2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题12 比大小（幂指对及三角函数值）（解析版）

第第页专题12比大小（幂指对及三角函数值）题型一：借助中间变量0，1比较大小【例题1-1】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，，，所以，故选：B【例题1-2】已知，，试比较，，的大小为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】∵，，，∴.故选：B.【例题1-3】已知，则的大小关系是__________．（用“<”号联结）【答案】【详解】，所以，，所以，，所以，，所以，所以.故答案为：【提分秘籍】1、比较大小基础题主要考查与中间变量“0”，“1”，“2”等比较；【变式1-1】已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：，，，又在上单调递减，所以，则.故选：B.【变式1-2】已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为为减函数，所以，所以，因为为减函数，，所以，因为为增函数，，所以.所以.故选：B【变式1-3】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，，，∴.故选：B.题型二：借助特殊的中间变量比较大小【例题2-1】三个数，之间的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意，即，，即，，综上：故选：A【例题2-2】设，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为且，所以，所以.故选：A．【提分秘籍】特殊的中间变量需要根据具体题目寻找，比如对数比大小，常寻找，或者作为中间变量.【变式2-1】已知，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】先比较和的大小：，，，，.然后比较和的大小：，，综上，.故选：D.【变式2-2】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，，所以．故选：B.题型三：做差（商）法比大小【例题3-1】设，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由得；而，设,时,在上单调递减,,且,,.综上，故选：D.【例题3-2】若，，，，则（

）．A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意，，，只需比较的大小，而，综上.故选：A【例题3-3】设，则，，的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】依题意，，，所以故选：A【提分秘籍】作差法和做商法是比较大小常用的方法：（1）做差法：；；（2）做商法：；；【变式3-1】若，，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：.因为，所以，所以.所以.故选：B【变式3-2】，，三个数中最小的是______．【答案】【详解】由，，，所以只需比较、、的大小关系即可，而，则，又，综上，最小数为，即最小.故答案为：.题型四：借助换底公式比大小【例题4-1】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】∵，∴，∵，∴，∴，又，，∵，∴，∴.故选：C.【例题4-2】设，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，则，所以，又因为，所以，又由，所以，所以.故选：D.【提分秘籍】1、比较大小题中，涉及到对数比较大小，当底不同时，优先考虑换底公式：.【变式4-1】若，，，则正确的是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】，，，∵为增函数，∴.故选：C【变式4-2】已知．则a，b，c的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】∵，，，且，故选：B题型五：利用函数奇偶性和单调性比大小【例题5-1】设函数，若，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】函数的定义域为R，，即函数是R上的偶函数，当时，在上单调递增，而，因此，而，所以.故选：D【例题5-2】已知函数，记，则的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】函数定义域为,满足，故为偶函数，当时，，故此时递增，，而，故，故，故选：A.【提分秘籍】1、比较大小常涉及到单调性和奇偶性，利用单调性比较大小.【变式5-1】已知函数，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：由题知函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，所以因为当时，所以，由指数函数单调性可知，在上为单调递减函数，因为，函数在上单调递增，所以又因为，，所以，所以，由函数在上为单调递减函数可得，所以故选：D【变式5-2】已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意可得，，，因为函数是定义在上的偶函数，，所以，，因为在上是单调递增的，且，所以，即.故选：D题型六：构造函数比大小【例题6-1】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为函数在上单调递增，故，即，因为函数在上单调递增，故，即，欲比较和的大小，只需比较和的大小.因为，，即比较和的大小即可，即比较和的大小，即比较和的大小，令，则，时，；时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，所以对任意且，都有，即恒成立，故，即，综上，故选：D【例题6-2】若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】对a、b、c同时取自然对数，得，即，构造函数，则，当时，，则在上单调递增，所以，即，所以，又函数在上单调递增，故．故选：C.【例题6-3】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】，令，，在上单调递减，,所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以,即.故选：D【提分秘籍】构造函数比大小是高考常考压轴题，难度大，构造的函数也不容易一下子想到，往往需要对比较大小的数进行变形，通过对比结构的共同特征，构造相应的函数，再利用函数的单调性，奇偶性等比较大小.【变式6-1】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由令，则，当，；当，；所以在上单调递增，在上单调递减，且，则，因此，所以又因为，所以，得故，有.综上，.故选：D【变式6-2】实数中值最大的是_________.【答案】【详解】因为，由指数函数是单调递增函数，所以，幂函数是单调递增函数，所以，故这4个数的最大数在与之中，令，所以，当即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

得，即．由，得，所以；这4个数中的最大数是.故答案为：.【变式6-3】已知，，，其中，，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，由，可得，即，同理可得，，因为函数在上单调递减，在上单调递减，且，，，则、、，由，可得，故.故选：A.题型七：放缩【例题7-1】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】令，则，在上单调递增，，即，，，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，（当且仅当时取等号），，即（当且仅当时取等号），，即；综上所述：.故选：D.【例题7-2】已知分别满足下列关系：，则的大小关系（从小写到大）_______.【答案】【详解】因为，所以，=，，所以即，所以，故有.故答案为：【提分秘籍】放缩是比较大小比较难的方法，放缩放到什么程度，需要根据具体题目综合考虑.常用的放缩技巧有：对数型超越放缩：（）指数型超越放缩：（）在解选择填空题可直接使用；但解答题需先证后用.【变式7-1】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：，由于，，取等条件应为，即，而，故，，取等条件为，即，而，故，所以.故选：A.【变式7-2】若，，，则的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】，，，，，，，，，故选：．题型八：三角函数值比大小【例题8-1】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意得，，，由于，故，，，，综上：，故选：A.【例题8-2】若，，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：由于和在上均单调递增，则，，故有，所以，由，令，则所以在上单调递减，所以，则，则，综上，.故选：A【例题8-3】已知，，，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】，∴，函数是减函数，函数在定义域内是增函数，函数在定义域内是增函数，∴，，∴，故选：C【提分秘籍】1、有涉及到三角函数值比大小的问题，可以考虑三角函数的单调性，周期性，奇偶性等技巧2、也可以借助中间变量比较大小.【变式8-1】己知，则a，b，c的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：，因为，所以，，，所以.故选：B.【变式8-2】已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，，所以设分别是在时所对应的函数值，设，则，所以时，单调递减，时，单调递增，所以，即，同理可证，所以当时，可得，即，即.又因为，所以.故选：B.【变式8-3】设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，，则，又因为，所以，故选：B专题12比大小（幂指对及三角函数值）课后巩固练习一、单选题1．设a、b都是不等于1的正数，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】A【详解】，由，则，，，即，；当时，，，，即，.“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】，，，，，又，故选：C.3．设，，，则的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】在上单调递增，，即；又，；综上所述：.故选：D.4．若，则三者大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】，，故.故选：A5．已知，，，则下列判断正确的是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由条件可知：，，因为，所以，则，所以.故选：C6．已知，，，，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】∵，∴在上是减函数．∵，∴，∴，，∴，∴，故选：C．7．若，则的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：，，，令，则在上单调递增，所以.故选：A8．已知，，，则，，的大小关系为（

）.A．