2025-2026学年四川省泸州市龙马潭区高二上学期期中联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省泸州市龙马潭区2025-2026学年高二上学期期中联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（）A.24 B.26 C.30 D.36【答案】A【解析】依题意高一年级应抽取的人数为人.故选：A.2.过两点的直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线经过和两点，可得，设直线的倾斜角为，可得，又因为，所以.故选：B.3.某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁以下教职工的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，抽到35岁以下教职工的概率为.故选：B.4.在空间中，若向量，，共面，则（）A.4 B.2 C. D.6【答案】A【解析】，，，因为向量，，共面，所以存在有序实数对，使得，即，，解得，即.故选：A.5.已知样本数据为，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）A.极差 B.方差 C.平均数 D.中位数【答案】D【解析】去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，中位数不变，而极差，方差，平均数都有可能发生改变.故选：D.6.将颜色分别为红、白、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球”互为对立事件的是（）A.乙分得红球 B.丙分得红球 C.甲分得白球或蓝球 D.乙分得白球或蓝球【答案】C【解析】事件“甲分得红球”与“甲分得白球或蓝球”不能同时发生但又必有一个发生，故这两个事件是互为对立事件.故选：C.7.如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】连接，由题意，为中点，则.故选：A.8.已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为所以，，即，因为，，所以平面，同理可得平面，所以可作为边长为1的正方体的四个顶点，因为正方体的外接球直径为，所以外接球的半径为，因此球的体积为，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B.直线的倾斜角的取值范围是C.过两点的所有直线，其方程均可写为D.已知，若直线与线段有公共点，则【答案】ACD【解析】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立；若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立；“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误；对于B，由直线得：，直线的斜率，即，又，，B正确；对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误；对于D，由得：，直线恒过定点；，，结合图象可知：，，D错误.故选：ACD.10.已知事件两两互斥，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】对于A，因为事件两两互斥，所以，故A错误；对于B，由，得，故B正确；对于D，由，得，故D正确；对于C，因为，故C正确.故选：BCD.11.直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（）A.点的轨迹的长度为.B.直线与平面所成的角为定值．C.点到平面的距离的最小值为.D.的最小值为-2．【答案】BC【解析】直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形，又，则和都是等边三角形，设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，点在四边形及其内部运动，设，，由，有，即，所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧，所以点的轨迹的长度为，A选项错误；平面的法向量为，，直线与平面所成的角为，则，又由，则，所以直线与平面所成的角为定值，B选项正确；，设平面的一个法向量为，则有，令，得，，所以点到平面的距离，，所以时，，所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确；，，其几何意义为点到点距离的平方减12，由，点到点距离最小值为，的最小值为，D选项错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的分位数为___________.【答案】9【解析】由题知，总共有10个数据，所以分位数为第8个与第9个数据的平均数，所以分位数为.故答案为：.13.已知点，则向量在上的投影向量的坐标是_____．【答案】【解析】，向量在上的投影向量为：，故答案为：.14.若不等式的解集为，且，则___________．【答案】或【解析】设，，则，故即，结合可得在以原点为圆心，半径为2的半圆上（如图所示），所以的图象为如图所示的半圆，其中而的图象为过的动直线，因为不等式的解集为，故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为，若，结合图象可得，故，故的图象过，故此时即，若，结合图象可得此时，这与矛盾，若，结合图象可得故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为空集，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求满足下列条件的直线方程；（1）过点，且与直线平行的直线方程；（2）过点，且与直线垂直的直线方程；（3）过点，且在两坐标轴上截距相等直线方程．解：（1）设与直线平行的直线方程为，由于过点，代入，解得，可得，所以所求的方程为.（2）设与直线垂直的直线方程为；由于过点，代入，解得，可得，所以所求的直线方程为.（3）当直线过原点时，设直线方程为，代入点，，可得，当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，，可得，综上，所求直线方程为或.16.已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切．（1）求圆C的方程；（2）若，，点M在圆C上，求的取值范围．解：（1）设圆C：（），由题意得，解得，所以圆C的方程为．（2）设，，由，得，则．当时，取得最小值，最小值为10；当时，取得最大值，最大值为34．故的取值范围为.17.如图，在三棱锥中，，，，点D，E，F满足，，.（1）求线段的长；（2）求直线与所成的角.解：（1）由，，则、分别为、中点，，则.（2）由，则，则，故，即直线与所成的角为.18.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）：（1）求的值；（2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率；（3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差.解：（1）由图可知：，解得.（2）样本成绩位于和的比例为，故所抽取的6个人中，来自的人数为，设这两个人为来自的人数为，设这4个人为，则从6个人中随机抽取2个人的所有情况有：，2人中有来自组情况有故2人中有来自组的学生的概率为.