2025-2026学年上海市闵行区“六校联合教研”高一上学期期中质量调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市闵行区“六校联合教研”2025-2026学年高一上学期期中质量调研数学试卷一、填空题：（本题共12小题，其中1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）．1.已知全集为，集合，则___________．【答案】【解析】由全集为，集合，则.故答案为：.2.已知集合，则________.【答案】【解析】因为集合，则.故答案为．3.若，则的最小值为__________.【答案】【解析】因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为：.4.将（其中）化为有理数指数幂的形式为______.【答案】【解析】.故答案为：.5.已知，用表示___________．【答案】【解析】.故答案为：.6.若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是________【答案】【解析】“”是“”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得．7.用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________．【答案】且【解析】由题意应假设且.故答案为：且.8.一元二次不等式的解集是，则___________．【答案】【解析】的解集是，不等式的二次项系数为，抛物线开口向上，不等式解集是方程两根之间的区间，方程的两根为：，，解得，．故答案为：．9.不等式中，当等号成立时的取值范围是___________．【答案】【解析】由，分三类讨论：（1）当时，，所以；不符合题意；（2）当时，，所以，符合题意；（3）当时，，所以，不符合题意；综上可知，当等号成立时的取值范围是.故答案为：.10.若集合有且仅有两个子集，则实数___________．【答案】或【解析】因为集合有且仅有两个子集，所以集合中有1个元素，即方程有且仅有1个实数根.当时，，满足题意；当时，一元二次方程有且仅有1个实数根，所以，解得.综上所述，实数的取值为或.故答案为：或.11.我们在学习数学的过程中不仅要学习解题的方法，还要注意学习其中的数学思想，比如我们在解不等式时，可利用不等式的性质，原不等式等价于或去求解．仿照上述方法可求得不等式的解集为___________．【答案】【解析】仿照题中方法，不等式等价于①或②.由，得，所以；由，得，所以或.所以不等式组①的解集为.由，得或，所以或；由，得，所以.所以不等式组②的解集为.综上，所求解集为.故答案为：.12.甲、乙两位同学同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64．若这个方程的真正的根为，则___________．【答案】【解析】原方程可变形为：甲写错了，得到根为及，；又乙写错了常数，得到根为及，；原方程为，即，或，或.所以.故答案为：.二、单选题：（本题共4小题，其中每题4分，每题5分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）13.下列可以构成集合的是（）A.2025年我校高一数学期中试卷中的难题B.高一年级所有高个子男生C.2025年所有受观众喜爱的影片D.所有大于3的自然数【答案】D【解析】对于选项A，什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合；对于选项B，高个子也没有标准，所以B不能构成集合；对于选项C，受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合；对于选项D，一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合.故选：D.14.若，下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由，，，，知：对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，故错误；对于，，故错误．故选：．15.”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（）条件．A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件【答案】C【解析】没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”，这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”.也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的必要条件.条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分.因此，“大国崛起”是“小民尊严”的必要不充分条件.故选：C.16.设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，因式分解得：，因为，所以不等式的解集为，又因为解集恰有3个整数，所以，解得，故选：B.三、解答题：本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（1）计算：；（2）已知，求的值．解：（1）原式；（2）由，则，，则.18.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）若，则对有，解得，即，对，有，即，解得或，即或，则；（2）由可得，则，即，由，，则有，解得，故实数的取值范围为.19.由于中美贸易战，某生产LED灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场．该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件，据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件．（1）假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？（2）为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．解：（1）设每件售价降元，现在售价为元，每件产品利润为元，月销售量为万件，月销售利润为万元，而降价前的月销售利润万元，因为降价后月总利润不低于原来的月总利润，所以，即，解得，所以售价元.故每件每件售价最少为元.（2）总利润包括产品利润和政府补贴，设总利润为万元，降价元后的利润为万元，政府补贴万元，所以，当且仅当且，即时，等号成立.故时，该企业下月的月总利润有最大值万元.20.已知二次函数．（1）若关于的方程有两个不等实数根，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有两个不等正实数根，求实数的取值范围；（3）若在内不存在使得不等式成立，求实数的取值范围．解：（1）由方程有两个不等实数根，可得：，化简得：，解得或.故实数的取值范围为或.（2）由方程有两个不等实数根，可得：，化简得：，解得或，且满足，解得，故实数的取值范围为.