2026年高一数学寒假自学课(沪教版)第08讲 平面向量的概念及其线性运算 (解析版)_第1页
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文档简介

第08讲平面向量的概念及其线性运算

内容导航——预习三步曲

第一步:学

析教材·学知识:教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识:核心题型举一反三精准练

第二步:记

串知识·识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步:测

过关测·稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1:核心概念精准辨析

【核心要点】向量的本质是“既有大小又有方向的量”,把握“方向”与“大小”两个维度,是区分各类

向量概念的关键.

概念名

严格定义规范表示与核心性质名师易错提醒

具有大小和方向的量(又①几何表示:有向线段(A为起点,B为终

AB向量不可比较大

向量称矢量),区别于只有大点);②字母表示:a,b,c(黑体表示向量);

小,仅模可比较

小的数量(标量)③模:|AB|或|a|,取值范围为[0,)

①记作;②方向任意;③性质:,与不可与数字0混

零向量长度(模)为0的向量0|0|00

任意向量平行,a0a,00淆,00

a单位向量不唯

单位向长度为1个单位长度的①与非零向量a同向的单位向量:e;②同

a一,不同方向有

量向量|a|

一方向有且只有一个单位向量不同单位向量

向量共线≠直线

平行(共方向相同或相反的非零①表示:;②扩展:零向量与任意向量平行;

ab共线,向量可平

线)向量向量③传递性:非零向量平行具有传递性

必须同时满足

相等向长度相等且方向相同的①表示:;②性质:可平移重合,满足传递

ab“长度相等+方

量向量性、对称性、反身性

向相同”

相反向长度相等且方向相反的①表示:a的相反向量为a;②性质:零向量的相反向

量向量a(a)0,BAAB,(a)a量是自身

知识点2:线性运算规律精讲

【核心思路】向量线性运算的本质是“等效替换”,加法看“合成”,减法看“分解”,数乘看“缩放与

转向”,所有运算均遵循“方向优先,大小跟进”原则.

2.1向量加法

■定义:求两个或多个向量和的运算,核心是“等效合成”.

■两大运算法则(高频考点):

三角形法则:首尾相接,起点到终点;即ABBCAC,可推广到多个向量:ABBCCDAD;

适用场景:任意向量(含共线向量).

平行四边形法则:共起点,对角线为和;以a,b为邻边作平行四边形,从公共起点出发的对角线为ab;

适用场景:不共线向量(共线向量无法构成平行四边形).

■运算律(化简核心依据):

交换律:abba(与顺序无关);

结合律:(ab)ca(bc)(可分组化简);

2.2向量减法

■定义:减法是加法的逆运算,规定aba(b)(转化为加法求解).

■核心法则:共起点,减向量终点指向被减向量终点;即ABACCB(记忆口诀:“终减起,指向被

减”).

■模的不等关系(高考常考不等式):

||a||b|||ab||a||b|;

等号成立条件:①左等号:a与b同向(或其中一个为0);②右等号:a与b反向(或其中一个为0).

2.3向量数乘

■定义:实数与向量a的积是一个向量,记作a,核心是“缩放向量+控制方向”.

■三大核心性质(必考):

模的关系:|a||||a|(的绝对值控制缩放倍数);

方向关系:0时,a与a同向;0时,a与a反向;0时,a0(方向任意);

特殊结论:a00或a0.

■运算律(化简关键):

结合律:(a)()a(先缩放再缩放=一次性缩放);

第一分配律:()aaa(实数相加,再乘向量=分别乘再相加);

第二分配律:(ab)ab(向量相加,再乘实数=分别乘再相加);

2.4共线向量定理(核心难点)

■定理内容:向量a(a0)与向量b共线的充要条件是存在唯一实数,使得ba.

■三大关键解读(名师总结):

条件限制:必须注明a0,否则不唯一(若a0,b0,无;若ab0,无数);

双向性:①充分性:若ba(a0),则ab;②必要性:若ab(a0),则存在唯一使ba;

应用场景:证明三点共线、求解向量系数、判断向量平行.

