2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题09 等差数列等比数列中性质应用（选填）（解析版）

第第页专题09等差数列，等比数列中性质应用（选填）题型一：等差（等比）数列中项【例题1-1】正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（

）A．4B．8C．32D．64【答案】D【详解】由题意可知，是与的等差中项，所以，即，所以，或（舍），所以，，故选：D.【例题1-2】已知等差数列的前项利为，若，，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为______．【答案】【详解】因为，，1成等比数列，所以，所以，即，即．由，得，解得，即的公差的取值范围为．故答案为：．【例题1-3】已知正项等差数列的前项和为，且，若成等比数列，则等差数列的通项公式________．【答案】【详解】等差数列中，设公差为d，，∴，解得或（舍），∴．故答案为：【提分秘籍】等差中项由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项.这三个数满足关系式.等比中项如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔【变式1-1】已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（

）A．或B．或C．或D．或【答案】C【详解】解：设等比数列公比为，由，，成等差数列可得，，化简得，解得或，当时，2；当时，.故选：C.【变式1-2】已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（

）A．1B．C．D．【答案】A【详解】设数列的公差为，因为，3，成等比数列，所以，所以+，所以，故选：A.【变式1-3】已知，若3是与的等比中项，则的最小值为（

）A．B．7C．D．9【答案】A【详解】由题意得，即，所以，又，所以，，所以，当且仅当，即，时等号成立．故的最小值为．故选：A题型二：等差（等比）数列下角标和性质【例题2-1】知等差数列的前项和为，若，且，则（

）A．2B．3C．4D．6【答案】A【详解】解：因为，所以，，，，故选：A【例题2-2】已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A．3B．14C．28D．42【答案】D【详解】解：正项等差数列，则若，则，解得或（舍）则.故选：D.【例题2-3】设函数，若正项等比数列满足，则_____．【答案】【详解】解：由，，所以，正项等比数列满足，根据等比数列的性质得到：，，且，根据得．故答案为：．【提分秘籍】①，则（特别的，当，有）②若，则，其中.特别地，若，则，其中.【变式2-1】正项等比数列中的项，是函数的极值点，则（

）A．B．1C．D．2【答案】C【详解】依题意，是的两个根，∴，又是正项等比数列，所以，∴,故选：C【变式2-2】在等比数列中，，函数，则等于（

）A．36B．34C．38D．212【答案】B【详解】解：令，则，所以，故，因为在等比数列中，，所以，所以故选：B【变式2-3】已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，则______.【答案】0.5【详解】由题意得，所以，，所以，所以，所以.故答案为：题型三：等差（等比）数列单调性问题【例题3-1】已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（

）A．为递增数列B．当且仅当时，有最大值C．不等式的解集为D．不等式的解集为无限集【答案】C【详解】由得：，，即；设等差数列的公差为，则，解得：，对于A，，为递减数列，A错误；对于B，，，当或时，取得最大值，B错误；对于C，由得：，，，C正确；对于D，，由得：，则不等式的解集为，为有限集，D错误.故选：C.【例题3-2】已知等差数列的前项和为，若，，下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列B．C．当取得最大值时，D．【答案】B【详解】，所以，，所以，所以且，所以数列是递减数列，且当时，取得最大值.故B正确，AC错误.因为，所以，故D错误.故选：B.【例题3-3】已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为_________.【答案】【详解】∵等差数列是递增数列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.【提分秘籍】若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；等差数列的单调性①当，等差数列为递增数列②当，等差数列为递减数列③当，等差数列为常数列等比数列的单调性已知等比数列的首项为，公比为（1）当或时，等比数列为递增数列；（2）当或时，等比数列为递减数列；（3）当时，等比数列为常数列（）（4）当时，等比数列为摆动数列.【变式3-1】设等比数列满足，，则的最大值为（

）A．32B．16C．128D．64【答案】D【详解】因为等比数列满足，，所以，从而，故，则数列是单调递减数列，当时，，故.故选：D.【变式3-2】已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项．【答案】10【详解】由题意得：，∴，，∴，，∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，由于，∴{||}最小的项是第10项，故答案为：10【变式3-3】在等差数列中，，则使成立的最大自然数n为_______【答案】4042【详解】由等差数列的性质可得，又，所以异号，又，所以等差数列必为递减数列，，所以，使成立的最大自然数n为4042.故答案为：4042.题型四：等差（等比）数列中最大（小）项【例题4-1】设，则当数列的前项和取得最小值时，的值为（

