2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题11 概率统计（选填）（解析版）

第第页专题11概率统计（选填）题型一：随机抽样、分层抽样【例题1-1】从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，…，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为(注：表为随机数表的第行与第行)（

）

A．B．C．D．【答案】A【详解】按题意，从第一行第5列，两个两个数字取数，抽样编号依次为43，36，47，46，24，第5个是24，故选：A【例题1-2】某日某火锅店进货了四种食品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及莴笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是（

）A．7B．13C．8D．9【答案】D【详解】由题意可知采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数为，抽取的莴笋份数为，故抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是，故选：D【提分秘籍】随机数表法是常用的一种抽样方法，使用时做到不重复，不遗漏.分层抽样注意分层，每层抽样比相同.【变式1-1】要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续.则第四袋牛奶的标号是（

）（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）A．358B．301C．071D．206【答案】C【详解】由题意可知，读取的第一个数据是583，不符合条件，第二个数据是921，不符合条件，第三个数据是206，符合条件；即随机选取的第一袋牛奶标号是206；以下数据依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合题意的数据只有301，169，301三个数据，但是301属于重复数据，继续往后计数；下一个数是071，符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206，301，169，071；所以，第四袋牛奶的标号为071.故选：C.【变式1-2】某中学的高一､二､三这三个年级学生的平均身高分别为，若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一､高二､高三的学生人数分别为100､200､300，则估计该高中学生的平均身高为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】设该中学的总人数为，由题意知，高一､高二､高三的学生总人数分别为：，所以估计该高中学生的平均身高为：.故选：A题型二：用样本估计总体【例题2-1】（多选）某校举行劳动技能大赛，统计了名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于分的视为优秀，低于分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中正确的是（

）A．B．优秀学生人数比不及格学生人数少人C．该次比赛成绩的平均分约为D．这次比赛成绩的分位数为【答案】BCD【详解】对于A项，由题意，所以，故A错误；对于B项，优秀学生人数为，不及格学生人数，优秀学生人数比不及格学生人数少15人，故B正确；对于C项，平均分，故C正确；对于D项，设百分位数为，则有，所以，故D正确.故选:BCD【例题2-2】（多选）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（

）A．样本的众数为B．样本的80%分位数为72C．样本的平均值为66D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人【答案】ABD【详解】对于，样本的众数为，故正确;对于，由频率分布直方图可知样本的80%分位数为，故正确，对于，由直方图估计样本平均值为：，故错误，对于，2000名男生中体重低于的人数大约为，故正确，故选：．【提分秘籍】频率分布直方图中的考点常常涉及到:①平均数，众数，中位数估计值；②各个小矩形面积之和等于1【变式2-1】（多选）某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40%.根据调查结果分别绘制出男､女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则（

）A．B．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时C．女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的【答案】BC【详解】对于A，由，解得，故A错误；对于B，由频率分布直方图可知，女观众收看时长在的频率为，在的频率为，所以女观众收看时长的中位数落在中，不妨设为，则，解得，则女观众收看时长的中位数为，故B正确；对于C，男性观众收看节目的平均时长为小时，女性观众收看节目的平均时长为小时，故C正确；对于D，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为人，女性观众收看达到9小时人数为人，故D错误.故选：BC.【变式2-2】（多选）某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（

）A．a=0.012B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为52C．这100名学生成绩的中位数为65D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）【答案】ABD【详解】对于A，，，所以A正确．对于B，所以B正确；对于C，，中位数在，设中位数为，则，所以C错误．对于D，平均数，所以D正确．故选：ABD.题型三：样本的数字特征【例题3-1】已知一个容量为的样本数据的平均值为90，方差为10，若去掉其中5个为90的样本数据，剩余样本数据的平均值为，方差为，则下列结论正确的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【详解】由题意可知，个样本数据之和为，去掉5个相同的样本数据90后，个样本数据之和为，所以，排除选项C；因为样本数据中有5个相同的数据90，且，不妨设去掉的5个相同的样本数据90都排在最后，则，所以，即．故选：A【例题3-2】若数据9，，6，，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，，17，的平均数和方差分别为（