（3）因为在内不存在使得不等式成立，所以在内使得不等式恒成立，当对称轴，只需要满足，解这两个不等式组可得：，当对称轴，只需要满足，解这两个不等式组可得：，综上可得：实数的取值范围为.21.平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现．（1）当时，求的最小值，并指出此时的值；（2）已知，且，求的最小值，并指出此时的值；（3）已知，求函数的最小值，并指出此时的值．解：（1）因为，所以，，根据基本不等式，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因此，当时，取得最小值3.（2）因为，所以，根据基本不等式，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，由且，解得，因此，当时，的最小值是4；（3）因为，所以，，因为，，根据基本不等式，因为，，所以，当且仅当，即或（舍）时取等号，所以，因此，当时，的最小值为.上海市闵行区“六校联合教研”2025-2026学年高一上学期期中质量调研数学试卷一、填空题：（本题共12小题，其中1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）．1.已知全集为，集合，则___________．【答案】【解析】由全集为，集合，则.故答案为：.2.已知集合，则________.【答案】【解析】因为集合，则.故答案为．3.若，则的最小值为__________.【答案】【解析】因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为：.4.将（其中）化为有理数指数幂的形式为______.【答案】【解析】.故答案为：.5.已知，用表示___________．【答案】【解析】.故答案为：.6.若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是________【答案】【解析】“”是“”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得．7.用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________．【答案】且【解析】由题意应假设且.故答案为：且.8.一元二次不等式的解集是，则___________．【答案】【解析】的解集是，不等式的二次项系数为，抛物线开口向上，不等式解集是方程两根之间的区间，方程的两根为：，，解得，．故答案为：．9.不等式中，当等号成立时的取值范围是___________．【答案】【解析】由，分三类讨论：（1）当时，，所以；不符合题意；（2）当时，，所以，符合题意；（3）当时，，所以，不符合题意；综上可知，当等号成立时的取值范围是.故答案为：.10.若集合有且仅有两个子集，则实数___________．【答案】或【解析】因为集合有且仅有两个子集，所以集合中有1个元素，即方程有且仅有1个实数根.当时，，满足题意；当时，一元二次方程有且仅有1个实数根，所以，解得.综上所述，实数的取值为或.故答案为：或.11.我们在学习数学的过程中不仅要学习解题的方法，还要注意学习其中的数学思想，比如我们在解不等式时，可利用不等式的性质，原不等式等价于或去求解．仿照上述方法可求得不等式的解集为___________．【答案】【解析】仿照题中方法，不等式等价于①或②.由，得，所以；由，得，所以或.所以不等式组①的解集为.由，得或，所以或；由，得，所以.所以不等式组②的解集为.综上，所求解集为.故答案为：.12.甲、乙两位同学同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64．若这个方程的真正的根为，则___________．【答案】【解析】原方程可变形为：甲写错了，得到根为及，；又乙写错了常数，得到根为及，；原方程为，即，或，或.所以.故答案为：.二、单选题：（本题共4小题，其中每题4分，每题5分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）13.下列可以构成集合的是（）A.2025年我校高一数学期中试卷中的难题B.高一年级所有高个子男生C.2025年所有受观众喜爱的影片D.所有大于3的自然数【答案】D【解析】对于选项A，什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合；对于选项B，高个子也没有标准，所以B不能构成集合；对于选项C，受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合；对于选项D，一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合.故选：D.14.若，下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由，，，，知：对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，故错误；对于，，故错误．故选：．15.”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（）条件．A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件【答案】C【解析】没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”，这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”.也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的必要条件.条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分.因此，“大国崛起”是“小民尊严”的必要不充分条件.故选：C.16.设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，因式分解得：，因为，所以不等式的解集为，又因为解集恰有3个整数，所以，解得，故选：B.三、解答题：本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（1）计算：；（2）已知，求的值．解：（1）原式；（2）由，则，，则.18.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）若，则对有，解得，即，对，有，即，解得或，即或，则；（2）由可得，则，即，由，，则有，解得，故实数的取值范围为.19.由于中美贸易战，某生产LED灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场．该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件，据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件．（1）假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？（2）为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．解：（1）设每件售价降元，现在售价为元，每件产品利润为元，月销售量为万件，月销售利润为万元，而降价前的月销售利润万元，因为降价后月总利润不低于原来的月总利润，所以，即，解得，所以售价元.故每件每件售价最少为元.（2）总利润包括产品利润和政府补贴，设