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文档简介
第08讲平面向量的概念及其线性运算
内容导航——预习三步曲
第一步:学
析教材·学知识:教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识:核心题型举一反三精准练
第二步:记
串知识·识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步:测
过关测·稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1:核心概念精准辨析
【核心要点】向量的本质是“既有大小又有方向的量”,把握“方向”与“大小”两个维度,是区分各类
向量概念的关键.
概念名
严格定义规范表示与核心性质名师易错提醒
称
具有大小和方向的量(又①几何表示:有向线段(A为起点,B为终
AB向量不可比较大
向量称矢量),区别于只有大点);②字母表示:a,b,c(黑体表示向量);
小,仅模可比较
小的数量(标量)③模:|AB|或|a|,取值范围为[0,)
①记作;②方向任意;③性质:,与不可与数字0混
零向量长度(模)为0的向量0|0|00
任意向量平行,a0a,00淆,00
a单位向量不唯
单位向长度为1个单位长度的①与非零向量a同向的单位向量:e;②同
a一,不同方向有
量向量|a|
一方向有且只有一个单位向量不同单位向量
向量共线≠直线
平行(共方向相同或相反的非零①表示:;②扩展:零向量与任意向量平行;
ab共线,向量可平
线)向量向量③传递性:非零向量平行具有传递性
移
必须同时满足
相等向长度相等且方向相同的①表示:;②性质:可平移重合,满足传递
ab“长度相等+方
量向量性、对称性、反身性
向相同”
相反向长度相等且方向相反的①表示:a的相反向量为a;②性质:零向量的相反向
量向量a(a)0,BAAB,(a)a量是自身
知识点2:线性运算规律精讲
【核心思路】向量线性运算的本质是“等效替换”,加法看“合成”,减法看“分解”,数乘看“缩放与
转向”,所有运算均遵循“方向优先,大小跟进”原则.
2.1向量加法
■定义:求两个或多个向量和的运算,核心是“等效合成”.
■两大运算法则(高频考点):
三角形法则:首尾相接,起点到终点;即ABBCAC,可推广到多个向量:ABBCCDAD;
适用场景:任意向量(含共线向量).
平行四边形法则:共起点,对角线为和;以a,b为邻边作平行四边形,从公共起点出发的对角线为ab;
适用场景:不共线向量(共线向量无法构成平行四边形).
■运算律(化简核心依据):
交换律:abba(与顺序无关);
结合律:(ab)ca(bc)(可分组化简);
2.2向量减法
■定义:减法是加法的逆运算,规定aba(b)(转化为加法求解).
■核心法则:共起点,减向量终点指向被减向量终点;即ABACCB(记忆口诀:“终减起,指向被
减”).
■模的不等关系(高考常考不等式):
||a||b|||ab||a||b|;
等号成立条件:①左等号:a与b同向(或其中一个为0);②右等号:a与b反向(或其中一个为0).
2.3向量数乘
■定义:实数与向量a的积是一个向量,记作a,核心是“缩放向量+控制方向”.
■三大核心性质(必考):
模的关系:|a||||a|(的绝对值控制缩放倍数);
方向关系:0时,a与a同向;0时,a与a反向;0时,a0(方向任意);
特殊结论:a00或a0.
■运算律(化简关键):
结合律:(a)()a(先缩放再缩放=一次性缩放);
第一分配律:()aaa(实数相加,再乘向量=分别乘再相加);
第二分配律:(ab)ab(向量相加,再乘实数=分别乘再相加);
2.4共线向量定理(核心难点)
■定理内容:向量a(a0)与向量b共线的充要条件是存在唯一实数,使得ba.
■三大关键解读(名师总结):
条件限制:必须注明a0,否则不唯一(若a0,b0,无;若ab0,无数);
双向性:①充分性:若ba(a0),则ab;②必要性:若ab(a0),则存在唯一使ba;
应用场景:证明三点共线、求解向量系数、判断向量平行.
知识点3:高频易错点突破
【名师点睛】易错点本质是“概念混淆”或“规律滥用”,以下为高考高频易错清单,附辨析思路:
1.零向量与数字0混淆;错例:a0a;正例:a0a;辨析:0是向量(有方向),0是标量(无
方向),运算对象必须统一.
aa
2.单位向量唯一性误判;错例:与a共线的单位向量是;正例:有两个,;辨析:单位向量仅定
|a||a|
长度,不定方向,共线包含同向和反向.
