2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题03 利用导数解决单调性中求参数问题（选填）（解析版）

第第页专题03利用导数解决单调性中求参数问题（选填）题型一：已知函数在区间上单调【例题1-1】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意得，的定义域为，，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，又函数在上单调递减，所以.故选：A【例题1-2】若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由得，由于函数在区间内单调递减，即在上恒成立，即，即得在恒成立，所以，故选：D.【例题1-3】已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为对，，都有成立，所以对，，都有.设，则在为减函数.，等价于，恒成立，即，恒成立.设，，所以，，为减函数，，，为增函数，所以，所以，即.故选：C【提分秘籍】已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.【变式1-1】若在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意可得：当时，，即.因为和在上单增，所以在上单增，所以，所以.故选：D【变式1-2】设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：函数在上单调递减，当时，，在时恒成立，即，，又在单调递减，故，故．故选：B．【变式1-3】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】，因为在上是增函数，所以对恒成立，则对恒成立，所以对恒成立，则，即.故选：A.题型二：已知函数在区间上存在单调区间【例题2-1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．【例题2-2】若函数存在单调递增区间，则的取值范围是(

)A．B．C．D．【答案】B【详解】，∴在x∈上有解，即ax+0在x∈上有解，即a在x∈上有解．令g(x)，则g′(x)，∴g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，∴g(x)的最小值为g(e)=，∴a＞．故选：B．【提分秘籍】已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调增区间，有解.②已知在区间上存在单调减区间，有解.【变式2-1】若函数在存在单调递减区间，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【详解】因为函数在存在单调递减区间，故在区间上有解.即在区间有解.即存在，使得，又在单调递减，在单调递增.且时，；时；时，，故要满足题意，只需即可，解得.故选：.【变式2-2】若函数f(x)＝x2－4ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为__________．【答案】【详解】因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x)＝2x－4ex－a＞0，即a＜2x－4ex有解．令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex.令g′(x)＝0，解得x＝－ln2.当x∈(－∞，－ln2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增；当x∈(－ln2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减．所以当x＝－ln2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln2，所以a＜－2－2ln2.题型三：已知函数在区间上不单调【例题3-1】已知函数在上不单调，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，则，由，得，单调递增，又由，得，故，所以，的取值范围故选：A【例题3-2】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意得，函数定义域为，令，解得在定义域内，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在区间内不单调，所以，解得，又因为，得，综上，故选：D．【提分秘籍】已知函数在区间上不单调，使得（其中为变号零点）【变式3-1】若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（

）A．或B．或C．D．【答案】A【详解】由题意，函数，可得，因为函数在其定义域上不单调，即有变号零点，结合二次函数的性质，可得，即，解得或，所以实数的取值范围为.故选：A.【变式3-2】已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵，在内不是单调函数，故在存在变号零点，即在存在零点，∴.故选：A.【变式3-3】若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围________.【答案】【详解】解：因为，所以函数的对称轴为，因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.题型四：已知函数的单调区间恰为【例题4-1】已知函数在单调递增，在单调递减，则函数在的值域是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：，∵在单调递增，在单调递减，，即，，，，当，时，，当时，，在，上单调递减，在，，上单调递增，符合题意，又，（1），（2），函数在，的值域是，．故选：A．【例题4-2】已知函数在、上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，则，由题意可知，有两个不等的零点，设为、且，因为函数在、上为增函数，在上为减函数，则、，所以，，解得.故选：B.【变式4-1】已知函数的单调递增区间是，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由题可得，则的解集为，即，，可得，∴，故选:C．【变式4-2】已知函数的单调递减区间是，则关于的不等式的解集是__________.【答案】【详解】，的单调递减区间是，则不等式的解集为，所以是的两根，故，，所以，，.令，得，即，得；令，得，即，得；所以不等式的解集为.故答案为：题型五：已知函数有三个单调区间【例题5-1】若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围为A．B．C．或D．或【答案】D【详解】因为函数恰好有三个单调区间，所以有两个不等零点，则，解得或.故选D.【例题5-2】已知函数，若函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】函数，若函数存在三个单调区间即0有两个不等实根，即有两个不等实根，转化为y=a与y=的图像有两个不同的交点，令，即x=，即y=在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．ymin=-，当x∈（0，）时，y<0，所以a的范围为【提分秘籍】已知函数有三个单调区间有两个不同的实数根.【变式5-1】若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，所以其导函数在定义域上有两个不同的零点，由可得，即，所以只需，方程在上有两个不同的实数根.故选：A.【变式5-2】若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】试题分析：由题意得，函数的导数为，因为函数恰有三个单调区间，所以且有两个根，即，解得且，故选D.【变式5-3】已知函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围是__________．【答案】或【详解】分析：求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a的取值范围．详解：∵函数，∴f′（x）=3x2+6ax+，由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，∴3x2+6ax+=0满足：△=﹣＞0，解得或，故答案为：或．专题03利用导数解决单调性中求参数问题(选填)课后巩固练习一、单选题1．函数恰有个单调区间的必要不充分条件是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：由，得，当时，由，解得，函数有两个单调区间；当时，由，解得，即，此时函数恰有3个单调区间；当时，，解得，即，此时函数恰有3个单调区间．综上所述是函数恰有3个单调区间的充要条件，分析可得是其必要不充分条件．故选：．2．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围为A．B．C．或D．或【答案】D【详解】因为函数恰好有三个单调区间，所以有两个不等零点，则，解得或.故选D.3．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以，则的取值范围为.故选：B4．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.5．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为函数的定义域为，所以，即，，令，得或（舍去），因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，所以，得，综上，，故选：D6．已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】不妨设，由，得，即，令，所以对任意的实数时，都有，即在上单调递增，所以在上恒成立，即．在上恒成立．令．则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围是．故选：B．7．若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（

）A．或B．或C．D．【答案】A【详解】由题意，函数，可得，因为函数在其定义域上不单调，即有变号零点，结合二次函数的性质，可得，即，解得或，所以实数的取值范围为.故选：A.二、填空题8．若函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为______．【答案】【详解】试题分析：函数有3个单调区间，等价于导函数有2个不同零点，9．已知函数，若在定义域内为单调递减函数，则实数k的最小值为_______．【答案】【详解】由题意知，则，在定义域内为单调递减函数，则当时恒成立，则可得：，因为，当且仅当时等号成立，则，故，即实数k的最小值为，故答案为：10．已知函数，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_____