2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题08 平面向量中的高频小题归类（解析版）

第第页专题08平面向量中的高频小题归类题型一：平面向量的线性运算【例题1-1】已知中，为边上一点，且，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】在中，.因为，所以.所以.故选：A【例题1-2】在△中，，分别为边，的中点，且与交于点，记，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】根据题意可得点G为△的重心，所以．故选：A.【例题1-3】如图，，为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，为以的直径的半圆的两个三等分点，则//，且，又为线段的中点，为的中点故选：A.【提分秘籍】平面向量的线性运算主要工具是向量的加，减法：向量加法法则：①三角形法则(首尾相接，首尾连）：.②平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）：向量减法法则：(共起点，连终点，指向被减向量）【变式1-1】在平行四边形中，分别是的中点，，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】如图所示，设，且，则，又因为，所以，解得，所以.故选：B.【变式1-2】如图，中，，，点E是的三等分点，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】故选：B.【变式1-3】在等边中，O为重心，D是的中点，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，E为BC中点，则有，而D是的中点，所以.故选：D题型二：向量数量积问题（含最值，范围问题）【例题2-1】已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，所以，，三点共线，且点在线段外，因为点为线段的中点，所以，即是直角三角形，所以，由数量积的定义可得：，因为，所以，即，故选:C.【例题2-2】如图，在矩形中，，为边上的任意一点（包含端点），为的中点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】法一：设，因为O为AC的中点，所以，所以．又，所以，因为，所以，所以；法二：以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，所以，，所以．因为，所以，即.故选：A．【例题2-3】已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，当在上时，设，，，当时，，当时，，即，当在上时，设，则，，知，当在上时，设，，，当时，，当时，，即，当在上时，设，，，当时，，当时，，即.综上可得，，故选：C【提分秘籍】求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义（包括向量数量积几何意义）（2）利用向量的坐标运算（自主建系，只要题目有可以建系的条件，可通过建系法求解）；（3）利用向量三角不等式（同号同向取等号；异号反向取等号）例如：中间的连接号都是“”，记忆口诀：同号则，同向不等式取到等号；在不等式中，中间的连接号“”和“”，记忆口诀：异号则，反向不等式取到等号；【变式2-1】在中，，，为线段的中点，，为线段垂直平分线上任一异于的点，则（

）A．B．4C．7D．【答案】C【详解】解：因为在中，为线段的中点，所以，即，因为，，，所以，即，因为，所以，即，所以，，即，所以，因为，所以，即为直角三角形，所以因为为线段垂直平分线上任一异于的点，所以，，，所以故选：C【变式2-2】如图，在平行四边形中，，点E是的中点，点F满足，且，则（

）A．9B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以，即，解得，又，所以，故选：A．【变式2-3】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（

）A．5B．6C．7D．8【答案】D【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，当点位于正六边形的顶点时，取最大值，当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，所以，.所以，.的最小值为.故选：D.题型三：向量的夹角【例题3-1】已知向量是单位向量，向量，且，则与的夹角为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意可知，，，，故，因为，即和的夹角为.故选：C【例题3-2】已知向量满足，则向量与所成的夹角为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意得，，解得，所以，因为，所以向量与所成的夹角为，故选:B．【例题3-3】已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________．【答案】【详解】由题意设，，由，，化简得恒成立，所以，，，，当且仅当且时取到等号；故答案为：.【提分秘籍】求向量夹角公式：【变式3-1】已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，则且，得，又，则，将平方得，解得，,则，设与的夹角为，则，故选：A.【变式3-2】已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】设与夹角为，整理可得：，即，代入可得可得：，即整理可得：当且仅当，即取等号，故，结合，根据余弦函数图象可知最大值：故选：A.【变式3-3】已知向量是单位向量，向量，且，则与的夹角为_____________．【答案】【详解】解：由题意可知，，所以，，所以，解得，因为所以，，即和的夹角为．故答案为：题型四：向量模（含最值，范围问题）【例题4-1】已知向量，满足，，，则（

）A．2B．C．1D．【答案】D【详解】解：因为，所以，因为，，所以，即，解得或（舍）所以，故选：D【例题4-2】已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（

