2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题04 构造函数解不等式（选填）（解析版）

第第页专题04构造函数解不等式（选填）题型一：构造或(，且)型【例题1-1】已知定义在上的偶函数满足：当时，恒有．若，，，则，，的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】当时，有，可得，构造函数，，即函数在上单调递减，函数为偶函数，由可知函数为偶函数，，，，由单调性可得，故选：A【例题1-2】已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足且，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】令且，则，又，当时，当时，所以在上递减，在上递增，由为偶函数，则，故也为偶函数，而，且等价于，所以，故.故选：D【例题1-3】已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】令，则．因为对于恒成立，所以，即在上单调递增，又，，，且，所以，即．故选：A【提分秘籍】构造可导积（商）函数模型：①高频考点1：高频考点2②高频考点1：高频考点2【变式1-1】已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，则的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】设，则，由题意知当时，，即，故在时单调递增，故，即，故选：D.【变式1-2】设函数的导函数为，对任意，都有成立，则（

）A．B．C．D．与的大小不确定【答案】C【详解】设，则，由已知可知，当时，成立，所以，因此函数在时单调递减，因为，所以，故选：C【变式1-3】设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为______.【答案】【详解】令，则当时，，所以在单调递减，因为是定义在R上的奇函数，所以是偶函数，在单调递增，则，由可得，当时，，即，解得，当时，，即，解得，综上，不等式的解集为.故答案为：.题型二：构造或(，且)型【例题2-1】已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（

）A．，B．，C．，D．，【答案】D【详解】构造函数，所以在上递增，所以，即.故选：D【例题2-2】已知定义域为的函数的导函数为，且，若实数，则下列不等式恒成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】令，则，因为，所以，所以在上单调递减，令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，即，即，故选：C【例题2-3】已知函数的定义域和值域均为，的导函数为，且满足，则的范围是______．【答案】【详解】解：令，则即的范围是.故答案为：【提分秘籍】构造可导积（商）函数模型：①高频考点1：②高频考点1：【变式2-1】已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（

）A．，B．，C．，D．，【答案】D【详解】令，则，所以函数在上单调递减，所以，，即，，故，．故选：D.【变式2-2】设定义域为R的函数满足，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】B【详解】解：令g（x）＝，则＝＞0，故g（x）在R上单调递增，不等式ex﹣1f（x）＜f（2x﹣1），即＜，故g（x）＜g（2x﹣1），故x＜2x﹣1，解得：x＞1，故选：B.【变式2-3】定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】设，则，因为，所以，即函数在定义域上单调递减，因为，所以不等式等价于，等价于，解得，故不等式的解集为.故选：D．【变式2-4】已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是______.【答案】或【详解】设，因为，所以，所以在上单调递增，由，则，即，所以，解得或.故答案为：或题型三：构造或型【例题3-1】已知函数对任意，满足，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：令，则，因为函数对任意，满足，所以时，，所以在上单调递增，对于A，因为，所以，，得，所以A错误，对于B，因为，所以，即，得，所以B正确，对于C，因为，所以，即，得，所以C错误，对于D，因为，所以，即，即，所以D错误，故选：B【例题3-2】函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为______．【答案】【详解】变形为，变形为，故可令g(x)＝f(x)sinx，，则，∴g(x)在单调递减，不等式即为g(x)＜g()，则，故答案为：.【提分秘籍】构造可导积（商）函数模型：①②【变式3-1】定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（

）．A．B．C．D．【答案】D【详解】，，设，则，则在上为增函数，对于A，因为，所以，即，得，所以A错误，对于B因为，所以，即，得，所以B错误，对于C，因为，所以，即，得，所以C错误，对于D，因为，所以，即，得，所以D正确，故选：D．【变式3-2】函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为__________．【答案】【详解】令，则，因为，所以，因为，所以，所以在上为减函数，由，得，所以，因为在上为减函数，所以，所以不等式的解集为，故答案为：题型四：构造或型【例题4-1】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】令，，因为，所以，所以在上单调递减，又，所以，解得所以.故选：B【例题4-2】设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】设函数，则，因为，所以，所以在上是增函数，，，，所以，故选：A【提分秘籍】构造可导积（商）函数模型：①；②【变式4-1】（多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列选项中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】CD【详解】令，，则.因为，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，即，，故A错误；又，所以，所以在上恒成立，因为，所以，故B错误；又，所以，即，故C正确；又，所以，即，故D正确.故选：CD.【变式4-2】（多选）已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式中成立的是（