知识点3:高频易错点突破

【名师点睛】易错点本质是“概念混淆”或“规律滥用”,以下为高考高频易错清单,附辨析思路:

1.零向量与数字0混淆;错例:a0a;正例:a0a;辨析:0是向量(有方向),0是标量(无

方向),运算对象必须统一.

aa

2.单位向量唯一性误判;错例:与a共线的单位向量是;正例:有两个,;辨析:单位向量仅定

|a||a|

长度,不定方向,共线包含同向和反向.

3.平行向量传递性滥用;错例:若a0,b0,则ab;辨析:平行传递性仅适用于非零向量,零向量

方向任意,无法传递方向关系.

4.向量与有向线段等同;错例:AB就是向量;辨析:有向线段是向量的几何表示(有固定起点),向量

可自由平移(无固定起点),二者是“表示与被表示”关系.

5.向量比较大小;错例:ab;正例:|a||b|;辨析:向量有方向,方向无优劣,无法比较大小,仅模

(长度)可比较.

6.数乘方向判断失误;错例:a与a方向相同;辨析:需看符号,0同向,0反向,0无

固定方向.

7.共线定理遗漏a0;错例:若ab,则存在使ba;辨析:遗漏a0时,结论不成立,这是高

考阅卷高频扣分点.

知识点4:必记常考结论

【提分关键】熟记以下结论,可快速求解选择、填空题,简化解答题步骤:

1.三点共线结论:A,B,P三点共线,存在实数,,使OPOAOB,且1(O为平

11

面内任意不共线点);特例:若P为AB中点,则OPOAOB.

22

2

2.重心性质:设ABC的重心为G(三条中线交点),则①GAGBGC0;②AGAD(D为BC

3

1

中点);③OG(OAOBOC)(O为任意点).

3

3.向量化简常用结论:①ABBA0;②ABACCB;③(ab)ab;④若ab,则

|ab|||a||b||(同向取“+”,反向取“-”).

4.单位向量相关:①任意非零向量a可表示为a|a|ea(ea为a同向单位向量);②若e1,e2为相反单

位向量,则e1e2,e1e20.

5.共线向量推论:若ab,bc(b0),则ac,即非零共线向量可传递共线关系.

【题型1向量的概念及其表示】

例1.(23-24高一·上海·课堂例题)在平面直角坐标系中,作出表示下列向量的有向线段:

(1)向量的起点在坐标原点,与x轴正方向的夹角为120°且;

(2)向量�的模为4,方向与y轴的正方向反向;�=3

(3)向量�的方向与y轴的正方向同向,模为2.

【答案】�(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】(1)由向量的相关定义作图即可;

(2)由向量的相关定义作图即可;

(3)由向量的相关定义作图即可.

【详解】(1)

由题意,故即为所求,其中;

∘3∘33333

��=3cos120=−2,��=3sin120=2���−2,2

(2)

由题意,故即为所求,其中;

∘∘

(3)��=4cos−90=0,��=4sin−90=−4���0,−4

由题意,故即为所求,其中.

∘∘

��=2cos90=0,��=2sin90=2���0,2

例2.(23-24高一·上海·课堂例题)指出下列各种量中的向量:

(1)密度;(2)体积;(3)速度;(4)能量;

(5)电阻;(6)加速度;(7)功;(8)力矩.

你能找出更多向量的例子吗?

【答案】速度、加速度、力矩为向量.生活中的向量还有:浮力、重力、位移、风速等

【分析】直接利用向量的定义得答案.

【详解】解:向量的定义:既有大小,又有方向的量叫向量.

密度、体积、能量、电阻、功都只有大小,没有方向,不是向量;

而速度、加速度、力矩既有大小,又有方向,为向量.

生活中的向量还有:浮力、重力、位移、风速等.

