2026高考数学复习高效培优专题15 圆锥曲线中的二级结论（培优高频考点专练）（原卷版）

专题15圆锥曲线中的二级结论目录高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型一焦点弦与焦半径问题（）题型二焦点三角形面积问题（）题型三中点弦与斜率关系（垂径定理+第三定义）（）题型四离心率求解问题（）题型五切线与切点弦方程问题（）实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）高考中题型分布：保持“小题+大题”组合，小题侧重离心率、焦半径、切线方程等结论应用，大题聚焦焦点弦、中点弦与最值/范围综合问题。基础知识必备：掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及核心性质（a,b,c,e的关系、渐近线、准线等）。熟记五大题型核心二级结论：焦点弦与焦半径公式、焦点三角形面积公式、中点弦斜率关系（垂径定理+第三定义）、离心率求解公式、切线与切点弦方程。熟练运用代数工具：韦达定理、点差法、参数法、判别式，几何工具：正弦定理、基本不等式、曲线光学性质。2026高考预测：核心考向：二级结论与代数运算结合（如韦达定理快速求解焦点弦定值）、跨模块融合（与向量垂直、三角函数、函数最值联动）。创新趋势：新定义曲线（如双纽线、相似椭圆）、隐蔽性二级结论应用（如椭圆第三定义的定点问题）、双曲线渐近线与圆/直线位置关系。重点侧重：离心率求解仍是高频考点，切线与切点弦方程考查概率上升，焦点三角形面积与角度结合问题需重点关注。重难知识汇总：焦点弦与焦半径椭圆：焦半径|PF1|=a+ex0、|PF2|=a−ex0，焦点弦长|AB|=2ab2a2−c2cos2α。双曲线：同支焦半径|PF1|=|a+ex0|，焦点弦长|AB|=2ab2|常用技巧方法：点差法：快速推导中点弦斜率关系，避免联立方程的复杂运算。结论优先：涉及倾斜角用焦半径/焦点弦角度式，涉及坐标用韦达定理+定值结论。几何转化：焦点三角形问题结合正弦定理、椭圆光学性质简化计算。分类讨论：双曲线需区分同支/异支，直线需考虑斜率为0或不存在的特殊情况。最值求解：利用基本不等式（如焦点弦相关最值）、二次函数值域（如椭圆上点到定点距离）易错避坑提效：公式混淆：双曲线同支与异支的焦半径公式符号不同，椭圆焦点位置影响斜率乘积符号。特殊情况遗漏：忽略直线斜率为0（水平弦）、斜率不存在（垂直弦）的极端情况。概念模糊：误将双曲线焦点到渐近线距离记为a（实际为b），混淆“圆上点切线”与“圆外点切点弦”的应用场景。计算失误：离心率求解时忽略a,b,c的齐次关系，焦点三角形面积公式中误将θ2写为θ。范围错误：双曲线离心率e>1题型一焦点弦与焦半径问题方法点拨：椭圆（焦点在x轴）：焦半径：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a−ex0；角度式|PF|=b2a−ccosα（α为直线与x轴夹角）。焦点弦长：|AB|=2ab【典例01】（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例02】（2025高三·全国·专题练习）抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（

）A． B． C． D．【变式01】（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）(多选题)已知椭圆，其左右顶点分别为，左右焦点分别为．是椭圆上一点，的离心率为，则（

）A．若在上只存在2处点的位置，使得的面积为，那么B．直线的斜率为，那么C．若为内切圆圆心，那么直线的斜率之积为D．延长交于，若，，那么【变式02】（多选）（2025·辽宁沈阳·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．【变式03】（2025·重庆九龙坡·三模）(多选题)在平面直角坐标系中，点是椭圆的左焦点，分别是的左、右顶点，直线与椭圆相交于两点，则（

）A．若直线经过点，则的最小值为1B．若线段的中点坐标为，则直线的斜率为C．若直线经过坐标原点，则D．若点在椭圆上(点与不重合)，且，则题型二焦点三角形面积问题方法点拨：椭圆：S△PF1F2=b2tanθ2（θ=∠F1PF2）。双曲线：S△PF1F【典例01】（多选）（2025·浙江·一模）已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（

）A．的周长为B．的面积为C．若是上的动点，则D．若是上的动点，则【典例02】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）(多选题)已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（

）A．B．C．与椭圆切于点的切线方程为D．若直线的斜率存在，则【变式01】（多选）（2025·广西柳州·一模）(多选)已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（

）A．的周长为6 B．的最小值为1C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为【变式02】（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（