）．A．B．C．D．【答案】BCD【详解】∵偶函数对于任意的满足，且，∴可构造函数，则，∴为偶函数且在上单调递增，∴，，，由函数单调性可知，即，∴BD对，A错，对于C，，∴C正确，故选：BCD．【变式4-3】（多选）已知函数对于任意的，均满足，其中是的导函数，则下列不等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】令，其中，则，当时，，则，当时，，则，所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，对于A选项，因为，则，即，所以，，A对；对于B选项，，因为，则，即，所以，，即，B对；对于CD选项，，因为，则，即，所以，，即，C对D错.故选：ABC.题型五：根据不等式（求解目标）构造具体函数【例题5-1】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】设，则.因为，所以，即，所以在上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在上单调递减，所以，解得故选：A【例题5-2】已知是定义在上的函数，是其导函数，若，且，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】设函数，则，即函数在上单调递增，而，即，又，因此，则有，解得，所以原不等式的解集为．故选：B【例题5-3】已知定义在上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于的不等式的解集是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为函数的图象关于点对称，所以函数是奇函数，因为，所以．令，则在R上单调递增．又，，所以，．因为，所以，即，所以，所以．故选：C．【变式5-1】定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：令，

因为定义在上的函数满足，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以不等式可转化为，即，所以ex＞10，所以x＞ln10，所以不等式的解集为.故选：B.【变式5-2】（多选）定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（

）A．B．0C．1D．2【答案】AB【详解】构造函数，则，因为，所以，所以单调递减，又，所以，不等式变形为，即，由函数单调性可得：故选：AB【变式5-3】定义在上的函数满足，则不等式的解集为___________.【答案】【详解】令，则，因为，所以，所以在上单调递增；又因为.不等式,即为，即，所以，所以，所以不等式的解集为：.故答案为：.专题04构造函数解不等式（选填）课后巩固练习一、单选题1．设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，则（

）A．B．C．D．a，b的大小无法判断【答案】A【详解】设，，所以函数在单调递增，即，所以，那么，即.故选：A2．已知函数为函数的导函数，满足，，，，则下面大小关系正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】根据题意，，变换可得：，分析可得，，，，，，，所以函数在上单调递增，所以，即，故选：A.3．已知偶函数的定义域为，，当时，恒成立，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】令函数，因为是偶函数，所以也是偶函数．当时，因为．所以在上单调递增．因为，所以不等式等价于，所以，即．故选：D.4．已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】构造函数，得，由题知时，，所以，故在上单调递增，，即，即，故选：.5．定义在上的函数的导函数满足，则必有（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由，得.设，，则，故在上单调递减，则，则，，但由于，，，的正负不确定，所以，都未必成立.故选：D6．已知函数是定义域R上的可导函数，其导函数为，对于任意的恒成立，则以下选项一定正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：令，则，因为对于任意的恒成立，所以，所以在R上递减，因为，所以，所以，即，所以A正确，C错误，因为，所以，所以，即，所以BD错误，故选：A7．已知定义在上的函数是其导函数，且满足,则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】令，则在上为增函数，又，可化为，即，故选：8．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】当时，令所以，所以在时单调递增，对于A，由以上结论得即即，故A正确；对于B，由以上结论得即即，故B错误；对于C，因为，故只用判断，由A选项知，但无法判断是否成立，故C错误；对于D，只用判断是否成立，根据题设条件，无法判断是否成立，故D错误.故选:A.二、填空题9．已知偶函数的定义域是，，，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则不等式（2）的解集为______.【答案】【详解】当时，由，得，即．令，则在，，上也为偶函数，且当时，总成立，在上是增函数．不等式（2）可化为（2），则，又，，，解得，，．故答案为：10．已知定义在实数集R上的函数满足且导函数则不等式的解集为______________【答案】【详解】设，则，所以函数单调递减，则将不等式变形：，即：，由单调性：，解得：.11．设函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为______________.【答案】【详解】令,则,因为,所以,所以是上的增函数,不等式等价于,因为,所以,等价于,解得,即不等式的解集为.故答案为：12．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为_________．