2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题02 利用导数解决切线（公切线）问题教师版

第第页专题02利用导数解决切线（公切线）问题题型一：“在”型求切线【例题1-1】已知函数.曲线在点处的切线方程为（

）A．B．C．D．【答案】C解：因为，所以，所以，，所以切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即；故选：C【例题1-2】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】∵函数在上满足，用替换得：，∴∴令，则，∴，即∴，∴，∴曲线在点处的切线方程是：，即.故选：C.【提分秘籍】已知在点处的切线方程步骤：①求；②【变式1-1】已知满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为(

)A．B．C．D．【答案】C【详解】已知满足，∴为奇函数，当时，，因此，则x＞0时，，曲线在点处的切线斜率，又，∴曲线在点，即(1，0)处的切线方程为，整理得﹒故选：C．【变式1-2】设函数，则曲线在点（3，－6）处的切线方程为（

）A．y＝9x＋21B．y＝－9x＋19C．y＝9x＋19D．y＝－9x＋21【答案】D【详解】解：因为函数，所以，所以，所以切线的斜率为.所以曲线在点（3，－6）处的切线方程为y＋6＝－9（x－3），即y＝－9x＋21.故选：D.【变式1-3】函数在处的切线方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】依题意，，则，而，于是有，即，所以所求切线方程为：.故选：A题型二：“过”型求切线【例题2-1】过点作曲线的切线，则切线方程为（）A．或B．或C．或D．【答案】A【详解】设切点为（m，m3-3m），的导数为，可得切线斜率k＝3m2-3，由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），代入点可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），解得m＝0或m＝3，当m=0时，切线方程为，当m=3时，切线方程为，故选A．【例题2-2】已知曲线，过点的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为______________.【答案】0或或【详解】设的坐标为，，过点的切线方程为，代入点的坐标有，整理为，解得或或，故答案为：0或或.【提分秘籍】函数图象过点处的切线方程：①设切线坐标，②求出切线方程为，③代入求得，从而得切线方程．【变式2-1】若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为函数，所以，设切点为，则切线方程为：，将点代入得，即，解得或，所以切点横坐标之和为故选：D.【变式2-2】过点作曲线的切线，则切线方程为A．B．C．D．【答案】C【详解】由，得，设切点为则，∴切线方程为，∵切线过点，∴−ex0＝ex0(e−x0)，解得：．∴切线方程为，整理得：.故选C．【变式2-3】已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由，得，设切点坐标为，则切线方程为，把点代入并整理，得，解得或（舍去），故切线斜率为．故选：C．题型三：已知切线条数求参数【例题3-1】已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过得关于的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为，是三次方程，它有3个解，则其极大值与极小值异号，由此可得的范围．【详解】设切点坐标曲线在处的切线斜率为，又切线过点切线斜率为，，即，∵过点可作曲线的三条切线，方程有3个解．令，则图象与轴有3个交点，的极大值与极小值异号，，令，得或2，或时，，时，，即在及上递增，在上递减，是极大值，是极小值，,即，解得，故选：D.【例题3-2】若过点可作曲线三条切线，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】设切点为，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点，转化为方程有3个根，构造函数，利用导数可知函数的极值，根据题意列出不等式组求解即可.【详解】设切点为，由，故切线方程为，因为在切线上，所以代入切线方程得，则关于t的方程有三个不同的实数根，令，则或，所以当，时，，为增函数，当时，，为减函数，且时，，时，，所以只需，解得故选：A【提分秘籍】过点可做函数的一条（或两条或三条）切线问题步骤：①设切点，求斜率②求切线③将点代入切线方程中得④则问题转化为关于的方程就有几个解⑤转化为交点问题或极值问题求解.【变式3-1】若过可做的两条切线，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】设切点为，切线的斜率，则切线方程为：，把点代入可得，化为：，则此方程有大于0的两个实数根．则，即，则，故选：A．【变式3-2】已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：设切点为，则，所以切线的斜率为，又因为切线过点，所以，即，令，则，令，得或，当或时，，当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极大小值，因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有3个解，则，解得，故选：D题型四：判断切线条数【例题4-1】已知函数，过点作曲线的切线，则可作切线的最多条数是______．【答案】3【详解】∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，设切点为（），由，可得，则切线的斜率，∴，解得或或，故切线有3条.故答案为：3.【提分秘籍】过点可做函数的几条切线问题步骤：①设切点，求斜率②求切线③将点代入切线方程中得④解出即可判断切线为几条.【变式4-1】过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】设切点为，，切线斜率，切线方程为：；又切线过，；设，则，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增，又，，恒成立，可得图象如下图所示，则当时，与有三个不同的交点，即当时，方程有三个不同的解，切线的条数为条.故选：D.【变式4-2】已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（

