2025-2026学年人教版九年级数学上学期期末必刷常考题之直线和圆的位置关系

2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之直线和

圆的位置关系

一.选择题（共8小题）

1.（2025秋•牡丹江期中）如图，用，尸C是。。的切线，A,C为切点，若A8是。。的直径，且/。=70°,

2.（2025秋•长沙期中）如图，已知在平面直角坐标系xQy中，。为坐标原点，抛物线产一触2+版与

x轴的一个交点为A（-8,0）,点C是抛物线的顶点，且0c与1y轴相切，点〃为0C上一动点.若

点。为雨的中点，连接0£）,则0。的最大值是（）

3.（2024秋•唐县期末）如图，AABC的内切圆圆。与BC,CA,A8分别相切于点。，E,F,且A8=6,

8c=10,CA=\2.则的长为（）

4.（2025秋•武安市期中）如图，八C•切OO于点C,八8交OO于点尸，且8c为。O的直径，点Q是前？上

异于点8、P的一点.若NA=40°,则N8QP的度数是（)

A.30°B.40°C.45°D.50°

5.（2024秋•占林校级期末）如图，八6为OO的直径，圆周角N/WC=40。，CO为。。的切线，贝叱6€7）

度数为（）

B.50°C.80°D.100°

6.（2025•阳西县一模）如图，48是半圆。的直径，点C在半圆上，CO是半圆的切线，OZ）_LAB,若N

CA8=26°,则/。的度数为（)

C.52°D.64°

7.（2024秋•万全区期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的8,。两点并延长，交过整

点8时的切线于点P,若表盘的半径长为V5,则切线长PC为（）

.2C.2V3D.3V3

8.（2024秋•太和县期末）如图，PA,PB分别与。0相切于A,8两点，C是优弧8上的一个动点，若/

0=50°,则NAC8的度数为（)

A

A.50°B.65°C.55°D.60°

二,填空题（共5小题）

9.（2025秋•红河县期中）如图，0。是△ABC的内切圆且与AB,BC,AC相切于点D,E,F,若AF=3,

BD=2,CE=4,则△48。的周长为.

10.（2025秋•连云港校级期中）当宽为2c〃?的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读

数是2和8,则该圆的半径为cm.

012\3456Z891011

II.（2025秋•富锦市期中）如图，AB是。0的切线，B为切点，AB=5,OC=2,则AC

AC

12.（2025秋•绥滨县期中）如图，。。为△A8C的内切圆，NC=5.5,点D,E分别为8C,AC上的点,

且。E为OO的切线，切点为Q,则的周长为.

A

BMDJ

13.（2025•西峡县一模）如图，已知△ABC,以AB为直径的。O交于点。，与AC相切于点4连接

0D.若NAOO=78°,则/C的度数为

三,解答题(共2小题)

14.(2025秋•泰州期中)如图，A6是。。的直径，八。是OO的弦，点尸是。八延长线的・点，AC平分

NFAB交QO于点、C,过点C作CE_LOH垂足为点£

(1)判断直线CE1与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若4E=1,CE=2,求0。的半径和AO的长.

15.(2025秋•北京期中)如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径作。0交8c于点作DE1AC交

4c于点E,延长石。与4B的延长线交于点F.

(1)求证：QE是。。的切线;

(2)若△ABC为等边三角形，AE=6,求。0半径的长.

A

0

2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之直线和

圆的位置关系

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案CBBBBCBB

一.选择题（共8小题）

1.（2025秋•牡丹江期中）如图，PA,尸C是。。的切线，A,C为切点，若A8是。。的直径，且/尸=70°,

则N84。的度数为（）

A.55°B.45°C.35°D.25°

【考点】切线的性质：等腰三角形的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】C

1

【分析】由切线的性质得NOAP=/OCP=90°,由等腰三角形的性质得“840=3（180。一乙1OC），

即可求解.

【解答】解：连接OC,

•・•必，PC是的切线，

：.OA±AP,OCLCP,

•••NOAP=NOCP=90°,

・・・N4OC=360°-90°-90°-70°

=110°,

1

/.ZBAC=（180°-Z.AOC）

=35°，

故选：C.