3.平行向量传递性滥用;错例:若a0,b0,则ab;辨析:平行传递性仅适用于非零向量,零向量
方向任意,无法传递方向关系.
4.向量与有向线段等同;错例:AB就是向量;辨析:有向线段是向量的几何表示(有固定起点),向量
可自由平移(无固定起点),二者是“表示与被表示”关系.
5.向量比较大小;错例:ab;正例:|a||b|;辨析:向量有方向,方向无优劣,无法比较大小,仅模
(长度)可比较.
6.数乘方向判断失误;错例:a与a方向相同;辨析:需看符号,0同向,0反向,0无
固定方向.
7.共线定理遗漏a0;错例:若ab,则存在使ba;辨析:遗漏a0时,结论不成立,这是高
考阅卷高频扣分点.
知识点4:必记常考结论
【提分关键】熟记以下结论,可快速求解选择、填空题,简化解答题步骤:
1.三点共线结论:A,B,P三点共线,存在实数,,使OPOAOB,且1(O为平
11
面内任意不共线点);特例:若P为AB中点,则OPOAOB.
22
2
2.重心性质:设ABC的重心为G(三条中线交点),则①GAGBGC0;②AGAD(D为BC
3
1
中点);③OG(OAOBOC)(O为任意点).
3
3.向量化简常用结论:①ABBA0;②ABACCB;③(ab)ab;④若ab,则
|ab|||a||b||(同向取“+”,反向取“-”).
4.单位向量相关:①任意非零向量a可表示为a|a|ea(ea为a同向单位向量);②若e1,e2为相反单
位向量,则e1e2,e1e20.
5.共线向量推论:若ab,bc(b0),则ac,即非零共线向量可传递共线关系.
【题型1向量的概念及其表示】
例1.(23-24高一·上海·课堂例题)在平面直角坐标系中,作出表示下列向量的有向线段:
(1)向量的起点在坐标原点,与x轴正方向的夹角为120°且;
(2)向量 � 的模为4,方向与y轴的正方向反向; � =3
(3)向量 � 的方向与y轴的正方向同向,模为2.
【答案】 � (1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】(1)由向量的相关定义作图即可;
(2)由向量的相关定义作图即可;
(3)由向量的相关定义作图即可.
【详解】(1)
由题意,故即为所求,其中;
∘3∘33333
��=3cos120=−2,��=3sin120=2� � �−2,2
(2)
由题意,故即为所求,其中;
∘∘
(3)��=4cos−90=0,��=4sin−90=−4� � �0,−4
由题意,故即为所求,其中.
∘∘
��=2cos90=0,��=2sin90=2� � �0,2
例2.(23-24高一·上海·课堂例题)指出下列各种量中的向量:
(1)密度;(2)体积;(3)速度;(4)能量;
(5)电阻;(6)加速度;(7)功;(8)力矩.
你能找出更多向量的例子吗?
【答案】速度、加速度、力矩为向量.生活中的向量还有:浮力、重力、位移、风速等
【分析】直接利用向量的定义得答案.
【详解】解:向量的定义:既有大小,又有方向的量叫向量.
密度、体积、能量、电阻、功都只有大小,没有方向,不是向量;
而速度、加速度、力矩既有大小,又有方向,为向量.
生活中的向量还有:浮力、重力、位移、风速等.
变式1.(24-25高一上·上海·随堂练习)针对以下命题:
①数量可以比较大小,向量也可以比较大小;②方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小;
③向量的大小与方向有关;④向量的模可以比较大小
说法正确的是(填序号).
【答案】④
【分析】由向量的概念判断即可.
【详解】解:向量是既有大小,又有方向的量,它不能比较大小,但向量的模是可以比较大小的.
则只有④正确,
故答案为:④
变式2.(24-25高一下·贵州黔南·月考)对于物理量:①路程,②时间,③速度,④体积,⑤长度,⑥重
力,以下说法正确的是()
A.①②④是数量,③⑤⑥是向量B.①④⑤是数量,②③⑥是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
【答案】D
【分析】由向量的概念逐个判断即可;
【详解】路程,时间,体积,长度只有大小,没有方向,是数量;
速度,重力既有大小又有方向,是向量,
故选:D.
