2026高一数学寒假自学课（苏教版）9.2.2向量的数乘（2知识点+8考点）（解析版）

9.2.2向量的数乘内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：向量的数乘运算1、向量的数乘定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa，它的长度与方向规定如下：（1）|λa|＝|λ||a|；（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；（3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．2、向量数乘的几何意义当时，把向量沿的相同方向放大或缩小；当时，把向量沿的相反方向放大或缩小．3、向量的数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb．4、向量的线性运算向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．若一个向量可以用另一些向量的线性运算得到，我们就说这个向量可以用另一些向量线性表示．例如，可称由与线性表示．对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b．（2026高三·全国·专题练习）（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：C知识点2：向量共线定理1、向量共线定理：一般地，对于两个向量，，由如下的向量共线定理：设为非零向量，如果由一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使．【注意】（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．2、三点共线定理已知平面内三点，为不同于的任意一点，三点共线当且仅当存在实数使得，且．3、一个重要结论——中点向量公式如图，点为线段中点的充要条件是，我们称此结论为中点向量公式．（2025高一·全国·课后作业）设，是不共线的两个非零向量．(1)若，，，求证：A，B，C三点共线；(2)若与共线，求实数的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可；（2）由共线向量定理求出参数即可.【详解】（1）证明：，而，与共线，且有公共点，，B，C三点共线．（2）与共线，存在实数，使得，即．与不共线，，解得，．题型一：向量的线性运算【例1】（2025高一·福建龙岩·期中）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解即可.【详解】因为在矩形ABCD中，E为CD的中点，则，所以.故选：C.【变式1-1】（2025高一·全国·课后作业）化简下列各式：(1)；(2)（m，n为实数）．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用向量的加减法，数乘运算即可.【详解】（1）原式；（2）原式．【变式1-2】（2025高一·辽宁抚顺·月考）化简下列各式：(1)．(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】应用向量的线性运算计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）.【变式1-3】（2025高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解；（2）直接利用平面向量的加减混合运算求解；（3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的．【详解】（1）由，得，即，；（2）由，得，得；（3）由，得，，可得．题型二：已知向量表示相关向量【例2】（2025高一·四川泸州·期末）在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】由，则.故选：D.【变式2-1】（25-26高二·安徽·月考）在中，点在上，满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】根据题意可知.故选：C【变式2-2】（2025高一·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】因为，所以，即，所以.故选：B【变式2-3】（2025高一·安徽蚌埠·月考）已知平行四边形中，是的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断.【详解】在平行四边形中，是的中点，则.故选：A题型三：向量共线的判定与求参【例3】（2025高三·广东·期中）已知向量不平行，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据平面向量共线定理，先转化平行关系为等式，再整理等式分离向量系数，最后利用“不共线向量的系数对应相等”列方程求解即可.【详解】因为向量，不平行，，所以存在实数，使得：，即，解得.故选：B.【变式3-1】（2025高一·河南驻马店·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，结合向量共线的判定，逐项判定，即可求解.【详解】因为四边形为平行四边形，且对角，对于A中，由，所以与共线，所以A符合题意；对于B中，由，向量与不共线，所以B不符合题意；对于C中，由，向量与不共线，所以C不符合题意；对于D中，由向量与不共线，所以D不符合题意.故选：A.【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数.【答案】【分析】根据向量共线，可得，待定系数，即可求得答案.【详解】因为向量共线，所以存在实数，使，则，解得，则.故答案为：【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则．【答案】【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案.【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使，即，所以，解得.故答案为：题型四：三点共线的判定与求参【例4】（2025高一·河北邯郸·月考）已知向量不共线，，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解.【详解】对于A，令，即，则有，无解，因此不存在t，使得，即三点不共线，A错误；对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N，因此，，三点共线，B正确；对于C，，令，即，则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误；对于D，令，即，则有，无解，因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误.故选：B【变式4-1】（25-26高一·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可.【详解】，，三点共线，，，，，，故选项C正确.故选：C.【变式4-2】【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用向量共线定理得，结合已知有，进而得到，即可得.【详解】因为三点共线，则存在实数，使，即，即，所以，又向量不共线，所以，解得，所以实数的值互为倒数.故选：AB【变式4-3】（2026高三·全国·专题练习）是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A．3 B．－3C．－2 D．2【答案】D【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可.【详解】由已知，由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使，即，即解得.故选：D题型五：三点共线定理的应用【例5】（2025高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可.【详解】，，，，，是线段上一点，三点共线，，解得.故选A.【变式5-1】（25-26高三·湖北孝感·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值.【详解】，即，，，，，，，三点共线，则.，当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【变式5-2】（25-26高三·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（

）

A．5 B．9 C． D．【答案】D【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值.【详解】，又，故，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，故.所以，当且仅当，即时取等号.故最小值为，故选：D.【变式5-3】（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可.【详解】如图，由点O是BC的中点，得，由三点共线，得，，，则，当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2.故选：B题型六：线性运算求长度比【例6】（2025高一·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案.【详解】由，得，即，所以.故选：B【变式6-1】（2025·海南海口·模拟预测）若向量（O，A，B，C互不重合），则（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】由向量线性运算得出的关系，再由数乘的定义得结论．【详解】，即，因为，所以，．故选：D．【变式6-2】（2025高三·北京朝阳·期中）已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.【详解】,,即,.故选：D.【变式6-3】（2025高一·河北石家庄·月考）已知平面上不共线的四点，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算得到，即可得解.【详解】由，得，即，所以，所以，即，故选：B题型七：线性运算求三角形面积比【例7】（25-26高二·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出辅助线，得到，所以三点共线，根据面积关系得到.【详解】如图，设分别是的中点．因为，所以，即，所以三点共线，又，故，为的中位线，故，故，又，，所以．故选：D【变式7-1】（25-26高三·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案.【详解】，因为中点，则，代入可得，从而三点共线，，即点是线段上靠近点的四等分点.则，而，故.故选：B【变式7-2】（25-26高二·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比.【详解】由得,即,令是的中点，则,所以所以∥，所以,即

