2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题15 数列求和（原卷版）

第第页专题15数列求和题型一：分组求和法【例题1-1】在等差数列中，，前12项的和.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和.【例题1-2】已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【变式1-1】在等差数列中，，且，，构成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．【变式1-2】给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.若数列满足：；(1)判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(2)若，求数列的前项和.题型二：裂项相消法【例题2-1】已知数列为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和.【例题2-2】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.(3)求证：对于任意正整数，.【变式2-1】已知为正项数列的前n项的乘积，且．(1)求的通项公式；(2)若，求证：．【变式2-2】已知正项数列的前项和为，且和满足：.(1)求的通项公式；(2)设，的前项和为，若对任意，都成立，求整数的最大值.题型三：错位相减法【例题3-1】己知数列的前项和为，且，________________．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【例题3-1】已知数列满足且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求的前项和为.【变式3-1】数列是各项均为正数的等比数列，且，，，(1)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；(2)令，求数列的前项和.【变式3-2】已知等差数列满足，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．题型四：奇偶项分类讨论【例题4-1】数列的前项和为，数列的前项积为，且．(1)求和的通项公式；(2)若，求的前项和．【例题4-2】数列的首项，．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和【变式4-1】已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)设数列满足求最小的实数m，使得对一切正整数k均成立．【变式4-2】已知数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)当n为偶数时，求数列的前n项和.题型五：插入新数列求和【例题5-1】设数列的前项和为，，，.(1)证明：为等差数列；(2)设，在和之间插入个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前项和.【例题5-2】已知数列的前项和为，(1)求的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.【变式5-1】已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.【变式5-2】已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.专题15数列求和课后巩固练习1．等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列为的前n项和，比较与的大小.2．已知等差数列的前项和为，不等式的解集为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.3．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.(1)求数列、的通项公式；(2)若，，求数列的前项和.4．给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为