2026高一数学寒假自学课（苏教版）11.2 正弦定理（解析版）

11.2正弦定理内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：正弦定理1、正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有==.若△ABC外接圆半径为R，则有===2R2、正弦定理常见变形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；3、三角形的边角关系：由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.注意：正弦定理跟余弦定理一致，都对任意的三角形成立。在三角形中，三角和这个条件不要遗漏，它在三角恒等变换化简的时候经常会用上。（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，等式总成立.()【答案】错误【分析】根据正弦定理结构特征和适用范围判断即可.【详解】正弦定理结构为：，故错误；故答案为：错误.知识点2：解三角形已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB注意：在使用正弦定理进行角边互换的时候，一定要对每项进行统一互换。（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小.【详解】在中，因为，，，且，故，由正弦定理可得，又因为，故或.故选：D.知识点3：三角形的面积公式SSΔABC=abc4R=12(a+b+c)⋅（25-26高三上·云南昆明·月考）在中，，且，则的最小边长为（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】由正弦定理将角的正弦比转化为边长比，判断为直角三角形，根据面积公式建立关于比例系数的方程，解得比例系数，从而求得最小边.【详解】由以及正弦定理可得，故，，又，解得（舍），又因为最小的边长为，故.故选：B知识点4：三角形解的个数在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下：若A为锐角时：若A为直角或者钝角时：（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定【答案】C【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解.【详解】由正弦定理，得，所以，即，又，所以，或，所以解的个数为2．故选：C．正弦定理的概念及应用（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确．故选：B．（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，三边一角随便给出三个，可求其余一个．()【答案】正确【分析】根据正余弦定理的适用条件即可求解.【详解】如果给三边，即可直接利用余弦定理求解角，如果给的是两边以及一个角，即可根据余弦定理，列方程求解边,故答案为：正确.（24-25高一下·全国·课堂例题）若在中，“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】C【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理得.若，则由正弦定理得，根据大边对大角可知，所以“”是“”的充要条件．故选：C．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】借助正弦定理计算即可得.【详解】由正弦定理可得，则、，则.故选：C.正弦定理用于解三角形（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理可求解.【详解】由正弦定理可得．故选：C（25-26高一上·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理求解即可．【详解】由题可知，由正弦定理得，即，解得．故选：A．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可.【详解】由正弦定理知，，即，解得，又，所以，所以．故选：A．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意结合三角形内角和可得，再根据正弦定理可得，进而可得.【详解】由，且，所以，由正弦定理可得，解得，又，∴，∴，故故选：A正弦定理判断三角形解的个数（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（

）A．，有唯一解B．，，无解C．，有两解D．，有唯一解【答案】A【分析】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断.【详解】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确；对于B，若，，则，解得，所以有两个解，故B错误；对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误；对于D，若，则，解得，所以有两个解，故D错误.故选：A.（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况.【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错；B选项，，所以三角形无解，故B错；C选项，，所以三角形有两个解，故C正确；D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错.故选：C.（2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是．【答案】【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可.【详解】因为三角形有两个解，所以，即，解得，故答案为：.（多选）（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AD【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数．【详解】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，∴，∴，故三角形有唯一解；若B成立，，，，有，∴，又，故，故三角形无解；若C成立，，，，有，∴，又，故，故三角形有两个解；若D成立，，，，有，∴，由于，故三角形有唯一解．故选：AD．正弦定理判断三角形形状（24-25高一下·内蒙古包头·月考）在中，已知，则的形状是．【答案】等腰三角形【分析】利用正弦定理和余弦定理将角转化为边求解.【详解】根据正弦定理和余弦定理，可化为，∴，即，则，∴为等腰三角形．故答案为：等腰三角形（24-25高一下·广东东莞·月考）在中，（，，分别为角，，的对边），则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解.【详解】由，得，整理得，在中，由射影定义得，则，而，因此，又，则，所以是直角三角形.故选：B（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误.【详解】，则或，则是等腰或直角三角形.故选：B.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】将切化弦，再结合正弦定理得到，进而有，即可判断.【详解】因为，所以，在中，由正弦定理得∴，∵，∴，所以是等腰三角形故选：A.正弦定理边角互化应用（25-26高一上·云南楚雄·月考）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则．【答案】【分析】先利用正弦定理将已知等式进行边化角，再利用两角和差公式和诱导公式即可得解.【详解】因为，所以由正弦定理可得：，即，因为，所以，所以．故答案为：.（25-26高三上·河北衡水·月考）已知内角，，的对边为，，，且，，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】由两角差的正弦公式化简，再由余弦定理及正弦定理化简，利用基本不等式求最值即可.【详解】由，可得，结合正弦定理及余弦定理有，整理得，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：A（2025·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则．【答案】1【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解．【详解】由及正弦定理得，又，所以，因为，所以.由余弦定理知，即，即，所以，所以．故答案为：1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则.【答案】【分析】结合题干根据正弦定理化简得，即可求解.【详解】因为，所以，又，则，由正弦定理可得，又因为，可得，所以，所以，又因为，可得.故答案为：三角形面积公式的应用（25-26高三上·云南楚雄·月考）在中，内角的对边分别为，已知．(1)若，求；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理列式计算即可；（2）由余弦定理可得，根据三角形面积公式计算即可求解.【详解】（1）由正弦定理得，所以；（2）由余弦定理得，，因为，所以，所以．所以的面积为．（25-26高三上·云南昆明·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理计算求解.【详解】因为，整理可得：，可得，因为为三角形内角，，所以．因为，所以，因为，且，所以，解得，由余弦定理得，解得．所以，故选：A．（2025·辽宁·模拟预测）在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理可得余弦值，进而利用同角三角函数关系求解正弦值，由面积公式即可求解.【详解】由以及正弦定理可得，设，由余弦定理可得,由于则，解得，又最小的边长为，故，故选：B（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，其面积为1，的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设，根据条件得出，再利用余弦定理可得，再结合辅助角公式和三角函数的值域求解.【详解】设，则由题意可知，，，则，由余弦定理可得，，则，即，其中，则，得，当时，，得，则，，故的最小值为.故选：D正弦定理用于求外接圆（25-26高三上·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设最大边的对角为,利用余弦定理求出,进而求出，再利用正弦定理就可以求出外接圆半径,所以外接圆的面积为.【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道,所以,设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以,所以外接圆的面积为.故选：A.（25-26高二上·广东清远·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则；外接圆的面积为．【答案】【分析】根据余弦定理求解，再利用正弦定理求解外接圆的半径，即可得解.【详解】因为，，，所以．设外接圆的半径为R，因为，所以，所以外接圆的面积为．故答案为：；（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【分析】由可得，已知，由即可得到半径.【详解】因为，所以，即，则，又，则，又，由正弦定理可得，解得，即外接圆的半径为.故选：A.（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）在中，已知，，则外接圆的半径为（

