专题二　微重点2　平面向量数量积的最值与范围问题 -大二轮数学专题复习

微重点2平面向量数量积的最值与范围问题[考情分析]平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法.考点一求向量数量积的最值(范围)例1(1)(2024·重庆模拟)如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则AP·AB的取值范围是()A.1，4+C.1，1+答案C解析如图建立平面直角坐标系，则A-12又圆O半径为r=2设P2∵点P在BC(包括端点)上，∴θ∈-∴AP=22cosθ+12，∴AP·AB=22cosθ+∵θ∈-∴cosθ∈2∴AP·AB的取值范围是1，(2)已知在菱形ABCD中，AB=BD=6，若点M在线段AD上运动，则BC·BM的取值范围为.

答案[-18，18]解析BC·BM=BCBMcos∠MBC如图所示，当M在线段AD上运动时可得-A1B≤BMcos即-3≤|BM|cos∠MBC≤3，又|BC|=6，所以-18≤BC·BM≤18.[规律方法]向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.跟踪演练1(1)(2024·渭南模拟)已知菱形ABCD的边长为1，cos∠BAD=13，O为菱形的中心，E是线段AB上的动点，则DE·DO的最小值为(A.13 B.2C.12 D.答案A解析由题意点O为BD的中点，设AE=λAB，0≤λ≤1则DE=AE-AD=λAB-AD，DO=12DB故DE·DO=(λAB-AD)·1=12λAB2+12AD=12λ+12=13λ+当λ=0时，DE·DO取得最小值1(2)已知平面向量a，b满足a=1，2a-b=2，则(a+b)·b答案20解析不妨设a=(1，0)，b=(x，y)，则2a-b=(2-x，-y)，则2a-b=即(x-2)2+y2=4，(a+b)·b=(1+x，y)·(x，y)=x(x+1)+y2=x2+x+y2=x+122+取B(2，0)，C-12设点P(x，y)在圆(x-2)2+y2=4上，x+122+y2表示因此x+122+y2从而x+122+y2-14考点二求向量模、夹角的最值(范围)例2(1)(2024·咸阳模拟)已知a，b是两个单位向量，且|a+b|=|a-b|，若向量c满足c-a-b=2，则cA.2-2 B.2+2C.2 D.22答案B解析已知a，b是两个单位向量，且|a+b|=|a-b|，则a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2，则a·b=0，则a⊥b，设a，b分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，则a=(1，0)，b=(0，1)，a+b=(1，1)，设c=(x，y)，则c-a-b=(x-1，y-1)，因为|c-a-b|=(x-1)2+(y-1)2=2，所以(x-1)故c=OC，点C的轨迹是以(1，1)为圆心，2圆心M(1，1)到原点的距离为|OM|=12+|c|max=|OM|+r=2+2.(2)(2024·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，AB|AB|+3AD|AD|=λAC|AC|，λA.-12C.-23答案A解析设与AB同方向的单位向量ABAB=e1，与AD同方向的单位向量ADAD=e2，与AC同方向的单位向量ACAC=由题意，e1+3e2=λe3，所以(e1+3e2)2=λ2e即e12+6e1·e2+9e22所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2，所以cos∠BAD=λ因为λ∈[7，3]，所以λ2∈[7，9]所以λ2-10即cos∠BAD的取值范围是-1[规律方法](1)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2=a2转化为实数问题；数形结合；坐标法.(2)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.跟踪演练2(1)设向量OA=(1，log2x)，OB=(-1，1)，当x>4时，cos〈OA，OB〉的取值范围是A.1010，C.0，10答案A解析cos〈OA，OB〉=OA令log2x-1=t(t>1)，则log2x=t+1，所以cos〈OA，OB〉=t2(t当t>1时，0<2t+2t2=21t则2<21+2所以cos〈OA，OB〉的取值范围是(2)(2024·六安模拟)已知平面向量a，b，c满足a=1，b=3，a·b=-32，〈a-c，b-c〉=30°，则c答案27解析设OA=a，OB=b，OC=由a=1，b=3，a·b=-32，则cos所以∠AOB=150°，又〈a-c，b-c〉=30°，所以∠ACB=30°，即A，O，B，C四点共圆，要使c最大，即|OC|为圆的直径，在△AOB中，由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA×OB×cos∠AOB=7，即AB=7又由正弦定理可得2R=ABsin∠AOB=27(R为△AOB外接圆的半径)，即c的最大值为2考点三求参数的最值(范围)例3(1)(2024·哈尔滨模拟)在△ABC中，BD=23BC，P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设CP=xCA+yCB，则答案23+4解析因为在△ABC中，BD=所以CB=3CD又因为CP=xCA+yCB，则CP=xCA+3y因为A，P，D三点共线，则x+3y=1，结合题意知x>0，y>0，所以x+yxy=1y+1x=1y=xy+3yx+4≥2xy当且仅当x即x=3故x+yxy的最小值是(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为()A.[-1，3] B.[-1，5]C.[-7，3] D.[5，7]答案A解析∵非零向量a，b的夹角为θ，|a|=2|b|=2，∴|a|=2，|b|=1，a·b=2×1×cosθ=2cosθ，∵不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，∴(2a+b)2≥(a+λb)2，∴4a2+4a·b+b2≥a2+2λa·b+λ2b2，整理可得(13-λ2)+(8-4λ)cosθ≥0恒成立，∵cosθ∈[-1，1]，∴13-λ2+8-4λ≥0,[规律方法]利用共线向量定理及推论(1)a∥b⇔a=λb(b≠0).(2)OA=λOB+μOC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ+μ=1.