2025-2026学年四川省成都市郫都区高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市郫都区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知向量，若与共线，则的值为（）A.5 B.4 C. D.【答案】C【解析】由题意可设，即，解得.故选：C.2.据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（）A.45 B.50 C.51 D.53【答案】B【解析】由这组数据共个，因为不是整数，所以这组数据的25百分位数为第个数据，即：.故选：B.3.在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】设正方体的棱长为，以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示:则,所以,所以,所以,异面直线与所成角为90°，其余弦值为0.故选：C.4.已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由题：设，点到点与点的距离相等，所以，，，解得：，则点的竖坐标为故选：A.5.某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表：根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（）A.身高在区间的男生比女生多人B.B组中男生和女生占比相同C.超过一半的男生身高在以上D.女生身高在组的人数有人【答案】D【解析】抽取的男生总人数为（人），因为抽取的样本中，男生、女生人数相同，所以抽取的女生总人数为人，由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人，由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人），则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误；B组中男生和女生占比不相同，选项B错误；男生身高在以上的占比为，则选项C错误；女生中E组的人数为（人），则选项D正确；故选：D.6.已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（）A.0.4 B.0.58 C.0.7 D.0.72【答案】B【解析】，，所以.故选：B.7.两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】由题意知，，所以，又异面直线a、b所成的角为，即，所以，所以或，故选：B.8.阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（）是的一个方向向量．A. B. C. D.【答案】A【解析】同理可得平面与一个法向量为和，设直线的一个方向向量为，则，不妨取，则，故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分）9.有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）A.的平均数等于的平均数B.的中位数等于的中位数C.的标准差不小于的标准差D.的极差不大于的极差【答案】BD【解析】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，则，因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A错误；对于选项B：不妨设，可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数，标准差，，则平均数，标准差，显然，即，所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误；对于选项D：不妨设，则，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：BD.10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（）A.甲、乙对立 B.甲、丙互斥 C.甲、乙相互独立 D.乙、丙相互独立【答案】BC【解析】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”记为事件A，则，可得；乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”记为事件B，则，可得；丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”记为事件C，则，可得；对于A：因为，可知事件甲、乙不是互斥事件，更不可能为对立事件，故A错误；对于B：因为，即事件甲、丙不可能同时发生，所以事件甲、丙互斥，故B正确；对于C：因为，则，即，所以甲、乙相互独立，故C正确；对于D：因为，则，即，所以乙、丙不相互独立，故D错误；故选：BC.11.在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（）A.当平面时，不可能垂直B.若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C.当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为D.当时，的最小值为【答案】BD【解析】对于A，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，则，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即平面的法向量为，若平面，则，即，由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误；对于B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，若与平面所成角为，则，所以，即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确；对于C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错误；对于D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理得，所以，D正确.故选：BD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差__________.【答案】或【解析】因为平均数，所以方差.故答案为：.13.已知点，，，则点C到直线的距离为______.【答案】【解析】设点到直线的距离为，因为，，所以，故.故答案为：.14.九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________.5【答案】或【解析】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，所以、位置填或，先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，若填，则填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；共包含个结果；所以总的结果个数为个其中符合的情况有，，，，，共个，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图所示，平行六面体中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．解：（1），则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以，，则.16.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组．（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；（2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．解：（1）由直方图知：，可得，∴500名志愿者中年龄在的人数为人.（2）由频率分布直方图可得众数为，前两个矩形的面积为，又第三个矩形的面积为，所以中位数在内，为.（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，则抽取两人的基本事件有，，共15种，恰好来自同一组的基本事件有，，共4种，∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是中点，作交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小．（1）证明：在四棱锥中，底面，底面，则，由底面是正方形，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，则，令，得，则，而平面，所以平面.（2）证明：由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.（3）解：由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，，而，则，即，则的一个法向量为，因此，而，则，所以平面与平面的夹角为.18.某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．（1）求部件正常工作的概率；（2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？解：（1）记事件分别表示元件正常工作，则，事件表示正常工作，由元件工作是相互独立的，则．（2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为，记事件分别表示新增两个元件正常工作，则．