）A．0B．1C．2D．3【答案】C【详解】解：因为，所以，设切点为，所以在切点处的切线方程为，又在切线上，所以，即，整理得，解得或，所以过点可作曲线的切线的条数为2.故选：C．题型五：公切线问题【例题5-1】若直线是曲线与的公切线，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，进而即得.【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，，由点在切线上，得切线方程为；由点在切线上，得切线方程为，故，解得，，故.故选：B.【例题5-2】若直线是曲线和的公切线，则实数的值是___________．【答案】【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值.【详解】设直线与曲线、分别相切于点、，对函数求导得，则，曲线在点处的切线方程为，即，对函数求导得，则，曲线在点处的切线方程为，即，所以，，化简可得.故答案为：.【提分秘籍】是和的公切线问题：①设与相切的切点为则，求出切线方程②设与相切的切点为则，求出切线方程③联立两切线求解.【变式5-1】若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（

）A．0B．1C．eD．【答案】D【详解】设l与的切点为，则由，有.同理，设l与的切点为，由，有.故解得或则或.因，所以l为时不成立.故，故选：D.【变式5-2】若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数，），则实数b=___________.【答案】或【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求.设与的切点为，则由，有.同理，设与的切点为，由，有.故由①式两边同时取对数得：，将③代入②中可得：，进而解得或.则或故或.故答案为：或题型六：距离最小值【例题6-1】若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的最小值为（

）A．B．C．D．17【答案】A【详解】设，，，令且当时，，；当时，，设与平行且与相切的直线与切于．则到直线的距离为，即，故选：A．【提分秘籍】本例中设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则的最小值转化为点到直线的距离【变式6-1】直线分别与曲线，直线交于两点，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题，设到直线的距离为，直线的倾斜角为，则，又，，故最小即最小，即为当过点处的切线与直线平行时最小，由曲线，得，所以切点为，可求得点到直线的距离最小值为故，故选：C【变式6-2】点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】不妨设，定义域为：对求导可得：令解得：（其中舍去）当时，，则此时该点到直线的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：解得：故选：A【变式6-3】已知点是函数图象上的点，点是直线上的点，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】当与直线平行的直线与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值.，解得或（舍去），又，所以切点到直线的距离即为的最小值，即.故选：A.题型七：等价转化为距离【例题7-1】已知，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】表示点和之间的距离的平方；点的轨迹为，点的轨迹为，的最小值即为上的点与上的点的距离的平方的最小值；，令，解得：，又，与平行的曲线的切线方程为且切点为，上的点与上的点的最短距离为点到的距离，即最短距离，则，的最小值为.故选：B.【例题7-2】在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（

）A．9B．C．D．【答案】B【详解】由，则，又，的最小值转化为：上的点与上的点的距离的平方的最小值，由，得：，与平行的直线的斜率为1，∴，解得或（舍，可得切点为，切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，的最小值为：.故选：B.【提分秘籍】在本例中根据几何意义可知表示点和之间的距离的平方，根据点的轨迹方程，可将问题转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值的求解；利用导数可求得与平行的曲线的切线及切点，可知所求最小值即为切点到直线距离平方的最小值，利用点到直线距离公式可求得结果.【变式7-1】已知，，的最小值为（

）A．B．2C．D．【答案】B【详解】可以转化为：是函数图象上的点，是函数上的点，.当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值.令，解得或，（舍去），又，所以切点到直线的距离即为的最小值.所以，所以.故选：B.【变式7-2】若，则的最小值是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：由已知可得，，则的最小值即为曲线的点到直线的距离最小值的平方，设，则，令，解得，，曲线与平行的切线相切于，则所求距离的最小值为点到直线的距离的平方，即.故选：D.【变式7-3】已知，，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】设,,点在函数上，点在函数上，表示曲线上点到直线的点距离.由，可得，与直线平行的直线的斜率为，令，得，所以切点的坐标为，切点到直线的距离.的最小值为.故选：B专题02利用导数解决切线（公切线）问题课后巩固练习一、单选题1．曲线在点处的切线方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】，所以，又，所以切线方程为，即．故选：A．2．已知函数的图像在处的切线过点，则（

）A．B．2C．3D．4【答案】B【详解】由，，，则函数在处的切线方程为，将代入切线方程可得.故选：B3．已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（

）A．0B．C．0或D．或【答案】D【详解】,,，设切点分别为，则曲线的切线方程为：，化简得，，曲线的切线方程为：，化简得，，，故，解得e或.当e，切线方程为，故.当，切线方程为，故，则.故的取值为或.故选：D4．若函数在点处的切线方程为，则实数的值为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：因为，所以，又，所以，所以切线方程为，即，所以，解得；故选：B5．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意得，，．设公切线与的图象切于点，与的图象切于点，∴，∴，∴，∴，∴．设，则，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴实数a的最大值为，故选：A．6．若曲线和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝（

）A．B．C．1D．－1【答案】A【详解】设，则，曲线与切线相切于，则切线方程为：①因为切线与y＝x2＋mx＋1②相切，联立①②：x2＋mx＋1=，所以，所以，所以，则有，解得，故选：A7．已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（

）A．B．C．1D．e【答案】B【详解】解：设与直线垂直，且与相切