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等，熟冻掌握以上知识点是关键.

2.（2025秋•长沙期中）如图，已知在平面直角坐标系x0y中，O为坐标原点，抛物线），=-1/十几与

x轴的一个交点为A（-8,0］，点C是抛物线的顶点，且0。与y轴相切，点尸为。。上一动点.若

点。为孙的中点，连接OQ,则0。的最大值是（）

\<281

【考点】切线的性质；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【答案】B

【分析】由待定系数法可求抛物线解析式，可得点C坐标，可得OC半径为4,由三角形中位线的定理

可求O。，当P”过点C时，PH有最大值，即可求解.

AO=-^x(-8)2+(-8)xb,

解得：b=-l

••・抛物线解析式为：y=-卷/一如

•・•抛物线、=一1/+以过原点与点A(-8,0),

，对称轴为无==-4,

当x=-4时，y=-卷x(-4)2+(-4)x(-务=5.

・•・顶点C(-4,5),

•••。。与)，轴相切，

・・・OC的半径为4,

丁点。为心的中点，

：.OD二PH,

・・・P”最大时，。。有最大值，

，当P"过点C时，尸，有最大值，

:.PH的最大值为4+J(-4-8)2+52=4+13=17,

17

・・・0。的最大值为万，

故选:B.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，)，=/+加+c的图象与性质，切线的性质定理，与

三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是添加恰当辅助线.

3.(2024秋•唐县期末)如图，AABC的内切圆圆。与BC,CA,分别相切于点。，E,F,且48=6,

BC=10,C4=12.则A/7的长为()

【考点】切线长定理；三角形的内切圆与内心.

【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力.

【答案】B

【分析】设A尸=。，根据切线长定理得出4/=AE,CE=CD,BF=BD,求出BD=BF=6・a,CD=

CE=\2-a,根据CD+BD=BC,代入求出a即可.

【解答】解：设A尸=小

•二△A4C的内切圆OO与8C,CA,44分别相切于点。，E，F,

：,AF=AE,CE=CD,BF=BD,

•：AB=6,BC=\O,C4=I2,

:・BD=BF=6-a,CD=CE=\2-a,

VBZXCD=BC=10,

/.(6-fl)+(12-67)=10,

解得：a=4,

即人产=4,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF=AE,CE=CD,BF=BD,

用了方程思想.

4.（2025秋•武安市期中）如图，AC切于点C,A8交于点P,且8c为。。的直径，点。是◎上

异于点从P的一点.若乙4=4。°,则N8QP的度数是（）

B

A.30°B.40°C.45°D.50°

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力.

【答案】B

【分析】连接尸C,根据直.径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进

行求解即可.

【解答】解：如图，4c为的直径，AC切于点C,A4交。。于点P,连接PC.

AZ4C«=ZBPC=90°,

・・・N8CP+NPBC=90°，NABC+NA=90°,

AZA=ZBCP=40Q,

:・/BQP=NBCP=40°,

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.

5.（2024秋•吉林校级期末）如图，为00的直径，圆周角NABC=40°,CO为。0的切线，则N8C。

度数为（）

【考点】切线的性质：圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；几何直观；应用意识.

【答案】B

【分折】已知C。为切线，则可连接OC,根据切线的性质可得NOC»=90°；根据等腰二角形的性质

可得NOCB=N/WC=4（）°,由NBC7）=90°-NOC8即可求得N8CO的度数.

【解答】解：AB为。0的直径，圆周角NABC=40°,C。为。。的切线，如图，连接OC,

：・OC=OB,NOCB=NABC=40°,OC±CD,

：,ZBCD+ZOCB=90a,

・・・N6CQ=900-N0C4=50°,

故选：B.

【点评】本题考杳圆的切线的性质，解决此题用到的知识点是切线的性质定理.