【题型2向量的模长】
例1.(23-24高一·上海·课堂例题)如图,在边长为1的小正方形组成的网格上,求:
(1);
(2)� � ;
(3)� � .
【答� 案 � 】(1)
(2)32
(3)26
【分2析2】(1)(2)(3)根据所给图形,利用勾股定理,直接计算模长即可得解.
【详解】(1);
22
(2)� � =3+3;=32
22
(3)� � =1+5=26.
22
� � =2+2=22
例2.(24-25高一上·上海·课后作业)按要求,分别以A、B、C为向量的起点,在图中画出以下向量.(图
中每个小正方形的边长均为1)
(1)正北方向,且模为2的向量;
(2)长度为,方向为北偏西� 4 � 5 °的向量;
(3)向量2的负2向量.� �
【答案】� � ( 1)答案见解� �析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】根据向量的方向和模长画出和,利用相反向量画出.
【详解】(1)根据平面向量的方向和� 模 � 长� , � 画出,如下:� �
� �
(2)根据平面向量的方向和模长,画出,如下:
� �
(3)根据相反向量的定义,画出,如下:
� �
变式1.(24-25高一上·上海·随堂练习)如图,设的边长分别为1和2,其所有的边能构成哪些向
量?这些向量的模分别是多少?▱��𝐶
【答案】答案见解析
【分析】根据向量定义找出向量,再求模长即可.
【详解】所有的边可以构成以下向量:、、、、、、、.
它们的模分▱�别�为𝐶:� � � � � � � � � � � � � � � �
,
|� � |=|� � |=|� � |=|� � |=1.
|� � |=|� � |=|� � |=|� � |=2
变式2.(24-25高一上·上海·课后作业)(1)如图,在的矩形中,起点和终点都在小方格顶点且模
与相等的向量共有多少个?(除外)2×4
(|2� ) � 如|果扩展到的矩形呢?(� 除 � 外)
3×4� �
【答案】(1)个;(2)个
【分析】数出与39所占同样39大小的矩形个数,再根据向量和向量模的定义求解即可.
【详解】(1)每|� 个 � |的矩形中有个符合要求的向量,这样的矩形共有个,则共有个向量的模
与相等,但1本×身2除外,故共有439个;1040
(|2� ) � 每|个|� 的 � 矩|形中有个符合要求的向量,这样的矩形共有个,则共有个向量的模与相
等,但1本×身3除外,故共有439个.1040|� � |
|� � |
【题型3零向量与单位向量及相等向量】
例1.(23-24高一·上海·课堂例题)如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点,那么它们的终
点构成的图形是什么?
【答案】单位圆
【分析】根据单位向量的长度和方向判断即可.
【详解】单位向量的长度为1个单位长度,方向是任意的,
因此,平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点,
那么它们的终点构成的图形是个单位圆.
例2.(24-25高一下·上海·课后作业)若是任一非零向量,是单位向量,下列各式:①;②;
③;④;⑤,其中正 �确 的有() � | � |>| � | � // �
�
| � A|>.0③④⑤| � |=1B.| � ②|=③ � ⑤C.①③④D.③④
【答案】D
【分析】根据向量模的概念可判断①;利用向量共线的定义可判断②;利用向量模的概念可判断③、④;
根据单位向量的概念可判断⑤.
【详解】①||>||不正确,是任一非零向量,模长是任意的,故不正确;
②∥,则与 � 为共线 � 向量,故不 �正 确;
③ � � ,向 � 量 � 的模长是非负数,故正确;
④|| � |>|0=1,故正确;
⑤是 � 单位向量,是单位向量,两向量方向不一定相同,故不正确.
�
故选 � :D. �
变式1.(24-25高一上·上海·课堂例题)设O是正六边形的中心,写出满足条件的向量.
��𝐶𝐸
(1)与相等的向量;
(2)与� � 相等的向量;
(3)与� � 的模相等且平行的向量(除外).
【答案� � 】 (1)� �
(2)� � =� � =� � =� �
(3)� � 、=� � 、=� � 、=� � 、 、、.
【分� � 析 】� 根 � 据向� �量 相� 等 � 的� 定 � 义直� � 接 求� 解� 即可.