变式1.(24-25高一上·上海·随堂练习)针对以下命题:

①数量可以比较大小,向量也可以比较大小;②方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小;

③向量的大小与方向有关;④向量的模可以比较大小

说法正确的是(填序号).

【答案】④

【分析】由向量的概念判断即可.

【详解】解:向量是既有大小,又有方向的量,它不能比较大小,但向量的模是可以比较大小的.

则只有④正确,

故答案为:④

变式2.(24-25高一下·贵州黔南·月考)对于物理量:①路程,②时间,③速度,④体积,⑤长度,⑥重

力,以下说法正确的是()

A.①②④是数量,③⑤⑥是向量B.①④⑤是数量,②③⑥是向量

C.①④是数量,②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量,③⑥是向量

【答案】D

【分析】由向量的概念逐个判断即可;

【详解】路程,时间,体积,长度只有大小,没有方向,是数量;

速度,重力既有大小又有方向,是向量,

故选:D.

【题型2向量的模长】

例1.(23-24高一·上海·课堂例题)如图,在边长为1的小正方形组成的网格上,求:

(1);

(2)��;

(3)��.

【答�案�】(1)

(2)32

(3)26

【分2析2】(1)(2)(3)根据所给图形,利用勾股定理,直接计算模长即可得解.

【详解】(1);

22

(2)��=3+3;=32

22

(3)��=1+5=26.

22

��=2+2=22

例2.(24-25高一上·上海·课后作业)按要求,分别以A、B、C为向量的起点,在图中画出以下向量.(图

中每个小正方形的边长均为1)

(1)正北方向,且模为2的向量;

(2)长度为,方向为北偏西�4�5°的向量;

(3)向量2的负2向量.��

【答案】��(1)答案见解��析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】根据向量的方向和模长画出和,利用相反向量画出.

【详解】(1)根据平面向量的方向和�模�长�,�画出,如下:��

��

(2)根据平面向量的方向和模长,画出,如下:

��

(3)根据相反向量的定义,画出,如下:

��

变式1.(24-25高一上·上海·随堂练习)如图,设的边长分别为1和2,其所有的边能构成哪些向

量?这些向量的模分别是多少?▱��𝐶

【答案】答案见解析

【分析】根据向量定义找出向量,再求模长即可.

【详解】所有的边可以构成以下向量:、、、、、、、.

它们的模分▱�别�为𝐶:����������������

|��|=|��|=|��|=|��|=1.

|��|=|��|=|��|=|��|=2

变式2.(24-25高一上·上海·课后作业)(1)如图,在的矩形中,起点和终点都在小方格顶点且模

与相等的向量共有多少个?(除外)2×4

(|2�)�如|果扩展到的矩形呢?(�除�外)

3×4��

【答案】(1)个;(2)个

【分析】数出与39所占同样39大小的矩形个数,再根据向量和向量模的定义求解即可.

【详解】(1)每|�个�|的矩形中有个符合要求的向量,这样的矩形共有个,则共有个向量的模

与相等,但1本×身2除外,故共有439个;1040

(|2�)�每|个|�的�矩|形中有个符合要求的向量,这样的矩形共有个,则共有个向量的模与相

等,但1本×身3除外,故共有439个.1040|��|

|��|

【题型3零向量与单位向量及相等向量】

例1.(23-24高一·上海·课堂例题)如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点,那么它们的终

点构成的图形是什么?

【答案】单位圆

【分析】根据单位向量的长度和方向判断即可.

【详解】单位向量的长度为1个单位长度,方向是任意的,

因此,平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点,

那么它们的终点构成的图形是个单位圆.

例2.(24-25高一下·上海·课后作业)若是任一非零向量,是单位向量,下列各式:①;②;

③;④;⑤,其中正�确的有()�|�|>|�|�//�

|�A|>.0③④⑤|�|=1B.|�②|=③�⑤C.①③④D.③④

【答案】D

【分析】根据向量模的概念可判断①;利用向量共线的定义可判断②;利用向量模的概念可判断③、④;

根据单位向量的概念可判断⑤.

