2026高一数学寒假自学课（苏教版）11.3 余弦定理、正弦定理的应用（原卷版）

11.3余弦定理、正弦定理的应用内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：测量距离问题解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。两点间不可达又不可视，如图，A、B两点间有障碍物，但分别可以到达A和B，并能测量AC、BC及∠ACB方法：已知两边及夹角（AC、BC、∠C），用余弦定理直接求

两点间可视但不可达，如图，在河一侧A点，要测对岸B、C两点间的距离。方法：在A处测得∠BAC，及AB、AC中的可测量边（如用直角三角形法测得AB）。已知两边及其夹角，可用余弦定理求BC。两点都不可达，如图，A、B两点都不可到达（如河两岸的目标点）。方法（基线法）：选取可到达的两点C、D构成基线CD（可测长度），分别在C、D处测量角度：在C测∠ACB与∠ACD等，在D测∠ADC与∠ADB等

通过多次正弦定理解三角形链：

①在△ACD中由CD及∠ACD、∠ADC求AC或AD。

（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（

）A．30 B．60 C．40或60 D．30或60知识点2：测量高度问题利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度。基本关系（在直角三角形中）：高度=水平距离×tan(仰角)，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角。底部可达：利用直角三角形解底部不可达（仰角在不同位置测两次）：

设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高。测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（

）A． B． C． D．知识点3：测量角度问题1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角2、方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角3、方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向．4、坡角与坡度坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比5、测量角度的核心思想是：

将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。明确目标角：确定需要测量的角度是什么，在哪个三角形中。设计测量方案：判断是否可以构造包含目标角的可解三角形。若不能直接构造，则需通过三角形链间接求解。测量必要数据：测量可及的基线长度。测量所有可测的相关角度（通常使用经纬仪或全站仪）。分步解三角形：从已知条件最充分的三角形开始。交替使用正弦定理和余弦定理，依次求出中间边和中间角。最终将目标角纳入一个三边已知或两边及其夹角已知的三角形中。计算目标角：首选余弦定理（已知三边求角），最稳定。次选正弦定理（已知两角一边或两边一对角），但要注意解的可能性。验证：利用三角形内角和为180∘或其他几何关系进行校验。（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（

）A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向知识点4：正余弦定理解三角形正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。（1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。（2）利用余弦定理，化角为边。2、解三角形图形问题常用方法：（1）两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；（2）面积法是一种常用的方法，利用面积公式，通过等面积或者面积直接关系来列方程。（3）正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；（4）若有角分线的话，可以使用角分线定理；（5）若有中线的话，可以使用中线定理（6）平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则jie可以将其与余弦定理充分结合到一起；（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，，.(1)求；(2)求.知识点5：求三角形周长、边长或面积的最值利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的周长的最大值．距离测量问题（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为m．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（

）A． B． C． D．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50nmile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（

）A．62.4nmile B．85.0nmile C．104.4nmile D．116.0nmile（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（

）A． B． C． D．距离高度问题（24-25高一下·贵州·月考）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高m，该同学眼高1.6m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高m（用参考数据进行计算）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当m时，观测基站的视角∠ACB最大？（参考数据：，，，，.）（24-25高三上·江西鹰潭·月考）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（

）（）A．37.52m B．35.48m C．33.26m D．31.52m（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（

）

A． B． C． D．（24-25高一下·甘肃白银·期末）美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（

）A． B． C． D．距离角度问题（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，.(1)求观测点到树干底部点的距离的长度；(2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值.（24-25高一下·山东淄博·期中）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里（24-25高一下·浙江衢州·期中）灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（

）A． B． C． D．（2025高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°正余弦定理判断三角形形状（25-26高三上·山东·月考）在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形（2025高三·全国·专题练习）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形（25-26高二上·天津南开·月考）中，“”是“是以为的直角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件（25-26高三上·河北邢台·月考）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形求三角形边长或周长的最值或范围（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求的周长的取值范围.（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.(1)求角A的大小；(2)若，，求a；(3)若为锐角三角形，，求的取值范围.（25-26高一上·上海宝山·开学考试）已知三角形ABC为等腰三角形，其中，，在AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为.（24-25高一下·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知．(1)求角；(2)若，且边的中线的长为，求的面积；(3)若是锐角三角形，求的范围．求三角形面积的最值或范围（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知.(1)求；(2)若，求的面积的最大值.（24-25高二下·湖南永州·期末）如图，已知平面四边形中，，，.若四点共圆.(1)求；(2)求四边形面积的最大值.（24-25高一下·黑龙江·期末）如图四边形中，

(1)若的面积为，且为锐角，求的长度．(2)试问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由，(3)求四边形面积的最大值．所以四边形面积的最大值.（24-25高一下·山东济南·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．(1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形．（ⅰ）求角A的取值范围；（ⅱ）设，求面积的取值范围．正余弦定理的应用（25-26高二上·北京·期中）A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设．(1)用表示SN并写出的范围；(2)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值．（24-25高二下·贵州·月考）如图，正方形的边长为1，分别为边长上的动点.已知，且.

(1)用表示的面积，并求的最小值；(2)记点到直线的距离为，求的最大值.（25-26高一上·江苏南通·月考）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，设等腰梯形的腰长为.(1)用表示上底；(2)求出所用篱笆长度的最小值．（25-26高三上·重庆·月考）飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性.如图，小华位于处，小明位于处，小华以(单位:米/秒)的速度沿着方向将飞盘抛出，同时，小明以的速度去接飞盘.已知米，.已知经过秒.小明在处接到飞盘.假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变.(1)求的最大值；(2)若米秒，秒，求.1．（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（

）

A． B． C． D．3．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为m．4．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（

）A． B．C． D．5．（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两