【详解】(1)相等向量为大小相等方向相同的向量,所以;
(2)相等向量为大小相等方向相同的向量,所以� � =� � =� � =� �
(3)相等向量为大小相等方向相同的向量,所以� � 、=� � 、=� � 、=� � 、 、、.
� � � � � � � � � � � � � �
变式2.(23-24高一·上海·课堂例题)中国象棋中的“马”走“日”.如图是一个棋盘,当“马”自点A走“一步”
后的落点可以为点、或,表示该“马”走“一步”的向量为、或,它们是相等的向量吗?在
图中分别用向量表示�1当“�马2”在�3点B处各走“一步”的情形.� � 1 � � 2 � � 3
【答案】,,,这三个向量不相等,马在点走一步的向量为:.
【分析】根� � 据 1 相� 等 � 2向 量� 的� 3 定义即可判断,,�这三个向量是否相等� , � 1根 ,� 据 � 马2 ,� 走 � 日3 的走法即可找出
马在点走一步的向量.� � 1 � � 2 � � 3
【详解】�解:,,,这三个向量的方向不同,不相等,
如图,马在点� �走 1 一步� � 的 2 向� 量 � 3为 :.
�� � 1 ,� � 2 ,� � 3
【题型4共线向量】
例1.(24-25高一下·上海嘉定·期末)以下关于平面向量的说法正确的是()
A.若,则
B.若 � = � 则 � = �
C.若 � // 是� , �共 /线/ � ,的单 � /位/ � 向量.则
D.若 � , � ,则不是共线向 �量 = �
【答案】A � = � � , �
【分析】对A,由相等向量的定义判断;对B,举反例时,可判断;对C,由共线向量的定义判断;
对D,由相等向量和共线向量的定义判断. � = 0
【详解】对于A,若,则,故正确;
对于B,若,则 � = � 不一定 � 成=立 �, 故B�错误;
对于C,若 � =是 0 共线 �的 //单 � 位向量,则或,故C错误;
对于D,若 � , � ,则是共线向量, � 故=D � 错 � 误=.− �
故选:A. � = � � , �
例2.(24-25高一下·上海长宁·期中)下列关于平面向量的说法正确的是()
A.若,是共线的单位向量,则
B.若 � � ,则 � = �
C.若 � = � ,则 � ,=不 � 是共线向量
D.若 � ≠ � , � , �则
【答案】B � // � � // � � // �
【分析】对于A,由题意或,对于B,由相等向量的定义即可得解;对于CD,举反例即可判
断. � = � � =− �
【详解】对于A,若,是共线的单位向量,则或,故A错误;
对于B,若,则 � � ,故B正确; � = � � =− �
对于C,若 � = � � ,=满足 � ,但此时,是共线向量,故C错误;
对于D,设 � =是−两 � ≠个 0不 共线的 � 非≠零 � 向量, � ,� 满足,,但此时不成立,故D错误.
故选:B. � , � � = 0 � // � � // � � // �
变式1.(23-24高一下·上海·期中)若,都是单位向量,则下列结论一定正确的是()
A. � � B.如果,那么
C. � = � D.如果 � // � ,那么 � = � 或
【答案】 � D// � � // � � = � � =− �
【分析】利用单位向量,向量相等及向量共线的定义进行判断即可.
【详解】因为,都是单位向量,所以,且,方向不确定,
所以选项A和 � 选项 � C错误; � = � =1 � �
如果,与方向相同或相反,且,
所以 选� /项/ � B �错 误 � ,选项D正确. � = � =1
故选:D.
变式2.(24-25高一上·上海·随堂练习)已知、是任意两个向量,下列条件:①;②;③、
� � � = � | � |=| � | �
的方向相反;④或;⑤与都是单位向量,其中与平行的充分不必要条件是.