跟踪演练3(2024·常德模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=2CD.动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=λAB+μAE，则λ+μ的取值范围为答案[0，4]解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，E(-2，1)，所以AP=λAB+μAE=(λ-2μ，μ)，当P∈AB时，有0即0≤λ≤1,μ=0,此时λ+μ的取值范围为当P∈BC时，有λ-2μ=1,0≤μ≤1,即1≤λ+μ=(λ-2μ)+3μ=1+3μ≤4，此时λ+当P∈CD时，有0≤λ-2μ≤1,μ=1,即3≤λ+μ=(λ-2μ)+3μ=(λ-2μ)+3≤4，此时λ+当P∈DA时，有λ-2μ=0,0≤μ≤1,即0≤λ+μ=(λ-2μ)+3μ=3μ≤3，此时λ+综上所述，λ+μ的取值范围为[0，4].专题强化练(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知非零向量a，b的夹角为π6，a=2，λ∈R，则|a+λb|的最小值为A.2 B.3 C.1 D.1答案C解析因为a，b的夹角为π6，|a所以a·b=3|b|，|a+λb|2=|b|2λ2+23|b|λ+4=(|b|λ+3)2+1≥1.故|a+λb|的最小值为1.2.(2024·北京朝阳区模拟)在△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点P在线段BC上.则PA·PB的取值范围为(A.-34C.[0，6] D.-答案B解析如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由AB=AC=2，BC=23，则OA=22所以A(0，1)，B(-3，0)，C(3，0设P(x，0)，-3≤x≤3则PA=(-x，1)，PB=(-3-x，0)则PA·PB=-x·(-3-x)=x2+3x=x+322-所以PA·PB的取值范围为-33.(2024·银川模拟)在△ABC中，BD=2DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且AE=mAB，AF=nAC，其中m>0，n>0，则m+2A.2 B.2 C.3 D.8答案C解析如图所示，因为BD=2DC，易知AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23又AE=mAB，AF=nAC，其中m>0，所以AD=13AB+23AC易知E，F，D三点共线，利用共线定理可得13m+2又m>0，n>0，所以m+2n=(m+2n)13m+23n=13+2m3n+2n3m当且仅当2m3n=2n3m所以m+2n的最小值为3.4.(2024·双鸭山模拟)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，a=4，cosB=34，动点M位于线段BC上，则MA·MB的最小值为(A.0 B.910C.-916 D.-答案C解析由题知MA·MB=MB+BA·MB=MB2+BA·MB=MB2+2MBcosπ-B=MB2-2×34MB=MB-所以当|MB|=34时，MA·MB取得最小值为-5.已知向量a，b，单位向量e，若a·e=1，b·e=2，a·b=3，则|a+b|的最小值为()A.3 B.10 C.13 D.6答案C解析设e=(1，0)，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，由a·e=1得x1=1，由b·e=2得x2=2，由a·b=x1x2+y1y2=3，可得y1y2=1，则|a+b|=(a+=11+y1当且仅当y1=y2=1时，取等号.故|a+b|的最小值为13.6.(2024·武汉模拟)已知△ABC是边长为43的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点，且满足|AP+BP+CP|=3，则|AP|的取值范围是()A.[3，4] B.[2，6]C.[3，5] D.(4-2，4+2答案C解析以AC所在直线为x轴，以AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(-23，0)，B(0，6)C(23，0)设P(x，y)，则AP=(x+23，y)，BP=(x，y-6CP=(x-23，y)∵|AP+BP+CP|=3，即(3x+2化简得x2+(y-2)2=1，∴点P的轨迹方程为x2+(y-2)2=1，设圆心为G，则G(0，2)，又|AG|=22+(2故|AP|的最小值为|AG|-1=4-1=3，|AP|的最大值为|AG|+1=4+1=5，故|AP|的取值范围是[3，5].二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2024·濮阳统考)已知向量a，b满足a=1，b=2，则(A.a-bB.a+bC.a-b+aD.a-b+答案ACD解析因为a-b2=a-b2=a2+b2-2a·b=5-4cos〈a，b〉∈所以1≤a-b≤3，当且仅当a，b反向时取得最大值，同向时取得最小值，故因为a+b2=a+b2=a2+b2+2a·b=5+4cos〈a，b〉∈所以1≤a+b≤3，当且仅当a，b反向时取得最小值，同向时取得最大值，故设〈a，b〉=θ，由A，B可知，y=a-b+a+b所以y2=10+225-16cos2θ∈[16，20]，所以4≤y≤25，8.(2024·江苏省苏锡常镇四市模拟)在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别为边BC和CD上两个动点(含端点)，且EF=5，设BE=λBC，DF=μDC，则A.16≤λ≤1，38≤B.λ+μ为定值C.AE·AF的最小值为50D.|AE+AF|的最大值为265答案AC解析对于A，由题意知当F和C重合时，BE=1，此时λ取到最小值16，μ取到最大值当E和C重合时，DF=3，此时μ取到最小值38，λ取到最大值1，对于B，当F和C重合时，λ=16，μ=1，λ+μ=当E，F分别位于BC，DC的中点时，满足EF=5，此时λ=12，μ=12，λ+μ=1，由此可知λ+对于C，AE·AF=AB+BE·AD+=AB·AD+λBC·AD+μAB·DC+λμBC·DC=λBC·AD+μAB·DC=λBC2+μ=36λ+64μ，由EF=5，得EF2=25，即(EC+CF)2=25即[(1-λ)BC+(μ-1)DC]2=25，即36(1-λ)2+64(μ-1)2=25，设6(λ-1)=5cosθ，8(μ-1)=5sinθ，θ∈[0，2π)，则36λ+64μ=36×5cosθ6=100+30cosθ+40sinθ=100+50sin(θ+φ)(φ为辅助角，tanφ=34)当sin(θ+