6.（2025•阳西县一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OOJLAB,若N

CAB=26Q,则N。的度数为（）

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】C

【分析】连接OC,根据圆周角定理得到NCO8=2NC4B=52°,进而求出NC。。，根据切线的性质

得到/OCO=90°,根据直角三角形的性质计算，得到答案.

【解答】解:如图，连接01

•・・NCA8=26°,

：,ZCOB=2ZCAB=52°,

'：ODLAB,

••・NCOD=900-52°=38°,

•••CO是半圆的切线,

・・・/。。。=90°,

.,.ZD=90°-38°=52°,

故选：C.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直「经过切点的半径是解题的关键.

7.（2024秋•万全区期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B,。两点并延长，交过整

点8时的切线于点P,若表盘的半径长为V5,则切线长PC为（）

【考点】切线的性质.

【专题】圆的有关概念及性质；应用意识.

【答案】B

【分析】设钟表的中心为点O,连接BC,OD,根据题意可得：点。在上，/。0。=60°,然后利

用圆周角定理可得NO8C=30°,再利用切线的性质可得NBC尸=90°,最后在RlABC尸中，利用锐

角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：设钟表的中心为点O,连接8C,OD,

由题意得：点。在上，NOOC=2X30°=60°,

ANDBC=j^DOC=30°,

•・¥C与oo相切于点c,

：.ZBCP=90°,

•；BC=2V3,

：.CP=tan30°BC="x=2,

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

8.（2024秋•太和县期末）如图，PA,分别与。。相切于A,B两点、,C是优弧4上的一个动点，若N

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力.

【答案】B

【分析】连接OA,OB,根据切线的性质得NOA尸=NO8P=90°,再利用四边形的内角和计算出NAOB

的度数，最后根据圆周角定理计算NACB的度数.

•・•布,PB分别与。。相切于A,8两点，

；・OB_LPB,OAA,PA,

；・NOBP=NOAP=90°,

・・・NAO8=18（）°-ZP=180°-50°=130°,

JZACB=三乙AOB=1x130°=65°,

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握其性质定理是解决此题的关键.

二.填空题（共5小题）

9.（2025秋•红河县期中）如图，。。是△ABC的内切圆且与AB,BC,4C相切于点。，E,F,若4尸=3,

BD=2,CE=4,则△A8C的周长为18

【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质.

【专题】圆的有关概念及性质.

【答案】18.

【分析】利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长.

【解答】解：:。。是△A8C的内切圆，且与AB,BC,AC相切于点。，E,F,

：,AF=AD=3,BD=BE=2,CE=CF=4,

.\AB=AEH-BD=3+2=5,

BC=BE+CE=2+4=6,

AC=AF+CF=3+4=1,

△ABC的周长为AB+BC+AC=5+6+1=18,

故答案为：18.

【点评】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.

10.（2025秋•连云港校级期中）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案吟.

【分析】首先连接OC，交A5于点。，连接OA，由切线的性质与垂径定理可求得4。的长，然后设该

圆的半径为“7〃，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案.

【解答】解：如图，设。。与刻度尺的下边缘相切于点C，连接。C，交A8于点D,连接0A,

•・•刻度尺上下边缘平行，

/.ODLAB,

：.AD=\AB=Ix(8-2)=3cm,

设0As,

•••刻度尺的宽为2cm,BPCD=2an

则0D=(r-2)cm,

在山△(以〃中，由勾股定理可得：

即7・(r-2)2=32,

解得r=^-cm.

故答案为：

4

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键.

11.(2025秋•富锦市期中)如图，人“是。O的切线，区为切点，A13=5,OC=2,则4C=_9一2_.

【考点】切线的性质；勾股定理.

【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

【答案】闻一2.

【分析】连接04,根据题意可得由己知条件利用勾股定理求得AO的长度，再由己知半径

长可求得AC的长度.

【解答】解：如图，连接

TAB是。。的切线，8为切点，

••・04_LA6,

又丁OC=2,

：,OB=OC=2,

\'AB=5,

AO=7AB2+OB?=V29,

：.AC=AO-OC=>/29-2.

故答案为：V29-2.