【详解】①||>||不正确,是任一非零向量,模长是任意的,故不正确;

②∥,则与�为共线�向量,故不�正确;

③��,向�量�的模长是非负数,故正确;

④||�|>|0=1,故正确;

⑤是�单位向量,是单位向量,两向量方向不一定相同,故不正确.

故选�:D.�

变式1.(24-25高一上·上海·课堂例题)设O是正六边形的中心,写出满足条件的向量.

��𝐶𝐸

(1)与相等的向量;

(2)与��相等的向量;

(3)与��的模相等且平行的向量(除外).

【答案��】(1)��

(2)��=��=��=��

(3)��、=��、=��、=��、、、.

【分��析】�根�据向��量相�等�的�定�义直��接求�解�即可.

【详解】(1)相等向量为大小相等方向相同的向量,所以;

(2)相等向量为大小相等方向相同的向量,所以��=��=��=��

(3)相等向量为大小相等方向相同的向量,所以��、=��、=��、=��、、、.

��������������

变式2.(23-24高一·上海·课堂例题)中国象棋中的“马”走“日”.如图是一个棋盘,当“马”自点A走“一步”

后的落点可以为点、或,表示该“马”走“一步”的向量为、或,它们是相等的向量吗?在

图中分别用向量表示�1当“�马2”在�3点B处各走“一步”的情形.��1��2��3

【答案】,,,这三个向量不相等,马在点走一步的向量为:.

【分析】根��据1相�等�2向量�的�3定义即可判断,,�这三个向量是否相等�,�1根,�据�马2,�走�日3的走法即可找出

马在点走一步的向量.��1��2��3

【详解】�解:,,,这三个向量的方向不同,不相等,

如图,马在点��走1一步��的2向�量�3为:.

���1,��2,��3

【题型4共线向量】

例1.(24-25高一下·上海嘉定·期末)以下关于平面向量的说法正确的是()

A.若,则

B.若�=�则�=�

C.若�//是�,�共/线/�,的单�/位/�向量.则

D.若�,�,则不是共线向�量=�

【答案】A�=��,�

【分析】对A,由相等向量的定义判断;对B,举反例时,可判断;对C,由共线向量的定义判断;

对D,由相等向量和共线向量的定义判断.�=0

【详解】对于A,若,则,故正确;

对于B,若,则�=�不一定�成=立�,故B�错误;

对于C,若�=是0共线�的//单�位向量,则或,故C错误;

对于D,若�,�,则是共线向量,�故=D�错�误=.−�

故选:A.�=��,�

例2.(24-25高一下·上海长宁·期中)下列关于平面向量的说法正确的是()

A.若,是共线的单位向量,则

B.若��,则�=�

C.若�=�,则�,=不�是共线向量

D.若�≠�,�,�则

【答案】B�//��//��//�

【分析】对于A,由题意或,对于B,由相等向量的定义即可得解;对于CD,举反例即可判

断.�=��=−�

【详解】对于A,若,是共线的单位向量,则或,故A错误;

对于B,若,则��,故B正确;�=��=−�

对于C,若�=��,=满足�,但此时,是共线向量,故C错误;

对于D,设�=是−两�≠个0不共线的�非≠零�向量,�,�满足,,但此时不成立,故D错误.

故选:B.�,��=0�//��//��//�

变式1.(23-24高一下·上海·期中)若,都是单位向量,则下列结论一定正确的是()

A.��B.如果,那么

C.�=�D.如果�//�,那么�=�或

【答案】�D//��//��=��=−�

【分析】利用单位向量,向量相等及向量共线的定义进行判断即可.

【详解】因为,都是单位向量,所以,且,方向不确定,

所以选项A和�选项�C错误;�=�=1��

如果,与方向相同或相反,且,

所以选�/项/�B�错误�,选项D正确.�=�=1

故选:D.

