抽象的线段，要求学生会画：总长表示总量，分段表示部分量。

第3步：列式计算——分步与综合。三年级不强制要求综合算式，但鼓励优生尝试。教师必须强调：分步计算的每一步，后面要写单位（但“倍”不带单位）；答句要完整。

第4步：检验与回顾——将答案代入原题，看是否符合所有条件。检验习惯是区分“刷题机器”与“思考者”的分水岭。

专题二：归一归总问题的变式训练

【高频】【难点】

（一）归一问题的三层进阶

基础层：正归一。如：3盒牛奶12元，7盒多少元？（12÷3×7）

进阶层：反归一。如：3盒牛奶12元，28元能买几盒？（28÷（12÷3））

综合层：含有剩余或比较。如：小明5分钟走300米，照这样计算，他从家到学校要走15分钟，他家离学校多远？如果学校距离他家720米，他需要走几分钟？——此题要求学生能够在正归一和反归一之间灵活切换。

（二）归总问题的陷阱识别

【易错点】归总问题的“总量”有时不是直接给出的乘积，而是需要先求和或先求差。例如：妈妈买15元一条的鱼，正好买3条，如果买9元一条的，能买几条？学生易列15×3÷9，正确。变形：妈妈买15元一条的鱼，买3条，如果用这些钱买9元一条的鱼，还能剩3元，问买了几条？此题的总量不再是单纯的15×3，而是15×3-3，再除以9。这种变式是检测学生是否真正理解“总量”概念的高级题型。

专题三：倍的认识——从“比多少”到“比倍数”

【非常重要】

（一）线段图训练的黄金时期

三年级是线段图从“出示”到“自画”的关键期。画倍比线段图的规范：

1.先确定标准量（通常是比较短的那个，或是“是”字后面的那个量），画在上面或左边，标为1份。

2.再画比较量，长度是标准量的若干倍，标为几份。

3.问题求什么，就在对应线段上标“？”。

【案例】黄花有6朵，红花是黄花的3倍，两种花一共多少朵？

画法：上段黄花1格（6朵），下段红花3格（每格等长）。学生从图上直观看出：总朵数是4个6，列式6×（3+1）=24。这种“份数法”比先求红花再加黄花更具数学思维含量，应大力推广。

（二）常考题型矩阵

|核心问题|常见表述陷阱|解题关键|

|----------|--------------|----------|

|求几倍数|妈妈买了8个苹果，梨的个数是苹果的2倍，梨有几个？|正向，直接用乘法|

|求一倍量|妈妈买了8个苹果，是梨的2倍，梨有几个？|逆向，用除法|

|求差倍混合|苹果8个，梨比苹果多2倍，梨有几个？|理解“多2倍”=“是3倍”|

|求和倍混合|苹果8个，梨是苹果的2倍，两种共几个？|份数法：总份数=1+2|

|求差倍混合|苹果8个，梨是苹果的2倍，梨比苹果多几个？|份数法：差份数=2-1|

专题四：分数的简单应用——量率对应的萌芽

【基础】【难点】

（一）两个易混概念辨析

1.“一个物体的几分之几”：如把一张长方形纸平均折成5份，涂2份，涂色部分是这张纸的2/5。这是连续量的模型。

2.“一个群体的几分之几”：如10个圆，其中2个涂色，涂色圆是总数的2/10。这是离散量的模型。三年级学生常对“整体由多个个体组成”感到困惑，复习时要反复强调“不管是一个物体还是一堆物体，只要是平均分，就能用分数表示部分与整体的关系”。

（二）必考题型：已知总数和分数，求部分数

标准格式：小红有20块糖，她吃了3/5，吃了多少块？

步骤拆解：①分母5表示平均分成5份，20÷5=4（块）是1份；②分子3表示取其中3份，4×3=12（块）。

【易错点】部分学生在第一步除法后，忘了第二步乘法，直接把商当作答案；或分子分母颠倒，用20÷3×5。根源在于对分数“先分后取”的意义不理解，复习时务必回到折纸、分物等操作经验。

专题五：长方形正方形的周长——从计算到优化

【热点】【难点】

（一）已知周长求边长/宽

这是周长的逆向应用。如：一根铁丝可以围成一个边长8厘米的正方形，如果围成一个长10厘米的长方形，宽是多少？

核心：周长不变（归总思想）。8×4=32（厘米），32÷2-10=6（厘米）。

【难点】学生易忘记除以2，直接用32-10=22（厘米），误把长+宽的和当作宽。

（二）拼组图形的周长最值问题

用16个边长1厘米的小正方形拼长方形或正方形，怎样拼周长最短？

数学原理：面积一定时，长与宽越接近，周长越小；长与宽差越大，周长越大。

【思维价值】此题不仅是计算，更是策略枚举。列表法（长×宽=16，求周长）是三年级渗透“有序思考”的最佳载体。

专题六：集合思想——韦恩图初步

【基础】

（一）三种基本考法

1.已知总数，求重叠：三（1）班有语文作业18人，数学作业20人，两种都完成的有5人，问全班至少多少人？18+20-5=33。

2.已知各部分，求总数：同上。

3.已知总数与一部分，求另一部分或重叠。

（二）解题口诀

“左加右减重叠数，就是总人数；要是问咱重叠数，总减左右再还原。”