）A．4B．5C．4或5D．5或6【答案】A【详解】由，即，解得，因为,故.故选：A.【例题4-2】已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前项和最大.则当时，___________.【答案】【详解】解：由题意可知，，解得，又，则，所以，.由，得，解得或(舍)，故故答案为：20.【例题4-3】已知首项为4的数列满足．(1)证明：数列是等差数列．(2)求数列的通项公式，并求数列的最小项．【答案】(1)证明见解析；(2)；最小项为.（1）解：因为数列满足，即，可得，又因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列.（2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列，可得，所以，由，当时，可得，即，所以数列为递增数列，所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为.【提分秘籍】①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；③利用单调性求解【变式4-1】已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.【答案】7【详解】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得则.又，∴当时，取得最大值.方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，∴，解得，则，令解得，又，∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当取得最大值时，.故答案为：7.【变式4-2】已知数列的前项和为，且(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式(3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，理由见解析.(1)当时，，当时，，整理得，，是以-15为首项，为公比的等比数列；(2)由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列，得，所以，(3)由(2)得，，当时，，故，当时，，所以当时，，同理当时，；故时，取得最小值，即为最小值.【变式4-3】已知数列对任意满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．【答案】（1）；（2）7.【详解】（1）因为①，所以②，①②两式相减，得，所以③．又当时，得，不满足上式．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，所以不成立，当时，，由，得．令，则为增函数，又．因此要使成立，只需，故使成立的正整数的最小值为7．题型五：等差（等比）数列奇偶项问题【例题5-1】设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为，偶数项之和为，所以奇数项之和与偶数项之和的比为，故选：D【例题5-2】已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A．B．2C．D．【答案】C【详解】当时，，又，即前10项分别为，所以数列的前10项中，，所以，故选：C．【例题5-3】已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.【答案】【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，则，由，得，因为，所以，所以，.故答案为：.【变式5-1】等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（

）A．4B．6C．8D．10【答案】C【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为，则,所以，结合等比数列求和公式有：，解得n=4，即这个等比数列的项数为8.本题选择C选项.【变式5-2】在等差数列中，已知公差，且，则________.【答案】145【详解】等差数列中，已知公差，.故答案为：145.题型六：等差（等比）数列片段和性质【例题6-1】等差数列中其前n项和为,则为．A．B．C．D．【答案】B【详解】由等差数列前项和性质可知：，，成等差数列又，

本题正确选项：【例题6-2】设等比数列的前项和为，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【详解】根据等比数列性质：成等比数列，，设则，；，故选C【例题6-3】记为正项等比数列的前项和，若，则的最小值为.【答案】8【详解】在等比数列中，根据等比数列的性质，可得构成等比数列，所以，所以，因为，即，所以,当且仅当时，等号是成立的，所以的最小值为．【提分秘籍】当是等差数列，记的前项和为，则，，…也成等差数列，公差为.当是等比数列，记的前项和为，则，，…也成等比数列，公差为.【变式6-1】公比的等比数列的前3项，前6项，前9项的和分别为，，，则下面等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由等比数列的性质可知，，，成等比数列，所以，整理得：.故选：D.【变式6-2】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（

）A．10B．15C．20D．25【答案】C【详解】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.当且仅当S4=5时等号成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.故选：C.【变式6-3】设等比数列的前n项和为，若，则（

）A．B．C．4D．5【答案】A【详解】解：设等比数列的公比为，若，则不成立．，由，得，即，，解得，则，故选：A．题型七：两个等差数列前项和之比问题【例题7-1】已知两个等差数列和的前项和分别为和，且=，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．4B．5C．6D．7【答案】B【详解】依题意，，又=，于是得，因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，所以使得为整数的正整数n的个数为5.故选：B【例题7-2】两等差数列和，前项和分别为，，且，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：在为等差数列中，当，，，时，．所以，又因为，所以．故选：A．【例题7-3】已知，分别为等差数列，的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为P，B，C三点共线，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=，故选:B.【提分秘籍】若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则【变式7-1】设数列，都是正项等比数列，，分别为数列与的前n项和，且，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】设正项等比数列的公比为q，正项等比数列的公比为p，数列为等差数列，公差为，为等差数列，公差为，，，，，故选D．【变式7-2】已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差数列下标和的性质得.故选：B【变式7-3】若两个等差数列的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】等差数列、前项和分别为，，由，得．故选：.专题09等差数列，等比数列中性质应用（选填）课后巩固练习1．已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（

）A．96B．102C．118D．126【答案】B【详解】解：在等比数列中，，，，在等差数列中，，，，故选：B．2．设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（

）A．B．C．D．数列的前和为【答案】C【详解】对于A，设等差数列的公差为,前项和为,由,可得,解得2,则,故选项A正确;由得，,11,，故选项B正确；=n=,故选项C错误；由可得,即数列的前项和为.故选项D正确.故选：C.3．已知数列的前项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】，，因为，所以，可得，而，所以时，是以为首项，为公比的等比数列，，所以.故选：A.4．已知等差数列的前项和为且，则的通项公式为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】设，则为等差数列.设等差数列的公差为，由，则，故，，故，即的通项公式为.故选：D.