轻松寒假快乐复习30天 初中数学第23天

轻松寒假，快乐复习30天第23天圆的性质★思路点睛 1.圆的性质的题的思路：促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化。 2.圆的性质： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （3）在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 （4）两条平行弦所夹的弧相等。 （5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （6）直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 （7）不在同一直线上的3个点确定一个圆。 （8）一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。 （9）圆内接四边形对角互补。★典型试题1．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝70°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．20°B．24°C．25°D．26°【答案】A．【解析】试题分析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠AEB=90°﹣∠ABC=20°．故选A．2．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AD=cm，AD平分∠BAC，则AC的长（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：连结BD,OD，BC交OD与点E,因为AB为直径，所以∠BDA=90°，因为AD平分∠BAC，所以弧CD=弧BD,所以点E为BC的中点且ODBC,在Rt△ABD中，直径AB=10cm，弦AD=cm，所以BD=cm，设OE=x，则DE=5-x，所以,所以，所以，所以BE=3，BC=6，在Rt△ABC中,.故选：B.3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．45°B．85°C．90°D．95°【答案】B.【解析】试题分析：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠C=50°，∴∠BAC=40°，∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°，∴∠CAD=∠DBC=45°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，故选B．4．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．B．8C．D．【答案】D．【解析】试题分析：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴，即，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE=6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE=．故选D．5．如图在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为（）A．160°B．135°C．125°D．110°【答案】C．【解析】试题分析：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°﹣∠A）=（180°﹣70°）=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣55°=125°．故选C．6．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（）A．10.5B．C．11.5D．【答案】A【解析】试题分析：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．当GH为直径时，E点与O点重合（或F与O重合，以下以E点与O点重合为例），∴AC也是直径，AC=14．∵∠ABC是直径上的圆周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°，∴AB=12∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=12∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5故选A7．如图，点P是等边△ABC外接圆⊙O上一点，在以下判断中不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形；B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC；C．当PO⊥AC，∠ACP=30゜；D．当∠ACP=30゜时，△BPC是直角三角形。【答案】C．【解析】试题分析：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP=90°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，∴BP⊥AC，∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，∴AP=CP，∴△APC是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意；B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：①如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；②如果AP=AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；③如果CP=CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；故本选项正确，不符合题意；C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；故本选项错误，符合题意；D、当∠ACP=30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．如果点P在P1的位置，∠BCP1=∠BCA+∠ACP1=60°+30°=90°，△BP1C是直角三角形；如果点P在P2的位置，∵∠ACP2=30°，∴∠ABP2=∠ACP2=30°，∴∠CBP2=∠ABC+∠ABP2=60°+30°=90°，△BP2C是直角三角形；故本选项正确，不符合题意．故选C．8．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为．【答案】55°．【解析】试题分析：：连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．试题解析：如图：连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=70°，∴∠COD=40°，∴∠AOC=110°，∴∠B=∠AOC=55°．9．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm，以BC上一点为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90，则圆心O到弦AD的距离是__________．【答案】【解析】试题分析：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，∵∠AOD=90°，AO=OD，所以△AOD是等腰直角三角形，AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°∴∠ODC+∠OAB=90°，∵∠ODC+∠DOC=90°，∴∠DOC=∠BAO，∵∠B=∠C=90°∴△ABO≌△OCD，∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，AE=BC=BO+OC=6cm，由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，得AD=2cm，∴AO=OD=2cm，S△AOD=12AO•DO=1∴OF=cm．10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．【答案】（1）35°；（2）2-.【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．试题解析：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=55°-20°=35°；（2）在直角△ABC中，BC=．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=．又∵OD=，∴DE=OD-OE=2-11．如图，以点P为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．【答案】（1）B（﹣3，0），C（1，0）；（2）矩形，M（﹣2，）；（3）不变，∠MQG=120°．【解析】试题分析：（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．试题解析：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示