四、策略性解题工具箱与思维支架

（一）通用解题四步法（固化程序）

【重要】为避免学生读题浮躁，复习课应统一“四读法”：

1.初读——整体感知，不看数字，只读人物和事件。（例：小红在买文具，小明在跑步。）

2.细读——圈数字，圈单位，圈“关键词库”。（三年级关键词库：一共、还剩、比...多、比...少、几倍、几分之几、平均、照这样计算、相遇、拼、围。）

3.析读——画图（线段图/韦恩图/格子图）或列表，将文字转图形。

4.回读——检查答案是否符合情境，单位是否匹配，答句是否完整。

（二）结构化分析工具

1.从问题出发分析法（逆推法）：要求“还剩多少”→需要“总数”和“用去的”→总数已知，用去未知→先求“用去”或“已做”。

2.从条件出发分析法（顺推法）：看到“每份数×份数”想总数；看到“总数÷份数”想每份数。

3.抓不变量法：归一抓“单一量”，归总抓“总量”，年龄问题抓“年龄差”，周长问题抓“铁丝长度”。

（三）估算策略与精算策略的协同

【高频】三年级估算题常以“够不够”“大约”为标志。如：儿童剧院306个座位，票价8元，全部坐满收入大约多少元？学生应将306估为300，300×8=2400，约2400元。

【易错点】部分学生在估算后不再精算，或在明确要求估算时还执着于精确值。复习要点明：估算不是偷懒，而是为了快速判断，当问题带“大约”时，通常只列估算算式；当问题为“够不够”时，必须先估后比，或者精确计算后比大小。

五、高频易错点诊断与满分规范

（一）审题习惯类错误（占失分40%）

1.数字抄写错误：抄错竖式数字、漏抄0。

2.单位漏写或错写：将“倍”带单位（如答“红花比黄花多4倍”写成“4朵”）；面积单位与长度单位混淆。

3.信息遗漏：图文结合题中，只关注文字，忽略图中的隐含条件（如“限乘”“买三送一”“半价”）。

【对策】读题时手指指着逐字读，圈完数字圈单位，列式后回看原题数字。

（二）数量关系混淆类错误（占失分40%）

1.“倍”与“多几倍”混淆：看到“梨比苹果多2倍”，误列8×2=16，正确应为8×（2+1）=24。

2.归一/归总混用：如“3分钟走180米，5分钟走多少米”本应归一，部分学生列180×3÷5（归总思路），把每分钟速度当成固定总量。

3.分数“量”与“率”不分：如“一根绳子剪去1/5”与“剪去1/5米”混为一谈。

【对策】对比辨析。将两道相似题并置，让学生找异同，说思路。

（三）计算与运算顺序错误（占失分20%）

1.脱式计算等号位置错：小学三年级规范——第一个等号写在算式左下方，不另起一行。

2.综合算式忘加括号：如“96-14+15”，导致先算加法。

3.口算基础不牢：两位数乘一位数进位错，几百几十加减法算错。

【对策】每日5分钟限时口算；综合算式列式前先想“我要先算什么”，再把先算的部分用括号包起来。

六、跨域融合与素养拓展——从“解题”走向“解决问题”

（一）跨学科情境渗透

新课标强调“真实情境”。复习题组应引入：

1.体育与健康：跳绳个数统计（平均数、倍数）、跑步配速（归一）。

2.劳动教育：植树问题（间隔）、菜地规划（周长与面积预埋）、购买种子（预算）。

3.科学素养：动物的寿命（倍数）、植物生长高度（测量）。

【案例】三年级科学课学过蚕的一生，数学复习可设计：“一条蚕大约吐丝1500米，照这样计算，8条蚕吐丝多少米？”将枯燥的乘法赋予了生命教育的温度。

（二）开放性问题的思维训练

【拔高】【难点】

不追求唯一答案，追求思维的严密性。

1.条件多余题：给出3-4个条件，只选需要的。考查信息筛选能力。

2.条件不足题：需要补充条件才能解决。如：“篮球有24个，是排球的几倍？”缺少“排球有几个”。

3.策略多样化题：鼓励一题多解，比较最优解。如“黄花6朵，红花是黄花的3倍，一共多少朵？”解法A：6×3+6；解法B：6×（3+1）。教学重点从“你会做”上升到“你哪种方法更聪明”。

4.自编题作业：根据算式编故事，如“96-（14+15）”，让学生写出生活情境。这是检验是否理解算式意义的高级手段。

（三）数学建模意识的启蒙

“解决问题”的最高境界不是套用公式，而是发现模式。复习阶段应引导学生回头看：为什么“归一”“归总”“倍”“分数”这几类题，解题步骤都是“两步”？

因为它们都隐含了一个“桥梁量”——单一量、总量、1份量、1份率。只要找到了这个桥梁，第一步求出它，第二步用它求出答案。这就是模型思想。学生能说出这句话，说明复习真正实现了认知升维。

七、真题模型与命题预测（基于课程标准与学情）

（一）填空题

1.倍的认识：24是6的（）倍；25的5倍是（）。

2.单位换算与计算：3分=（）秒；1吨-600千克=（）千克。

3.分数应用：一盒铅笔12支，拿出其中的2/3，拿出了（）支。

4.归一：4本书高28毫米，12本同样的书高（）毫米。

（二）选择题

1.估算：498×5的积大约是（）。A.2000B.2500C.3000

2.集合：三（2）班参加美术组的有15人，参加音乐组的有12人，两组都参加的有4人，三（2）班参加这两组的一共有（）人。A.27B.23C.19

3.周长：用两根同样长的铁