变式2.(24-25高一上·上海·随堂练习)已知、是任意两个向量,下列条件:①;②;③、

���=�|�|=|�|�

的方向相反;④或;⑤与都是单位向量,其中与平行的充分不必要条件是.

�【答案】①③④�=0�=0����

【分析】:与方向相同或相反;:与方向相同且模长相等;:与长度相等;:

模长为0,�与∥�任意�向�量平行;单位向量:�模=长�为�1;�若,则是的充分|条�|件=;|�若|��,则是的0必要

条件;�⇒����⇒���

【详解】与平行则与方向相同或相反,

对于①:若��,与�方�向相同,则;若,则与模长不一定相等,则与不一定相等,即①对;

对于②:若�=��,�与长度相等,�与∥�方向无�关∥�,则�与�不一定平行;若与平�行�,则与方向相同或

相反,与模长|�|无=关|�,|即�②错�;������

对于③:若、的方向相反,则;若,则与方向相同或相反,即③对;

对于④:若��或,则�;∥�若�,∥�则与�方�向相同或相反,即④对;

对于⑤:若�与=0都是�单=位0向量�,∥则��∥�,�方�向不一定相同或相反;若,则模长不一定为1,即

⑤错.��|�|=|�|=1�∥�

故答案为:①③④

【题型5向量的加法运算】

例1.(23-24高一·上海·课堂例题)设向量表示“向东走2km”;向量表示“向西走1km”;向量表示“向

南走2km”;向量表示“向北走1km”,试说�明下列向量所表示的意义:��

(1);�

(2)�+�;

(3)�+�;

(4)�+�+�.

【答�+案�】+(1�)向东走4km

(2)向东南走km

(3)向东北走2k2m

(4)向南走3km2

【分析】由向量表示“向东走2km”;向量表示“向西走1km”;向量表示“向南走2km”;向量表示“向

北走1km”,根据�向量的加法法则即可求解�各小问.��

【详解】(1)

由题意,因为向量表示“向东走2km”,

则表示“向东走�4km”;

(�2)+因�为向量表示“向东走2km”,向量表示“向南走2km”,

所以表示“�向东南走km”;�

(3)�因+为�向量表示“向东2走22km”;向量表示“向西走1km”;向量表示“向北走1km”,

所以表�示“向东北走km”;��

(4)�因+为�向+�量表示“向南走22km”,向量表示“向北走1km”,

所以表�示“向南走3km”.�

�+�+�

例2.(23-24高一·上海·课堂例题)如图,已知向量、、,作出下列向量;

���

(1),,;

(2)�+��+和��+�.

【答�案+】�(1+)答�案�见+详解�+�

(2)答案见详解

【分析】根据向量加法的平行四边形法则及几何意义作图即可.

【详解】(1)根据向量加法的平行四边形法则可得,,分别如下图:

�+��+��+�

(2)根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图:

�+�+��+�+�

变式1.(23-24高一·上海·课堂例题)试说明,如果三个首尾相接的向量、和所在的线段能拼接成三角

形,那么一定满足条件.反过来,如果,那么三�向�量�、和所在的线段一定能

拼接成三角形吗?说明理�+由�.+�=0�+�+�=0���

【答案】不一定,理由见解析

【分析】通过举反例即可说明.

【详解】,则向量、和所在的线段不一定构成三角形,

例如,�+�+�=0,满足���,但、和所在的线段在同一条直线上,故不能

11

构成三�角=形−;2�=−2��+�+�=−2�−2�+�=0���

当、和不共线且不为时,满足,、和所在的线段一定能拼接成三角形.

���0�+�+�=0���

变式2.(24-25高一·上海·随堂练习)给出下列等式:

①;

②��+��=0;

③��=��+��+��;

④��+��+��+��=0.

其中��等+式�成�+立�的�个+数�为�=0.