故答案为：D.【变式7-3】（25-26高三·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（

）A．-2 B． C． D．2【答案】B【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可.【详解】如图，设，作平行四边形，对角线与底边相交于点，则，则共线，因为，故，则，又，故，则，，即，故选：B题型八：三角形的“四心”问题【例8】（2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.【详解】令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B【变式8-1】（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（

）．A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心.【详解】因为，，，所以点在的角平分线上.同理可得：点在的角平分线上.所以点为的内心.故选：B【变式8-2】（2025高一·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的.（填:重心、内心、外心或垂心）【答案】内心【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论.【详解】分别表示同方向的单位向量，故平分，即平分，所以直线一定经过的内心.故答案为:内心.【变式8-3】（2025高一·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（

）A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心【答案】D【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心.利用数量积的定义可判断为内心.【详解】由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心.由，得，则，而点在内，则，即，因此平分角，同理分别平分，从而点是的内心，故选：D一、单选题1．（2025高一·江西上饶·月考）“”是“实数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】或，从而得到答案.【详解】因为或，，所以“”是“实数”的必要不充分条件.故选：B2．（2025·海南·模拟预测）已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算求解.【详解】.故选：A.3．（25-26高三·山东·期中）已知向量不共线，，则是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可.【详解】因为向量不共线，可知均非零向量，由，可知，则，满足充分性；若，则，即，所以，解得，满足必要性，所以是“”的充要条件.故选：C4．（2025高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（

）A．三点共线 B．、、三点共线C．、、三点共线 D．、、三点共线【答案】A【分析】利用平面向量共线定理求解.【详解】由题可得，，对于A，，所以三点共线，故A正确；对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误；对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误；对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误.故选：A.5．（2025高三·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可.【详解】依题意，.答案：B.6．（2025高一·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，.故选：B7．（25-26高三·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据条件，得到，从而有且，即可求解.【详解】因为，得到，如图，且，则到的距离等于到的距离相等，又，所以，故选：D.8．（25-26高三·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出.【详解】因，则，即，则，因D为BC中点，则，因，则，即，则，则，因，D为BC中点，则，即，得.

故选：A9．（25-26高三·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解.【详解】如图，作出符合题意的图形，因为，分别是，的中点，所以，，则，因为点在线段上，设，则，若，则，，所以，当时，有最大值为.故选：C二、多选题10．（2025高一·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（

）.A．与方向相反 B．与方向相同C． D．【答案】ACD【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误.【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误；对于B，当时，，则与方向相同，故B正确；对于C，当且，即时，，故C错误；对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误.故选：ACD11．（2025高一·内蒙古包头·期中）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（

）A．B．若是的中点，则C．若是的中点，则D．若，则【答案】BCD【分析】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可.【详解】解：，A错误；若是的中点，则，由三点共线可设，则，∴，∴，得，B，C正确；设，则，∵三点共线，∴，得，D正确；故选：BCD.12．（2025高一·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可.【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；对于，，故B正确；对于C，，故C错误；对于，，所以，故D正确．故选:ABD．13．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（

）A．B．C．D．的最小值为【答案】ABC【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可.【详解】对于A，由题意得，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由A知，，由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确；对于D，由C知，，且，，所以，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为，故D错误.故选：ABC

三、填空题14．（25-26高三·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为.【答案】【分析】利用向量平行的性质建立方程组，求解参数即可.【详解】若向量与向量平行，则，即，又因为向量、不共线，所以，解得.故答案为：15．（25-26高三·广西南宁·月考）已知非零向量，满足，则．【答案】/0.5【分析】由题可得，则，共线，从而，据此可得答案.【详解】由，得，则，共线，因此，整理得，而，均为非零向量，所以．故答案为：16．（2025高三·北京·期中）若，，与不共线，则平分线上的向量．【答案】【分析】根据给定条件，利用平行四边形法则及共线向量定理求得答案.【详解】作向量，以线段为邻边作，则，而，因此为菱形，平分，又为平分线上的向量，则，.

故答案为：17．（25-26高三·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为.【答案】【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果.【详解】与方向相同，存在正实数，使得，又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为.故答案为：.18．（25-26高三·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则．【答案】【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理即可求解.【详解】因为是中点，所以，所以．故答案为：.19．（2025高一·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则.【答案】【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系.【详解】因为，且E是CD的中点，则，且，，所以.故答案为：.20．（25-26高二·全国·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则.【答案】【分析】根据向量的加法运算，结合平行四边形的性质即可求解.【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点，所以，故答案为：.21．（2025高三·全国·专题练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的心．【答案】重【分析】利用正弦定理化简已知条件得到，由此判断出点的轨迹经过重心.【详解】由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径，所以动点P满足．则，因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线以A为起点的向量，方向与边上的中线方向相同，所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心．故答案为：重四、解答题22．（2025高一·广东东莞·月考）（1）化简；（2）若，求向量.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果；（2）利用平面向量的线性运算可求出向量.【详解】（1）；（2）因为，故.23．（2025高一·重庆巫山·期末）设是两个不共线的向量，已知．(1)求证：三点共线；(2)若且，求实数的值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据，即可得证；（2）利用共线向量定理即可求解.【详解】（1）由已知，得，因为，所以，又与有公共点，所以三点共线．（2）由（1），知，若，且，可设，所