事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，则．所以..所以，所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大．19.在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．（1）求证：；（2）如图，且，求点到平面的距离；（3）设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．（1）证明：∵四边形为正方形，∴，又平面，平面，∴平面又平面，平面平面，∴.（2）解：如图所示，取中点，连接，则，∵平面，平面，平面，∴，，∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，于是，，，设平面的法向量为，则，得，取，∴点M到平面PBC的距离为.（3）解：∵，且平面为正方形，∴点在平面上的射影是的中心，可设，则，∴，解得，即设，则.又，设平面的法向量为则，取设直线与平面所成角为，则，所以当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．四川省成都市郫都区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知向量，若与共线，则的值为（）A.5 B.4 C. D.【答案】C【解析】由题意可设，即，解得.故选：C.2.据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（）A.45 B.50 C.51 D.53【答案】B【解析】由这组数据共个，因为不是整数，所以这组数据的25百分位数为第个数据，即：.故选：B.3.在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】设正方体的棱长为，以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示:则,所以,所以,所以,异面直线与所成角为90°，其余弦值为0.故选：C.4.已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】由题：设，点到点与点的距离相等，所以，，，解得：，则点的竖坐标为故选：A.5.某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表：根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（）A.身高在区间的男生比女生多人B.B组中男生和女生占比相同C.超过一半的男生身高在以上D.女生身高在组的人数有人【答案】D【解析】抽取的男生总人数为（人），因为抽取的样本中，男生、女生人数相同，所以抽取的女生总人数为人，由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人，由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人），则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误；B组中男生和女生占比不相同，选项B错误；男生身高在以上的占比为，则选项C错误；女生中E组的人数为（人），则选项D正确；故选：D.6.已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（）A.0.4 B.0.58 C.0.7 D.0.72【答案】B【解析】，，所以.故选：B.7.两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】由题意知，，所以，又异面直线a、b所成的角为，即，所以，所以或，故选：B.8.阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（）是的一个方向向量．A. B. C. D.【答案】A【解析】同理可得平面与一个法向量为和，设直线的一个方向向量为，则，不妨取，则，故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分）9.有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）A.的平均数等于的平均数B.的中位数等于的中位数C.的标准差不小于的标准差D.的极差不大于的极差【答案】BD【解析】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，则，因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A错误；对于选项B：不妨设，可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数，标准差，，则平均数，标准差，显然，即，所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误；对于选项D：不妨设，则，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：BD.10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（）A.甲、乙对立 B.甲、丙互斥 C.甲、乙相互独立 D.乙、丙相互独立【答案】BC【解析】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”记为事件A，则，可得；乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”记为事件B，则，可得；丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”记为事件C，则，可得；对于A：因为，可知事件甲、乙不是互斥事件，更不可能为对立事件，故A错误；对于B：因为，即事件甲、丙不可能同时发生，所以事件甲、丙互斥，故B正确；对于C：因为，则，即，所以甲、乙相互独立，故C正确；对于D：因为，则，即，所以乙、丙不相互独立，故D错误；故选：BC.11.在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（）A.当平面时，不可能垂直B.若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C.当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为D.当时，的最小值为【答案】BD【解析】对于A，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，则，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即平面的法向量为，若平面，则，即，由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误；对于B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，若与平面所成角为，则，所以，即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确；对于C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错误；对于D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理得，所以，D正确.故选：BD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差__________.【答案】或【解析】因为平均数，所以方差.故答案为：.13.已知点，，，则点C到直线的距离为______.【答案】【解析】设点到直线的距离为，因为，，所以，故.故答案为：.14.九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________.5【答案】或【解析】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，所以、位置填或，先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，若填，则填，填，填，填，填，填，填；或填，填，填，填，填，填，填；共包含个结果；所以总的结果个数为个其中符合的情况有，，，，，共个，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图所示，平行六面体中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．解：（1），则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以，，则.16.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组．（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；（2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．解：（1）由直方图知：，可得，∴500名志愿者中年龄在的人数为人.（2）由频率分布直方图可得众数为，前两个矩形的面积为，又第三个矩形的面积为，所以中位数在内，为.（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，则抽取两人的基本事件有，，共15种，恰好来自同一组的基本事件有，，共4种，∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是中点，作交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小．（1）证明：在四棱锥中，底面，底面，则，由底面是正方形