【答案】3个

【分析】运用向量加法的运算法则和三角形法则可解.

【详解】,①对;

��+��=��=0,②对;

��+��+��=��+��=��+��=��,③错;

��+��+��+��=��+��+��=��,④对.

�故�答+案�为�+:�3�个+.��=��+��+��=��+��=0

【题型6向量的减法运算】

例1.(23-24高一·上海·课堂例题)如图,已知向量、、,作出下列向量:

���

(1)和;

(2)�+�−�和�+�−�.

�−�+��−�−�

【答案】(1)图见解析

(2)图见解析

【分析】根据向量的加减法法则即可作图.

【详解】(1)如图所示,在平面内任取一点,作,则;

��=�,��=�,��=���=�+�−�

如图所示,在平面内任取一点,作,则,

作,则���=�.,��=���=�−�

��=���=��+��=�+�−�

(2)如图所示,在平面内任取一点,作,则;

作,,则���;=�,��=���=�+�

��=−����=���=�−�+�

如图所示,在平面内任取一点,作,则;

作,则.���=�,��=���=�−�

��=���=�−�−�

例2.(23-24高一·上海·课堂例题)已知正方形ABCD的边长为1,求:

(1);

(2)��+��;

(3)��+��−��.

【答�案�−】�(1�)+��

(2)2

1

(3)

【分2析】(1)利用平面向量的加法法则运算求解;

(2)(3)利用平面向量的加法和减法法则运算求解.

【详解】(1)

如图所示:因为正方形ABCD的边长为1,

所以.

(2)�如�图+所��示:=因�为�正=方2形ABCD的边长为1,

所以.

(3)�如�图+所��示−:�因�为=正�方�形−A�B�CD=的�边�长=为11,

所以.

��−��+��=��+��+��=��+��=2��=2

变式1.(23-24高一·上海·课堂例题)化简下列向量运算;

(1),

(2)��+��+��+��,

(3)��−��+��−��.

【答�案�】+(�1)�+��+��

(2)0

(3)0

【分析】()()()由向量的线性运算可得结果

��123.

【详解】(1);

(2)��+��+��+��=��+��+��=��+��=0;

(3)��−��+��−��=��+��−��+��=��−��=0.

��+��+��+��=��+��+��+��=��+��=��

变式2.(24-25高一·上海·随堂练习)如图,在各小题中,已知,分别求作.

�,��−�

【答案】答案见解析

【分析】将的起点移到同一点,再首尾相接,方向指向被减向量,

【详解】将�,�的起点移到同一点,再首尾相接,方向指向被减向量,

如图,�,�,

��=�−�

【题型7向量的数乘运算】

例1.(23-24高一·上海·课堂例题)根据下列条件,求向量:

(1);�

(2)2�+3�+�=0;

(3)2�+5�−�=0.

11

【答3案�−】�(1)−2�−2�+�+�=0

3

(2)�=−5�

2

(3)�=5�+�

23

【分�=析5】�(−15)�直接利用平面向量的加减混合运算求解;

(2)直接利用平面向量的加减混合运算求解;

(3)直接利用平面向量的加减混合运算求解中的.

【详解】(1)由,�

得2�,+3(�+�)=0

即2�+3�+,3�=0

5�=−;3�

3

�(=2)−由5�,

得2�+5(�−�,)=0

2�+5�−5�=0

得;

2

(3�)=由5�+�,

11

得3(�−�)−2(�−2�+,�)+�=0

1111

3�−3�−2�,+2�+�=0

511

可∴得6�=3�−2�.

23

�=5�−5�

例2.(24-25高一上·上海·课前预习)在中,已知D是的中点,G是的重心,记,

,试用、表示、、.△�����△�����=�

�【�答=案�】��������

112�−�

【分析】画��图=运2用�向+量�的�线�性=运3算�法+则�,结�合�重=心3性质计算即可.