）A．6 B．3 C． D．【答案】D【分析】先由题设求出，再由正弦定理即可求解.【详解】因为，，所以.设外接圆的半径为，则，所以外接圆的半径为.故选：D正弦定理解三角形综合（25-26高三上·上海·期中）在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（

）A．则为等边三角形；B．已知，则；C．已知，，，则最小内角的度数为；D．在，，，解三角形有两解．【答案】D【分析】利用正弦定理和余弦定理，以及三角形的边、角的关系定理逐一判断即可.【详解】对于A，由和正弦定理，可得，即，因，，故，同理可得，故可得为等边三角形，即A正确；对于B，由可得，即，由余弦定理，，因，故，即B正确；对于C，因，则最小内角为角，由余弦定理，，因，则，故C正确；对于D，由正弦定理，，因为，则，故角只有一解.即D错误.故选：D.（多选）（2025·陕西咸阳·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（

）．A．若，，，则有两解B．若，则C．若，则为锐角三角形D．若，则为等腰三角形【答案】AC【分析】利用正弦定理求解判断AB；由可得，均为锐角，再结合同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式化简可得，进而判断C；根据正弦定理、二倍角公式求解判断D.【详解】对于A，由正弦定理得，则，所以，又，则，所以有两解，则有两解，故A正确；对于B，在中，，由正弦定理得，，故B错误；对于C，由，可得，且，均为锐角，所以，则，所以也为锐角，则为锐角三角形，故C正确；对于D，由，由正弦定理得，，则，所以或，则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误.故选：AC（多选）（25-26高三上·江西萍乡·期中）在中，内角的对边分别为，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若为锐角三角形，则D．若满足的有两个，则的取值范围为【答案】ACD【分析】设，结合余弦定理即可判断A；利用两角和余弦公式即可判断B；由，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判断C；由满足的有两个，可得，即可求解.【详解】对于A，由，设，由余弦定理得，而，则，A正确；对于B，由及正弦定理，得，则，即，整理得，B错误；对于C，由为锐角三角形，得，即，由正弦函数的单调性，得，因此，C正确；对于D，由满足的有两个，得，即，D正确.故选：ACD（多选）（25-26高二上·广东深圳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（

）A．若，则B．若，则是锐角三角形C．若，，，则满足条件的三角形有两个D．若角A，B都是锐角，则【答案】AC【分析】由正弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化后结合余弦定理可以判断出B，对于选项C，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解，令，，可判断D，【详解】对于选项A，在中，若，则，由正弦定理得，故选项A正确.对于选项B，若，由正弦定理可得，则，则角为锐角，但不确定角，是否为锐角，故选项B不正确.对于选项C，由于，故三角形有两解，故选项C正确.对于选项D，当，时，，故选项D不正确.故选：AC.1．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则．【答案】【分析】根据题目条件，利用正弦定理求出的值，再结合角的范围，即可得解.【详解】已知，，，所以由正弦定理可得，解得.因为，所以.故答案为：2．（25-26高三上·天津武清·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则.【答案】/【分析】根据题设，由正弦定理及两角和的正弦公式化简可求得，进而求解即可.【详解】由，根据正弦定理，得，则，则，在中，，则，即，又，所以，则.故答案为：.3.（25-26高三上·海南·月考）在中，,，则“”是“有两解”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正弦定理以及三角形解的个数的判断方法，再结合必要不充分条件的定义求解即可.【详解】若有两解，则，即，所以，所以有两解可以推出.所以“”是“有两解”的必要不充分条件.故选：B4．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）在中，角的对边分别是，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合已知等式求出边之间的比例，最后用余弦定理计算cosA的值即可.【详解】因为，根据正弦定理，得，即：，代入，得：，所以，所以由余弦定理得：，故选：D.5．（2025高二上·山东临沂·学业考试）的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理可求出的值.【详解】在中，，，，由正弦定理，可得.故选：B.6．（24-25高一下·天津·期中）已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】利用边化角，再由两角和的正弦公式即可求解判断.【详解】由正弦定理边化角得，在三角形中