�【 答案】①③④ � = 0 � = 0 � � � �
【分析】:与方向相同或相反;:与方向相同且模长相等;:与长度相等;:
模长为0, � 与∥ �任 意 � 向 �量 平行;单位向量: � 模=长 � 为 � 1; � 若,则是的充分|条 � |件=;| � 若| � � ,则是的 0必 要
条件;�⇒����⇒���
【详解】与平行则与方向相同或相反,
对于①:若 � � ,与 � 方 � 向相同,则;若,则与模长不一定相等,则与不一定相等,即①对;
对于②:若 � = � � , � 与长度相等, � 与∥ �方 向无 � 关∥ �, 则 � 与 � 不一定平行;若与 平� 行 � ,则与方向相同或
相反,与模长| � |无=关| � ,|即 � ②错 � ; � � � � � �
对于③:若、的方向相反,则;若,则与方向相同或相反,即③对;
对于④:若 � � 或,则 � ;∥ � 若 � ,∥ � 则与 � 方 � 向相同或相反,即④对;
对于⑤:若 � 与= 0 都是 � 单=位 0 向量 � ,∥则 � � ∥ � , � 方 �向 不一定相同或相反;若,则模长不一定为1,即
⑤错. � � | � |=| � |=1 � ∥ �
故答案为:①③④
【题型5向量的加法运算】
例1.(23-24高一·上海·课堂例题)设向量表示“向东走2km”;向量表示“向西走1km”;向量表示“向
南走2km”;向量表示“向北走1km”,试说 � 明下列向量所表示的意义: � �
(1); �
(2) � + � ;
(3) � + � ;
(4) � + � + � .
【答 � +案 �】 +(1 � )向东走4km
(2)向东南走km
(3)向东北走2k2m
(4)向南走3km2
【分析】由向量表示“向东走2km”;向量表示“向西走1km”;向量表示“向南走2km”;向量表示“向
北走1km”,根据 � 向量的加法法则即可求解 �各 小问. � �
【详解】(1)
由题意,因为向量表示“向东走2km”,
则表示“向东走 � 4km”;
( �2 )+因 � 为向量表示“向东走2km”,向量表示“向南走2km”,
所以表示“ �向 东南走km”; �
(3) � 因+为 � 向量表示“向东2走22km”;向量表示“向西走1km”;向量表示“向北走1km”,
所以表 � 示“向东北走km”; � �
(4) � 因+为 � 向+ �量 表示“向南走22km”,向量表示“向北走1km”,
所以表 � 示“向南走3km”. �
� + � + �
例2.(23-24高一·上海·课堂例题)如图,已知向量、、,作出下列向量;
� � �
(1),,;
(2) � + � � +和 � � + � .
【答 � 案+】 � (1+)答 � 案 �见 +详 解� + �
(2)答案见详解
【分析】根据向量加法的平行四边形法则及几何意义作图即可.
【详解】(1)根据向量加法的平行四边形法则可得,,分别如下图:
� + � � + � � + �
(2)根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图:
� + � + � � + � + �
变式1.(23-24高一·上海·课堂例题)试说明,如果三个首尾相接的向量、和所在的线段能拼接成三角
形,那么一定满足条件.反过来,如果,那么三 � 向 �量 � 、和所在的线段一定能
拼接成三角形吗?说明 理� +由 � .+ � = 0 � + � + � = 0 � � �
【答案】不一定,理由见解析
【分析】通过举反例即可说明.
【详解】,则向量、和所在的线段不一定构成三角形,
例如, � + � + � = 0 ,满足 � � � ,但、和所在的线段在同一条直线上,故不能
11
构成三 �角 =形−;2 � =−2 � � + � + � =−2 � −2 � + � = 0 � � �
当、和不共线且不为时,满足,、和所在的线段一定能拼接成三角形.
� � � 0 � + � + � = 0 � � �
变式2.(24-25高一·上海·随堂练习)给出下列等式:
①;
②� � +� � = 0 ;
③� � =� � +� � +� � ;
④� � +� � +� � +� � = 0 .
其中� � 等+式� 成 � +立� 的 � 个+数� 为 � = 0 .
【答案】3个
【分析】运用向量加法的运算法则和三角形法则可解.
【详解】,①对;
� � +� � =� � = 0 ,②对;
� � +� � +� � =� � +� � =� � +� � =� � ,③错;
� � +� � +� � +� � =� � +� � +� � =� � ,④对.
� 故 � 答+案� 为 � +:� 3 � 个 +.� � =� � +� � +� � =� � +� � = 0
【题型6向量的减法运算】
例1.(23-24高一·上海·课堂例题)如图,已知向量、、,作出下列向量:
� � �
(1)和;
(2) � + � − � 和 � + � − � .
