六年级数学上册第一单元《长方体和正方体》知识导图与专项培优

【单元知识导图】【专项培优】专题1：体积变化问题

例1

一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米?【解析】一个长方体的高增加后，上面和下面的面积没有变化，增加的面积就是侧面4个小长方形的面积和。4个小长方形的面积全部相等，每个小长方形的面积=84÷4=21(平方厘米)，每个小长方形的长=21÷3=7(厘米)。原来的长方体的高增加3厘米后变成正方体，说明原来长方体的长和宽相等，均是7厘米，高是7-3=4(厘米)，由此可以求出原来长方体的体积。【解答】84÷4÷3=7(厘米)7×7×(7-3)=196(立方厘米)答:原来长方体的体积是196立方厘米。

试1

一个长方体,如果长减少2分米,剩下的部分正好是一个正方体。这时表面积比原来减少40平方分米。求原来长方体的体积是多少立方分米?

练1

一个长方体木块,从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体,便成为一个正方体,表面积减少了120平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米?专题2：用抓不变量法解决实际问题

例2

有一个完全封闭的长方体容器,内壁的长是20厘米,宽是16厘米,高是10厘米(厚度不计),平放时水面高7厘米(如图1)。如果把这个容器竖起来放(如图2),水面高多少厘米?【解析】长方体容器平放和竖放时，容器内水的体积不变。图1平放时，水的体积=长×宽×高=20×16×7=2240(立方厘米)；图2竖放时的底面积=16×10=160(平方厘米)，水的体积不变，高=水的体积÷底面积=2240÷160=14(厘米)。【解答】20×16×7=2240(立方厘米)2240÷(16×10)=14(厘米)答：水面高14厘米。

试2

一个密封的长方体水箱长25厘米,宽16厘米,高10厘米(厚度不计),里面水深是4厘米。如果将水箱的右侧面作为底面进行放置,那么现在水深是多少厘米?

练2

小华放学回家,看见桌上放着两个玻璃鱼缸,爸爸在留言条上写着:“小华,你回家后,把A鱼缸的水倒入B鱼缸一些,使两个鱼缸中的水一样深。”小华按留言倒水后,这两个鱼缸现在的水深是多少厘米?

专题3：长(正)方体拼切求体积

例3

一个长14分米、高6分米的长方体。如果按下图所示把它切成两个小长方体,那么表面积增加108平方分米。求原来长方体的体积。【解析】一个长方体切成两个小长方体，表面积增加了两个横截面的面积，即横截面面积=108÷2=54（平方分米）。大长方体的底面积是54平方分米，高是14分米，最后根据体积公式计算即可。【解答】108÷2=54(平方分米)54×14=756(立方分米)答：原来长方体的体积是756立方分米。

试3

如图,用三个完全相同的长方体积木拼成一个长是4.5分米的大长方体,表面积比原来三个积木的表面积总和减少了0.32平方分米。原来每个积木的体积是多少立方分米?

练3

一个长方体,前后两个面都是边长为4.5厘米的正方形(如图),切成四块后表面积增加了440.5平方厘米。求原长方体的体积。专题4：有水溢出的浸没问题

例4

一个内部长1.5分米、宽1.2分米、高0.9分米的长方体水箱,水面高度是0.7分米,将一块石头浸没在水中后,溢出了250毫升水。这块石头的体积是多少立方分米?【解析】石头的体积=水面上升部分的体积+溢出的水的体积。水面上升部分可看作长1.5分米、宽1.2分米、高0.9-0.7=0.2(分米)的长方体，根据长方体体积公式计算出水面上升部分的体积，然后加上溢出的水的体积即可。【解答】250毫升=0.25升=0.25立方分米1.5×1.2×(0.9-0.7)+0.25=0.61(立方分米)答：这块石头的体积是0.61立方分米。

试4

一个长方体玻璃缸,内部长9分米,宽8分米,高5.5分米,水深4.5分米。如果向玻璃缸中放入一块棱长5分米的正方体铁块，玻璃缸里的水会溢出吗?如果溢出,溢出多少升?

练4

一个长方体容器,底面是边长8厘米的正方形,高16厘米往容器中倒人一定量的水,使水面距离容器口2厘米。现把一块鹅卵石放入容器中,会有部分水溢出。当把鹅卵石取出后,水面下降5厘米。溢出的水的体积是多少?

专题5：物体没有完全浸入且水没有溢出的问题

例5

一个长6分米、宽4分米、高4.8分米的长方体水缸,水深1.5分米。在其中放入一个棱长3分米的正方体铁块,铁块没有被淹没,且水没有溢出。这时长方体水缸的水面上升了多少分米?【解析】将一个正方体铁块放入长方体水缸中，水没有溢出水缸，这时铁块正方形的底面与水缸长方形的底面合在一起，现在水缸中水的底面积=长方体水缸的底面积-正方体铁块的底面积，而水缸中水的体积没有变化，所以可先求出现在水的深度=水的体积÷现在水的底面积。求出水缸中现在水的深度后，再减去原来水的深度，就可求出水面上升了多少分米。【解答】6×4×1.5-(6×4-3×3)=2.4(分米)2.4-1.5=0.9(分米)答:这时长方体水缸的水面上升了0.9分米。

试5

一个长8米、宽4.5米、深3米的长方体水池中,水深0.