【详解】如图所示,;

111

根据重心性质知道,��=��+��,=则��+2��=��+2(��+��)=2�.+�

2211

3323

𝐹:��=2:1.𝐹=𝐶=×�+�=�+�

12�−�

��=��+��=−3�+�+�=3

变式1.(24-25高一上·上海·课后作业)如图,已知,,是中线,G为重心,则

;.(用向量、表��示=)���=�𝐶

��=��=��

【答案】

11

【分析】根据平2面�向+量�线性运3算�法+则�计算可得,再由重心的性质得到,从而得解.

2

【详解】因为是中线,所以为的中点,�所�以,��=3��

1

所以𝐶�����=2��,

11111

又G�为�=��+的�重�心=,�所�以+2��=��+2��−��=2��+2�.�=2�+�

2211

△�����=3��=3×2�+�=3�+�

故答案为:;

11

2�+�3�+�

变式2.(24-25高一上·上海·随堂练习)化简下列向量:

(1);

11

(2)2(3�−2�)+5�−3(6�−9�)=.

【答案(2】��+��)+(��−2��)+��=

1

【分析】(1)由3�向+量2�的加减0法运算可得;

(2)由向量的加减法运算可得.

【详解】(1);

1111

(2)2(3�−2�)+5�−3(6�−9�)=2(3+5−2)�+(−2+3)�=3�+2�

(2��+��)+(��−2��)+��.=(2��+��)+(−��−2��)+��−��

=故答(2案−为1−:1)��+(;1−.2+1)��=0

1

3�+2�0

【题型8向量运算在几何中的应用】

例1.(24-25高一上·上海·课后作业)在中,D为上的点,且,E为上的点,且,

1

若,,试用与的线△性�组�合�表示�.�𝐶=2��𝐶��=2𝐶

【答��案=】�1��=�2�1�2��

47

【分析】利��用=9与�1−线9�性2组合表示出,根据即可求解.

【详解】根据题�1意�得2��,��=��+��

所以��=�,�−��=�2−�1

111

所以��=3��=3�2−3�1,

21

所以��=��+��=3�1+,3�2

242

12

所以��=3��=9�+9�.

4247

��=��+��=−�2+9�1+9�2=9�1−9�2

故答案为:.

47

��=9�1−9�2

例2.(24-25高一上·上海·课前预习)已知,边、、的中点分别为D、E、F,则

.△���������

��+��+��=

【答案】

【分析】运0用向量的加法运算法则计算即可.

【详解】边、、的中点分别为D、E、F,

则������

111

��+��+��=2(��+��)+2(��+��)+2(��+��)

1

=故答[案��为+:��.+��+��+��+��]=0

2

0

变式1.(23-24高一·上海·课堂例题)已知是的重心,、、分别为、、中点,求证:

.�△��������������+��+

�【�答=案0】证明见解析

【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为是的重心,、、分别为、、中点,

所以�,△���,���,������

所以2��=−��2��=−��2��=−��,

所以2��+2��+2��.=−��+��+��=−2��+��=−−��+��=0

��+��+��=0

变式2.(25-26高三上·上海·月考)设M是所在平面上的一点,且,D是

33

的中点,则.△�����+2��+2��=0��

��

【答案】��=

1

【分析】根3据向量的线性运算及向量共线定理即可求解.

【详解】因为是中点,

所以���,

33

��=−2��+��=−2×2��=−3��

所以.

��

1

=3

��

故答案为:.

1

3

【题型9证明三点共线】

例1.设,,不共面,已知,,,若A,

→→→→→→→→→→→→→→→

C,D�三1点�共2线�3,则﹣=(��=)��1+2�2+�3��=3�1+2�2+��3𝐶=3�1−2�2+�3

A.6λBμ.12C.﹣6D.﹣12

【分析】首先表示出,由A,C,D三点共线,可得,则存在实数t使得,根据空间

→→→→→

向量基本定理得到方�程�组,解得即可.

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