）A．13，4B．14，4C．13，8D．14，8【答案】C【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为，方差为，化简得，解得或，或，则数据11，9，，17，为或，两组数据有相同的平均数和方差，平均数为，方差为，故选：C【变式3-1】某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为A．7和B．8和C．7和1D．8和【答案】A【详解】平均数,方差.故选A.【变式3-2】已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是.【答案】【详解】∵总体的中位数为，∴a+b=21，故总体的平均数为10，要使该总体的方差最小，只需最小，又,当且仅当a=b=10.5时，等号成立.题型四：百分位数【例题4-1】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比大，一个比小的概率为，已知为上述数据中的分位数，则的取值可能为（

）A．50B．60C．70D．80【答案】C【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数有种，一个数比大，一个数比小的不同结果有，于是得，整理得：，解得或，当时，数据中的分位数是第3个数，则，解得，所有选项都不满足；当时，数据中的分位数是第6个数，则，解得，选项A，B，D不满足，C满足.故选：C【例题4-2】已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于______.【答案】8【详解】因为，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，根据题意可得，解得．故答案为：8.【提分秘籍】①按从小到大排列原始数据．②计算．③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．【变式4-1】某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.【答案】172【详解】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，所以，故答案为:172【变式4-2】在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：这10名同学数学成绩的分位数是___________.【答案】146【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：140,142,142,143,144,145,147,147,148,150，根据，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；10名同学数学成绩的分位数为：.故答案为：146题型五：线性回归【例题5-1】已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（

）A．B．2.45C．3.45D．54.55【答案】B【详解】把代入，得，所以在样本点处的残差.故选：B.【例题5-2】已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：245683040506070根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A．75万元B．85万元C．99万元D．105万元【答案】B详解：由题意得，∴样本中心为．∵回归直线过样本中心，∴，解得，∴回归直线方程为．当时，，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．故选B．【提分秘籍】回归直线方程一定经过样本中心.【变式5-1】某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：第天12345使用人数()151734578421333由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（

）A．B．C．3D．2【答案】B【详解】令，则，1491625使用人数()151734578421333，，所以，所以，当时，，所以残差为.故选：B【变式5-2】2022年3月成都市连续5天的日平均气温如下表所示：日期89101112平均气温(℃)20.521.521.52222.5由表中数据得这5天的日平均气温关于日期的线性回归方程为，据此预测3月15日成都市的平均气温为_______℃．【答案】23.85【详解】由题意得：，，故，则3月15日成都市的平均气温为（℃），故答案为：23.85题型六：独立性检验【例题6-1】某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男市民女市民当时，若没有的把握认为男､女市民对大会的评价有差异，则的最小值为___________.附：，其中【答案】【详解】由题意得并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值为.故答案为：.【提分秘籍】①能正确计算；②能读对表中对应数据，并能正确回答出结论【变式6-1】在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表：优秀非优秀合计甲班人数50乙班人数20合计30110附：，其中.根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】优秀非优秀合计甲班人数50乙班人数20合计30110由题表中的数据可得:,因为,所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为.故选：D【变式6-2】针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.参考数据及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，.【答案】30【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下：喜欢追星不喜欢追星总计男生女生总计若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，由，解得，由题知应为6的整数倍，若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有30人，故答案为：30.题型七：排列组合【例题7-1】为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（

）A．2640B．1440C．2160D．1560【答案】D【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为.故选：D.【例题7-2】将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.【答案】691200【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有种方法，还剩5本书横放，有种方法，故不同的摆放方法种数为.故答案为：691200【提分秘籍】排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．【变式7-1】某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（

）A．72B．84C．90D．96【答案】B【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式，故选：B【变式7-2】有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）【答案】10【详解】①丙选择一名男生和一名女生：.②丙选择两名男子：.所以不同的安排方法种数是：10种.故答案为：10.题型八：二项式定理【例题8-1】的展开式中的常数项是（

）A．B．C．D．20【答案】B【详解】展开式的通项为，令，得，令，得，故展开式的常数项是.故选：B．【例题8-2】展开式中，项的系数为（）A．5B．-5C．15D．-15【答案】B【详解】，表示5个相乘，展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，第二种是中选出4个和1个，所以展开式中含有项有和，所以项的系数为,故答案为：B【提分秘籍】二项式定理中，三项展开式中具体某项，两个式子相乘展开式中具体某项是考试的重点，通项公式是重要解题工具.【变式8-1】的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（