）A．1B．C．D．2【答案】B【详解】设，则，，整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，又在圆上，故的最大值是.故选：B.【例题4-3】已知平面向量，，满足，且，则的最大值为______．【答案】【详解】由题意，，又，故，故，由向量模长的三角不等式，，即，解得：，则的最大值为.故答案为：【提分秘籍】求两个向量的模方法：（1）可通过基底法表示向量求模，也可通过建系法用坐标表示向量求模（2）利用向量三角不等式（同号同向取等号；异号反向取等号）例如：中间的连接号都是“”，记忆口诀：同号则，同向不等式取到等号；在不等式中，中间的连接号“”和“”，记忆口诀：异号则，反向不等式取到等号；【变式4-1】已知点A､B在单位圆上，，若，则的最小值是（

）A．2B．3C．D．4【答案】A【详解】，因此.故选：A.【变式4-2】已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（

）A．2B．4C．6D．8【答案】C【详解】设M是AB的中点，因为，所以，即M在以O为圆心，1为半径的圆上，，所以．又，所以，所以．故选：C.【变式4-3】平面向量满足，则与夹角最大值时为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为平面向量满足，所以，所以，所以.由夹角公式，（当且仅当，即时等号成立）.因为，所以，即时最大.此时.故选：D题型五：平面向量的平行与垂直问题【例题5-1】已知向量，，若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为向量，，所以，又，所以，解得：，故选：.【例题5-2】已知向量，且，则___________.【答案】2【详解】因为，由，，则，所以，解得.故答案为:2【例题5-3】已知点，，向量，若，则实数等于___________.【答案】【详解】因为，，则，因为，则，.故答案为：.【提分秘籍】两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量，（1）．（2）【变式5-1】已知平面向量，若与垂直，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题可知：，因为，所以，故选：A．【变式5-2】若，，，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意，向量，，可得，，因为，可得，解得.故选：A.【变式5-3】已知向量，，且，则______．【答案】2【详解】由题意，，因为，所以，则，解得.故答案为：.题型六：三点共线的等价关系【例题6-1】已知是内一点，，若与的面积之比为，则实数的值为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由得，设，则.由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，∵与反向共线，，∴，∴，∴.故选：D【例题6-2】中，若，点满足，直线与直线相交于点，则的长（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】在△ABC中，由余弦定理得：，设，，因为，所以，即，因为A、B、D三点共线，所以，解得：，所以，即，因为AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因为，所以.故选：A【例题6-3】在中，，分别是边，上的点，且，，点是线段上异于端点的一点，且满足，则_________．【答案】8【详解】解：因为，，所以，，即，，因为，所以，即，即，因为，，三点共线，故，解得．故答案为：【提分秘籍】设平面上三点,,不共线,则平面上任意一点与,共线的充要条件是存在实数与,使得,且.特别地,当为线段的中点时,.【变式6-1】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A．B．2C．D．1【答案】A【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.【变式6-2】如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（

）A．4B．C．D．2【答案】B【详解】设，，，，则，，，，.所以，当且仅当，时等号成立.所以的的最小值是.故选：B【变式6-3】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由题意，设，，当时，，所以，所以，从而有；当时，因为（，），所以，即，因为、、三点共线，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.专题08平面向量中的高频小题归类课后巩固练习一、单选题1．在平行四边形中，，，则（

）A．1B．-1C．9D．-9【答案】D【详解】在平行四边形中，，，所以.故选：D2．设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（

）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】由，得，所以，又，所以，即，得，又，所以，所以k的取值可以是2.故选：B.3．已知在平行四边形中，，，，，，则（

）A．6B．4C．3D．2【答案】B【详解】因为为平行四边形，所以，，又则，又因为，，，则，因为，解得.故选：4．已知向量，满足，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：由题可得①，②，①②两式联立得，，∴，而，∴．故选：D.5．设D为所在平面内一点，，若，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，故，又因为，所以，，则.故选：D..6．如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（

）A．B．3C．D．4【答案】B【详解】方法1：在平行四边形中，因为，