内蒙古通辽甘旗卡第二高级中学2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题试卷含解析

内蒙古通辽甘旗卡第二高级中学2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，，则=（）A． B．C． D．2．函数且的图象是（）A． B．C． D．3．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A． B．1 C． D．i4．已知实数满足约束条件，则的最小值为（）A．-5 B．2 C．7 D．115．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件6．设复数z＝，则|z|＝（）A． B． C． D．7．已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A． B．1 C． D．28．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．09．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A． B． C． D．10．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（）A．13 B．111．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A． B． C． D．12．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设满足约束条件，则的取值范围是______.14．满足约束条件的目标函数的最小值是.15．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．16．已知，，，，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若不等式的解集为，求的值.（2）若当时，，求的取值范围.18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求最大时，直线l的直角坐标方程.19．（12分）已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若，对，恒有成立，求实数的最小值.20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.21．（12分）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.22．（10分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？男女总计合格不合格总计（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

在上分别取点,使得,可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．【详解】如下图，，在上分别取点,使得,则为平行四边形，故,故答案为B.本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．2．B【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.【详解】由题可知定义域为，，是偶函数，关于轴对称，排除C，D.又，，在必有零点，排除A.故选：B.本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.3．A【解析】

由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求.【详解】解：∵，∴，，则化为，∴z的虚部为.故选：A.本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.4．A【解析】

根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.【详解】由约束条件，画出可行域如图变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距，最小的时候为过点的时候，解得所以，此时故选A项本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.5．D【解析】

结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：D本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.6．D【解析】

先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.【详解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,则|z|＝＝＝＝.故选：D.本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.7．D【解析】

如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.8．C【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故③为假命题．故选：．本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题．9．A【解析】

分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选：A本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.10．C【解析】

每一次成功的概率为p=26=【详解】每一次成功的概率为p=26=13故选：C.本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.11．A【解析】

作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，，平面，且，∴，，，，∴这个四棱锥中最长棱的长度是．故选．本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．12．A【解析】

由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.【详解】由题意，2c＝8，则c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴双曲线C的方程为.故选：A.本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

作出可行域，将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或，分别计算出与，再由不等式的简单性质即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域，显然当时，z=0；当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或显然，联立，所以则或，故或综上所述，故答案为：本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.14．-2【解析】

可行域是如图的菱形ABCD，代入计算，知为最小.15．2【解析】

利用AB中有且只有一个元素，可得，可求实数a的值.【详解】由题意AB中有且只有一个元素，所以，即.故答案为：.本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.16．【解析】

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得，的值，由两角差的正弦公式即可计算得的值.【详解】，，，，，，，，.故答案为：本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求得的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解的值；（2）①当时，恒成立，②当时，转化为，设，求得函数的最小值，即可求解的取值范围.试题解析：（1）由，得，因为不等式的解集为，所以，故不等式可化为，解得，所以，解得.（2）①当时，恒成立，所以.②当时，可化为，设，则，所以当时，，所以.综上，的取值范围是.18．（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去参数，得到曲线的普通方程，再将，代入普通方程，即可求出结论；（2）由（1）得曲线表示圆，直线曲线C交于A，B两点，最大值为圆的直径，直线过圆心，即可求出直线的方程.【详解】（1）由曲线C的参数方程（为参数），可得曲线C的普通方程为，因为，所以曲线C的极坐标方程为，即.（2）因为直线（t为参数）表示的是过点的直线，曲线C的普通方程为，所以当最大时，直线l经过圆心.直线l的斜率为，方程为，所以直线l的直角坐标方程为.本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.19．（1）（2）【解析】

（1）求得，根据已知条件得到在恒成立，由此得到在恒成立，利用分离常数法求得的取值范围.（2）构造函数设，利用求二阶导数的方法，结合恒成立，求得的取值范围，由此求得的最小值.【详解】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，当时，上式成立，当，有，需，而，，，，故综上，实数的取值范围是（2）设，，则，令，，在单调递增，也就是在单调递增，所以.当即时，，不符合；当即时，，符合当即时，根据零点存在定理，，使，有时，，在单调递减，时，，在单调递增，成立，故只需即可，有，得，符合综上得，，实数的最小值为本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20．（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析【解析】

（1）由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.【详解】（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A工序不出现故障B工序出现故障，故所求的概率为.（2）若选择生产线①，设增加的生产成本为(万元)，则的可能取值为0，2，3，5.，，,,所以万元；故选生产线①的生产成本期望值为(万元).若选生产线②，设增加的生产成本为（万元），则的可能取值为0，8，5，13.，，，，所以，故选生产线②的生产成本期望值为(万元)，故应选生产线②.本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.21．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】（1）在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,,,,,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,,,又,,,为等边三角形,,则,,,,,,,,,设平面的法向量为,则，即,令,则,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,,设平面与平面的夹角为θ,则二面角的余弦值为.本题考查线面垂直的证明,