）A．33B．34C．35D．36【答案】D【详解】因为的通项公式为，所以的展开式中，一次项的系数为，常数项为，所以一次项的系数与常数项之和为，故选：D【变式8-2】已知的展开式中常数项为121，则实数___________.【答案】【详解】由题意可知，二项式的展开通项当时，此时的常数项为；当时，此时的常数项为所以，展开式中的常数项为，解得.故答案为：题型九：古典概型【例题9-1】某校为落实“双减”政策；在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】四个同学，四个不同的项目，所有可能的方案数为：，恰有两人参加同一活动的方案根据分布计数原理：第一步，从四名同学中选两人安排一个项目；第二部，剩下的两名同学各安排一个项目，则，所以恰有两人参加同一活动的概率为：故选：C【例题9-2】2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有种,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为，故选：B【提分秘籍】一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．【变式9-1】屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为，周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为故选：C【变式9-2】李生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数.2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则不能组成孪生素数的概率为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，任取两个素数组成不同素数对有：，，共有15对，它们等可能，其中是孪生素数，因此不能组成孪生素数的个数是12，所以不能组成孪生素数的概率为.故选：C题型十：条件概率【例题10-1】“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】记事件为“至少有两人选择花样滑冰”，事件为“甲同学选择花样滑冰则”，，，所以，．故选：D.【例题10-2】若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（

）A．0.6B．0.375C．0.36D．0.216【答案】A【详解】解：设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种，所以，，所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为.故选：A【提分秘籍】一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．【变式10-1】有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】用事件A表示“甲被安排到了冰壶”，B表示“乙被安排到了冰壶”，在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A发生的条件下，事件B发生，相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数，事件A发生的样本点数，所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为.故选：A【变式10-2】某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.【答案】【详解】记事件：“李好第一枪击中目标”，事件：“李好第二枪击中目标”，事件：“李好第三枪击中目标”，事件：“目标被击中”，则，，.故答案为：题型十一：正态分布【例题11-1】2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因，且，则有，即，不等式为：，则，，所以，，A，B，D均不正确，C正确.故选：C【例题11-2】山东烟台苹果因“果形端正､色泽艳丽､果肉㓉脆､香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在]内的概率为（

）附：若，则A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意得：，故，故烟台苹果直径在]内的概率为，故选：C【变式11-1】已知随机变量服从正态分布，若函数是偶函数，则实数（

）A．0B．C．1D．2【答案】C【详解】因为函数是偶函数，所以，即，所以.故选：C【变式11-2】已知两个随机变量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且，则（

）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.1【答案】A【详解】由题设，即，又，故.故选：A题型十二：均值和方差【例题12-1】已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的和为（

）A．6B．15C．19D．22【答案】C【详解】由题，则，，所以.故选：C.【例题12-2】某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则方差______．【答案】【详解】由题意知：，2，3，，，，∴的分布列为：123∴，，∴.故答案为：.【提分秘籍】离散型随机变量的分布列…………均值；方差：【变式12-1】设随机变量，满足：，，若，则（

）A．3B．C．4D．【答案】C【详解】由于随机变量满足：，，，解得：，即，又随机变量，满足：，，故选：C.【变式12-2】随机变量的分布列如表所示，若，则（

）01A．B．C．5D．7【答案】C【详解】由随机变量X的分布列得：，解得，，故选：C．专题11概率统计（选填）课后巩固练习1．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（

）人.A．16B．18C．20D．24【答案】A【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.所以，该高中共有学生数为，解得.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，所以，高三年级应该抽取人.故选：A.2．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（

）A．变量与不独立B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过C．变量与独立D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过【答案】C【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B;依据的独立性检验，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过”这个结论.故C正确，D错误.故选：C3．为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二、周五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有名不同的工人被抽中，下列结论不正确的是（

）A．该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为B．C．该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为D．【答案】B【详解】依题意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两次的概率为，故A正确；依题意的可能取值为，则，意味着第一次从6人中选中的3人，第二次仍然为这3人，则，同理可得：，所以，故B错误；对于，工人甲一周内两次均未被选中的概率为，所以工人甲一周内至少被选中一次的概率为，故正确；，意味着第一次先从6人中选中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人从没有抽到的3人中抽取，故概率为：，同理可得：，所以，故D正确.故选：B.4．