【点评】本题考查了圆的性质及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灭活运用.

12.（2025秋•绥滨县期中）如图，。。为△/WC的内切圆，NC=5.5,点。，E分别为BC,AC上的点,

且OE为。。的切线，切点为。，则△COE的周长为11.

【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】11.

【分析】根据切线的性质得到CN=CM=5.5,根据切线长定理得到EN=EQ,DQ=DM,根据三角形

的周长公式即可得到结论.

【解答】解：:。。为△ABC的内切圆，

:・CN=CM=5.5,

•••OE为。。的切线，切点为2，

：,EN=EQ,DQ=DM,

△CDE的周长=CE+CD+DE=CE+EQ+DQ+CD=CE+EN+CD+DM=CN+CM=Ih

故答案为：11.

【点评】此题主要是考查了切线的性质、三角形内切圆与内心、切线长定理.掌握圆中的有关定理是解

题的关键.

13.（2025•西峡县一模）如图，已知△ABC,以A8为直径的。。交8c于点D,与AC相切于点A,连接

OD.若NAOQ=78°,则NC的度数为51°.

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】由圆周角定理可得出/8=之乙4。。=39。，根据圆的切线性质定理可得出/A4C=90°,由直

角三角形两锐角互余即可得出答案.

【解答】解：已知△A8C,以A8为直径的。。交8c于点Z）,AD=AD,

：,ZB=^LAOD=39°.

*/以AB为直径的OO与AC相切于点A,

AZBAC=90a,

AZC=90°-39°=51°.

故答案为：51°.

【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理.

三,解答题（共2小题）

14.（2025秋•泰州期中）如图，A8是。。的直径，4。是。。的弦，点产是D4延长线的一点，AC平分

/次B交OO于点C,过点C作CELDF,垂足为点E.

Q）判断直线C七与OO的位置关系，并说明理由：

（2）若A£=l,CE=2,求OO的半径和力。的长.

【考点】直线与圆的位置关系；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】（1）CE是。。的切线.

.\ZOCA=ZOAC,

「AC平分NM8,

：.ZOAC=ZCAE,

：.ZOCA=ZCAE,

J.OC//FD,

VCE1DF,

,半径OC_LCE,

・・・CE是OO的切线；

（2）。0的半径为2.5,4。的长为3.

【分析】（1）连接CO,证得NOC4=NCAE,由平行线的判定得到OC〃/7）,再证得OC_LCE,即可

证得结论：

（2）连接BC,由圆周角定理得到N8C4=90°,再证得△ABCs△4。后根据相似三角形的性质即可

证得结论.

【解答】（1）CE是。。的切线.

9：OA=OC.

：.ZOCA=ZOAC,

•「AC平分N四从

：.ZOAC=ZCAE,

：.ZOCA=ZCAE,

：.OC//FD,

・•・半径OCA.CE,

・・・CE是OO的切线;

在RtZ\AC£中，AC=y/AE2+EC2=V22+l2=V5,

•「AB是。。的直径，

.,.ZBG4=90°,

：.ZBCA=ZCEA,

ZCAE=ZCAB,

JAABC^AACE,

•_CA__A_E

''AB~AC

,限1

,•布=行

：,AB=5,

：.AO=2.5；即。。的半径为2.5.

作O〃J_AO于〃，

：.AD=2AH,

••・四边形CO”E是矩形，

AOH=EC,OC=OA=EH,AH=EH-EA,

AH=2.5-1=1.5,

：,AD=2AH=3.

・・・OO的半径为2.5,4。的长为3.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判

定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键.

15.（2025秋•北京期中）如图，ZkABC中，AB=AC,以A8为直径作。。交BC于点。，作QE_LAC交

AC于点E,延长E。与A8的延长线交于点尸.

（1）求证：。£是0。的切线；

（2）若△A8C为等边三角形，AE=6,求OO半径的长.

【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力.