）A．若，则；B．记，则的面积；C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.【变式03】(多选题)（2025·浙江·一模）(多选题)已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（

）A．的周长为B．的面积为C．若是上的动点，则D．若是上的动点，则题型三中点弦与斜率关系方法点拨：椭圆（焦点在x轴）：垂径定理：弦AB中点为M，则kAB⋅kOM=−b2a2=e2−1。第三定义：A、B为长轴端点，P为椭圆上异于A、B的点，则kPA⋅kPB=−b2a2。双曲线（焦点在x轴）：垂径定理：弦中点弦问题优先用“点差法”推导斜率关系，步骤为：设点代入方程→两式相减→因式分解→结合中点坐标。第三定义可快速解决定点、定值问题，需注意曲线焦点位置对斜率乘积符号的影响。未知中点时，通过斜率关系反推中点特征，避免联立方程的复杂运算。【典例01】（2025·浙江金华·一模）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例02】（2025·湖南邵阳·二模）(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（

）A．直线与恰有两个公共点B．双曲线的离心率为C．当时，的面积为D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，【变式01】（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（

）A．B．C．D．若点为抛物线上一点，则周长的最小值为【变式02】（2025·河南·三模）(多选)已知曲线是实轴、虚轴分别在直线和直线上的双曲线，其焦点分别为，点是上的两个动点，则（

）A．的实轴长为B．的离心率为C．若，则的面积为8D．若线段的中点为为坐标原点，则直线的斜率之积为定值【变式03】（2025·湖南·一模）(多选)如果两个椭圆的离心率相等，我们称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆和椭圆为上一点，过点作的两条切线交于，切点分别为，，则（）A．与是相似椭圆 B．为中点C． D．为定值题型四离心率求解问题方法点拨：椭圆：焦点三角形：e=sinθsinA+sinB（θ=∠F1PF2，A、B为另外两角）。焦点弦比例：【典例01】（2025·河北邯郸·一模）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【典例02】（2025·辽宁大连·一模）已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A的方程为圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（

）A． B．或 C． D．【变式01】（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【变式02】（2025·云南·一模）(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（

）A．若点P在双曲线C的右支上，且，则B．若双曲线C的渐近线方程为，则其离心率为C．若，直线与双曲线C有且仅有一个交点，则满足条件的k值有2个D．若双曲线C的离心率为，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则的面积为【变式03】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（

）A．B．C．与椭圆切于点的切线方程为D．若直线的斜率存在，则题型五切线与切点弦方程问题方法点拨：椭圆x2a2+y2b2=1：圆上点P(x0,y0)的切线方程：x0xa2+y0yb2=1。圆外点P(x0,y0【典例01】（2025高三·全国·专题练习）[多选]已知椭圆，O为原点，则下列说法中正确的是（

）A．椭圆C的蒙日圆方程为B．过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N，当为直角时，直线OP的斜率为C．若P为C的蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，则PO平分椭圆的切点弦MN．D．若O，P到MN的距离分别为，则．【典例02】（2025·福建福州·模拟预测）(多选)在平面直角坐标系中，，为两个定点，为动点，且，，成等比数列，记点的轨迹为，过作的切线，则下列说法正确的是（

）A．是双曲线 B．若，则的斜率为C．存在点，使得 D．不存在区间，当时，【变式01】（2025·河北秦皇岛·三模）(多选)如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（

）A．B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则【变式02】（2025·山东聊城·三模）(多选)已知曲线，，，为曲线上的动点，则（

）A．若在第一象限，则B．若在第二象限，则在轴上存在两点，，使为定值C．若在第三象限，过点向直线作垂线，垂足分别为，则D．直线是曲线的一条切线【变式03】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知分别为椭圆的上、下焦点，，点为椭圆C上一点．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于两点．（i）当点M运动时，求点的轨迹方程；（ii）已知以椭圆上一点为切点的切线方程为，若直线l交直线于点由点Q引椭圆C的另一条切线，切点为N，求证：直线过定点.（限时训练：15分钟）1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆其右焦点F与上顶点A和左顶点B构成的三角形中，则椭圆的离心率为（

）．A． B． C． D．2.（2025·四川达州·一模）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（）A． B． C．2 D．3.（2025·湖南长沙·一模）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2025·甘肃·模拟预测）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（

）A． B． C． D．5．（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（

）A． B． C． D．6（2025·湖南邵阳·模拟预测）(多选题)已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（

）A．点纵坐标为 B．的周长为C． D．的内切圆半径为7.（