� − � + � � − � − �
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】根据向量的加减法法则即可作图.
【详解】(1)如图所示,在平面内任取一点,作,则;
�
��= � ,��=�,��= � ��=�+�−�
如图所示,在平面内任取一点,作,则,
作,则�� � = � .,� � = � � � = � − �
� � = � � � =� � +� � = � + � − �
(2)如图所示,在平面内任取一点,作,则;
作,,则�� � ;= � ,� � = � � � = � + �
� � =−� � � � = � � � = � − � + �
如图所示,在平面内任取一点,作,则;
作,则.�� � = � ,� � = � � � = � − �
� � = � � � = � − � − �
例2.(23-24高一·上海·课堂例题)已知正方形ABCD的边长为1,求:
(1);
(2)� � +� � ;
(3)� � +� � −� � .
【答� 案 � −】� ( 1 � ) +� �
(2)2
1
(3)
【分2析】(1)利用平面向量的加法法则运算求解;
(2)(3)利用平面向量的加法和减法法则运算求解.
【详解】(1)
如图所示:因为正方形ABCD的边长为1,
所以.
(2)� 如 � 图+所� �示 :=因� 为 � 正=方2形ABCD的边长为1,
所以.
(3)� 如 � 图+所� �示 −:� 因 � 为=正� 方 � 形−A� B � CD=的� 边 � 长=为11,
所以.
� � −� � +� � =� � +� � +� � =� � +� � =2� � =2
变式1.(23-24高一·上海·课堂例题)化简下列向量运算;
(1),
(2)� � +� � +� � +� � ,
(3)� � −� � +� � −� � .
【答� 案 � 】+(� 1 )� +� � +� �
(2) 0
(3) 0
【分析】()()()由向量的线性运算可得结果
� � 123.
【详解】(1);
(2)� � +� � +� � +� � =� � +� � +� � =� � +� � = 0 ;
(3)� � −� � +� � −� � =� � +� � −� � +� � =� � −� � = 0 .
� � +� � +� � +� � =� � +� � +� � +� � =� � +� � =� �
变式2.(24-25高一·上海·随堂练习)如图,在各小题中,已知,分别求作.
� , � � − �
【答案】答案见解析
【分析】将的起点移到同一点,再首尾相接,方向指向被减向量,
【详解】将 � , � 的起点移到同一点,再首尾相接,方向指向被减向量,
如图, � , � ,
� � = � − �
【题型7向量的数乘运算】
例1.(23-24高一·上海·课堂例题)根据下列条件,求向量:
(1); �
(2)2 � +3 � + � = 0 ;
(3)2 � +5 � − � = 0 .
11
【答3案 � −】 �( 1)−2 � −2 � + � + � = 0
3
(2) � =−5 �
2
(3) � =5 � + �
23
【分 � =析5】 � (−15) � 直接利用平面向量的加减混合运算求解;
(2)直接利用平面向量的加减混合运算求解;
(3)直接利用平面向量的加减混合运算求解中的.
【详解】(1)由, �
得2 � ,+3( � + � )= 0
即2 � +3 � +,3 � = 0
5 � =−;3 �
3
�( =2)−由5 � ,
得2 � +5( � − �, )= 0
2 � +5 � −5 � = 0
得;
2
( 3� )=由5 � + � ,
11
得3( � − � )−2( � −2 � +, � )+ � = 0
1111
3 � −3 � −2 � ,+2 � + � = 0
511
可∴得6 � =3 � −2 � .
23
� =5 � −5 �
例2.(24-25高一上·上海·课前预习)在中,已知D是的中点,G是的重心,记,
,试用、表示、、.△�����△���� � = �
�【 � 答=案 � 】 � � � � � � � �
112 � − �
【分析】画� � 图=运2用 � 向+量 � 的� 线 � 性=运3算 � 法+则 � ,结� 合 � 重=心3性质计算即可.