【答案】（1）连接O。，则00=08,

：,A0DB=ZABC,

\,AB=AC,

AZC=ZABC,

：,/0DB=/C,

：.0D//AC,

・••/）七_1_人。于点石，

：,ZODF=^AEF=90°,

〈OD是O。的半径，且。E10Q,

・・・QE是OO的切线.

（2）。。半径的长为4.

E

【分析】（l）连接OD,则OD=OB,所以NOOB=NA8C,由AB=AC,得NC=NA8C,则NODB

=ZC,所以OO〃AC,而。E_LAC于点E,则/。。"=/力正/=90°,即可证明。E是。0的切线.

（2）由等边三角形的性质得/84。=/48。=/。=60°,可证明△8。。是等边三角形，则OA=OD

=OB,由NAEF=NQED=90°,推导出/尸=/8。尸=NCOE=30°,则AF=Z4£=12,BF=BD=

OB,所以0A=8尸=OB=<Ar=4,则。0半径的长为4.

【解答】（1）证明：连接O。，MOD=OB,

:.N0DB=NABC,

*：AB=AC,

：.ZC=ZABC,

工/0DB=/C,

：,0D//AC,

•・・。石_14。于点七,

：,ZODF=ZAEF=90c,

*：OD是OO的半径，且DE1OD,

，。七是Oo的切线.

（2）解：••.△ABC为等边三角形,

••・NB4C=NABC=/C=60°,

，：OD=OB,

・•・△BOD是等边三角形,

：.OA=OD=OB,

VZ4EF=ZDED=90°,AE=6,

.\ZF=90o-ZBAC=30°,NBDF=/CDE=900-ZC=30°,

：.AF=2AE=\2,ZF=ZBDF,

：,BF=BD=OB,

・•・OA=BF=0B=^AF=1xl2=4,

・・・OO半径的长为4.

【点评】此题重点等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、叨线的判定、

直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的•半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键.

考点卡片

1.二次函数的性质

h4ac—L

二次函数），=/+/＞+，（a#0）的顶点坐标是（一5；;,-------）,对称轴直线x=-57,二次函数yno^+^x+c

乙CL4a乙a

（°W0）的图象具有如下性质：

①当。＞0时，抛物线jua^+Z^+c（aWO）的开口向上，入V-/时，F随x的增大而减小；大＞一名时，

），随x的增大而增大；.口-与时，），取得最小值”式，即顶点是抛物线的最低点.

“4a

②当〃＜0时，抛物线jHad+bx+c（“WO）的开口向下，工〈一言时，y随x的增大而增大；工〉一名时，

），随工的增大而减小；.--义时，），取得最大值”子，即顶点是抛物线的最高点.

③抛物线产〃/+加:+c（“#（））的图象可由抛物线y=o?的图象向右或向左平移|一右个单位，再向上或向

4a

4QC—b）

下平移|「一I个单位得到的.

4a

2.二次函数图象上点的坐标特征

n4QC—

二次函数），=加+法+c（aWO）的图象是抛物线，顶点坐标是（一方，———）.

①帼物线是关于对称轴x=-/成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系

式,顶点是抛物线的最高点或最低点.

②抛物线与），轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值.

③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（川，0）,（X2,0）,则其对称轴为尸&罗.

3.抛物线与x轴的交点

求二次函数），=/+队+。（a,b,。是常数，与x轴的交点坐标，令丁=0,即。/+加+。=0,解关于

X的一元二次方程即可求得交点横坐标.

（I）二次函数产ar2+以+c（a,b,c是常数，心0）的交点与一元二次方程/+必+c=0根之间的关系.

△=信-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

△=户-4牝＞（）时，抛物线与x轴有2个交点；

△=从-4农=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=/-4〃cV0时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（X-xi）Gm）（a,b,c是常数，aWO）,可直接得到抛物线与x轴的交

点坐标（XI,0）,（X2,0）.

4.等腰三角形的性质

（I）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高：③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

5.等边三角形的性质

（I）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶

角和底角是相对而言的.

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线

是对称轴.

6.勾股定理

（【）勾股定理：在任何一个直隹三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果宜角三角形的两条直角边长分别是小b