（3）由，可得，则剔除其中的94和86两个分数，剩余8个数平均数为；又标准差，故，则，则剩余的8个数的方差为.19.如图，在直四棱柱中，，，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值：（3）若为线段上的动点，求到直线距离的最小值.（1）证明：由直四棱柱知，底面，因平面，所以，又，，平面，所以平面，因平面，所以．因为，，．所以，，所以，所以，因为，所以，所以，又，平面，所以平面．（2）解：因为底面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由（1）知，为平面的一个法向量．设平面的一个法向量为，因为，则，令，则，平面的一个法向量为．所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．（3）解：设，则，设到直线的距离为，则，所以当时，，即到直线距离的最小值为．四川省泸州市龙马潭区2025-2026学年高二上学期期中联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（）A.24 B.26 C.30 D.36【答案】A【解析】依题意高一年级应抽取的人数为人.故选：A.2.过两点的直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线经过和两点，可得，设直线的倾斜角为，可得，又因为，所以.故选：B.3.某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁以下教职工的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，抽到35岁以下教职工的概率为.故选：B.4.在空间中，若向量，，共面，则（）A.4 B.2 C. D.6【答案】A【解析】，，，因为向量，，共面，所以存在有序实数对，使得，即，，解得，即.故选：A.5.已知样本数据为，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）A.极差 B.方差 C.平均数 D.中位数【答案】D【解析】去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，中位数不变，而极差，方差，平均数都有可能发生改变.故选：D.6.将颜色分别为红、白、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球”互为对立事件的是（）A.乙分得红球 B.丙分得红球 C.甲分得白球或蓝球 D.乙分得白球或蓝球【答案】C【解析】事件“甲分得红球”与“甲分得白球或蓝球”不能同时发生但又必有一个发生，故这两个事件是互为对立事件.故选：C.7.如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】连接，由题意，为中点，则.故选：A.8.已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为所以，，即，因为，，所以平面，同理可得平面，所以可作为边长为1的正方体的四个顶点，因为正方体的外接球直径为，所以外接球的半径为，因此球的体积为，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B.直线的倾斜角的取值范围是C.过两点的所有直线，其方程均可写为D.已知，若直线与线段有公共点，则【答案】ACD【解析】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立；若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立；“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误；对于B，由直线得：，直线的斜率，即，又，，B正确；对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误；对于D，由得：，直线恒过定点；，，结合图象可知：，，D错误.故选：ACD.10.已知事件两两互斥，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】对于A，因为事件两两互斥，所以，故A错误；对于B，由，得，故B正确；对于D，由，得，故D正确；对于C，因为，故C正确.故选：BCD.11.直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（）A.点的轨迹的长度为.B.直线与平面所成的角为定值．C.点到平面的距离的最小值为.D.的最小值为-2．【答案】BC【解析】直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形，又，则和都是等边三角形，设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，点在四边形及其内部运动，设，，由，有，即，所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧，所以点的轨迹的长度为，A选项错误；平面的法向量为，，直线与平面所成的角为，则，又由，则，所以直线与平面所成的角为定值，B选项正确；，设平面的一个法向量为，则有，令，得，，所以点到平面的距离，，所以时，，所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确；，，其几何意义为点到点距离的平方减12，由，点到点距离最小值为，的最小值为，D选项错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的分位数为___________.【答案】9【解析】由题知，总共有10个数据，所以分位数为第8个与第9个数据的平均数，所以分位数为.故答案为：.13.已知点，则向量在上的投影向量的坐标是_____．【答案】【解析】，向量在上的投影向量为：，故答案为：.14.若不等式的解集为，且，则___________．【答案】或【解析】设，，则，故即，结合可得在以原点为圆心，半径为2的半圆上（如图所示），所以的图象为如图所示的半圆，其中而的图象为过的动直线，因为不等式的解集为，故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为，若，结合图象可得，故，故的图象过，故此时即，若，结合图象可得此时，这与矛盾，若，结合图象可得故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为空集，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求满足下列条件的直线方程；（1）过点，且与直线平行的直线方程；（2）过点，且与直线垂直的直线方程；（3）过点，且在两坐标轴上截距相等直线方程．解：（1）设与直线平行的直线方程为，由于过点，代入，解得，可得，所以所求的方程为.（2）设与直线垂直的直线方程为；由于过点，代入，解得，可得，所以所求的直线方程为.（3）当直线过原点时，设直线方程为，代入点，，可得，当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，，可得，综上，所求直线方程为或.16.已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切．（1）求圆C的方程；（2）若，，点M在圆C上，求的取值范围．解：（1）设圆C：（），由题意得，解得，所以圆C的方程为．（2）设，，由，得，则．当时，取得最小值，最小值为10；当时，取得最大值，最大值为34．故的取值范围为.17.如图，在三棱锥中，，，，点D，E，F满足，，.（1）求线段的长；（2）求直线与所成的角.解：（1）由，，则、分别为、中点，，则.（2）由，则，则，故，即直线与