【详解】如图所示,;
111
根据重心性质知道,� � =� � +� �, =则� � +2� � =� � +2(� � +� � )=2 � .+ �
2211
3 32 3
𝐹:��=2:1.𝐹=𝐶=× � +�= � +�
12 � − �
� � =� � +� � =−3 � + � + � =3
变式1.(24-25高一上·上海·课后作业)如图,已知,,是中线,G为重心,则
;.(用向量、表� � 示=) � � � = � 𝐶
� � =� � = � �
【答案】
11
【分析】根据平2面 � 向+量 � 线性运3算 � 法+则 � 计算可得,再由重心的性质得到,从而得解.
2
【详解】因为是中线,所以为的中点,� 所 � 以,� � =3� �
1
所以𝐶���� � =2� � ,
11111
又G� 为 � =� � +的� 重 � 心=,� 所 � 以+2� � =� � +2� � −� � =2� � +2� . � =2 � + �
2211
△���� � =3� � =3×2 � + � =3 � + �
故答案为:;
11
2 � + � 3 � + �
变式2.(24-25高一上·上海·随堂练习)化简下列向量:
(1);
11
(2)2(3 � −2 � )+5 � −3(6 � −9 � )=.
【答案(2】� � +� � )+(� � −2� � )+� � =
1
【分析】(1)由3 � 向+量2 �的 加减 0法 运算可得;
(2)由向量的加减法运算可得.
【详解】(1);
1111
(2)2(3 � −2 � )+5 � −3(6 � −9 � )=2(3+5−2) � +(−2+3) � =3 � +2 �
(2� � +� � )+(� � −2� � )+� � .=(2� � +� � )+(−� � −2� � )+� � −� �
=故答(2案−为1−:1)� � +(;1−.2+1)� � = 0
1
3 � +2 � 0
【题型8向量运算在几何中的应用】
例1.(24-25高一上·上海·课后作业)在中,D为上的点,且,E为上的点,且,
1
若,,试用与的线△性�组�合�表示�.�𝐶=2��𝐶��=2𝐶
【答� � 案=】 � 1 � � = � 2 � 1 � 2 � �
47
【分析】利� � 用=9与 � 1 −线9 �性 2 组合表示出,根据即可求解.
【详解】根据题 � 1 意 �得 2 � � ,� � =� � +� �
所以� � =� , � −� � = � 2 − � 1
111
所以� � =3� � =3 � 2 −3 � 1 ,
21
所以� � =� � +� � =3 � 1 +,3 � 2
242
12
所以� � =3� � =9 � +9 � .
4247
� � =� � +� � =− � 2 +9 � 1 +9 � 2 =9 � 1 −9 � 2
故答案为:.
47
� � =9 � 1 −9 � 2
例2.(24-25高一上·上海·课前预习)已知,边、、的中点分别为D、E、F,则
.△���������
� � +� � +� � =
【答案】
【分析】 运0 用向量的加法运算法则计算即可.
【详解】边、、的中点分别为D、E、F,
则������
111
� � +� � +� � =2(� � +� � )+2(� � +� � )+2(� � +� � )
1
=故答[案� � 为+:� � .+� � +� � +� � +� � ]= 0
2
0
变式1.(23-24高一·上海·课堂例题)已知是的重心,、、分别为、、中点,求证:
.�△������������� � +� � +
� 【 � 答=案 0 】证明见解析
【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为是的重心,、、分别为、、中点,
所以�,△���,���,������
所以2� � =−� � 2� � =−� � 2� � =−� � ,
所以2� � +2� � +2� � .=−� � +� � +� � =−2� � +� � =−−� � +� � = 0
� � +� � +� � = 0
变式2.(25-26高三上·上海·月考)设M是所在平面上的一点,且,D是
33
的中点,则.△���� � +2� � +2� � = 0 ��
� �
【答案】� � =
1
【分析】根3据向量的线性运算及向量共线定理即可求解.
【详解】因为是中点,
所以���,
33
� � =−2� � +� � =−2×2� � =−3� �
所以.
��
1
=3
��
故答案为:.
1
3
【题型9证明三点共线】
例1.设,,不共面,已知,,,若A,
→→→→→→→→→→→→→→→
C,D�三1点�共2线�3,则﹣=(��=)��1+2�2+�3��=3�1+2�2+��3𝐶=3�1−2�2+�3
A.6λBμ.12C.﹣6D.﹣12
【分析】首先表示出,由A,C,D三点共线,可得,则存在实数t使得,根据空间
→→→→→
向量基本定理得到方�程�组,解得即可.
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