山西省忻州市忻府区忻州一中2026届高一下数学期末检测试题含解析

山西省忻州市忻府区忻州一中2026届高一下数学期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知为第一象限角，，则（）A． B． C． D．2．直线被圆截得的劣弧与优弧的长之比是（）A． B． C． D．3．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．34．已知直线经过，两点，则直线的斜率为A． B． C． D．5．已知某数列的前项和（为非零实数），则此数列为（）A．等比数列 B．从第二项起成等比数列C．当时为等比数列 D．从第二项起的等比数列或等差数列6．下列不等式中正确的是()A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则7．在锐角中，若，则角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°8．设向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线，则实数x＝（）A．2 B．3 C．4 D．69．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y=-3.2x+40，且m+n=20，则其中的n=A．10 B．11 C．12 D．10.510．设，，均为正实数，则三个数，，()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设为数列的前项和，则__12．方程在区间上的解为___________．13．函数的定义域________．14．已知函数是定义域为的偶函数．当时，，关于的方程，有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____．15．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaacnewton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x分钟后物体的温度满足：（其中…为自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）.16．已知sin+cosα=，则sin2α=__三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设等差数列的前n项和为，，.（1）求；（2）设，求数列的前n项和.18．已知函数.（1）当时，，求的值；（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.19．已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，，，F，G分别为PD，BC中点，.（Ⅰ）求证：平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求证：OP与AB不垂直.20．给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.21．已知圆过点,且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值；（3）若是轴上的动点，分别切圆于两点，试问：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由式子两边平方可算得，又由，即可得到本题答案.【详解】因为，，，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值.2、A【解析】

计算出圆心到直线的距离，根据垂径定理，结合锐角三角函数关系，可以求出劣弧所对的圆心角的度数，根据弧度制的定义，这样就可以求出劣弧与优弧的长之比.【详解】圆心O到直线的距离为：，直线被圆截得的弦为AB,弦AB所对的圆心角为，弦AB的中点为C，由垂径定理可知：，所以，劣弧与优弧的长之比为：，故本题选A.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、点到直线距离公式、弧长公式，考查了数学运算能力.3、B【解析】

先由三视图判断该几何体为底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式即可求出结果.【详解】据三视图分析知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和，三棱柱的高为，所以该几何体的体积.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图求几何体的体积，属于基础题型.4、C【解析】

由两点法求斜率的公式可直接计算斜率值．【详解】直线经过，两点，直线的斜率为.【点睛】本题考查用两点法求直线斜率，属于基础题．5、D【解析】

设数列的前项和为，运用数列的递推式：当时，，当时，，结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求结论．【详解】设数列的前项和为，对任意的，（为非零实数）.当时，；当时，.若，则，此时，该数列是从第二项起的等差数列；若且，不满足，当时，，此时，该数列是从第二项起的等比数列.综上所述，此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.故选：D.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．6、D【解析】

根据不等式的性质逐一判断即可得解.【详解】解：对于选项A，若，，不妨取，则，即A错误；对于选项B，若，当时，则，即B错误；对于选项C，若，不妨取，则，即C错误；对于选项D，若，则，即，，即D正确，故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质，属基础题.7、B【解析】

直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理得到：，故，是锐角三角形，故.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.8、B【解析】由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.9、A【解析】

由表求得x，y，代入回归直线方程16m+5n=210，联立方程组，即可求解，得到答案.【详解】由题意，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据，可得x=9+9.5+m+10.5+115又由回归直线的方程y=-3.2x+40，则30+n5=-3.2×又因为m+n=20，解得m=10,n=10，故选A.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的特征及其应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、D【解析】

由题意得，当且仅当时，等号成立，所以至少有一个不小于，故选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

当时，；当时，，即，若为偶数，则为奇数）；若为奇数，则，故是偶数）．因为，，所以，同理可得，，，所以，应选答案．点睛：本题运用演绎推理的思维方法，分别探求出数列各项的规律（成等比数列），再运用等比数列的求和公式，使得问题简捷、巧妙获解．12、【解析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考点】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.13、.【解析】

根据反正弦函数的定义得出，解出可得出所求函数的定义域.【详解】由反正弦的定义可得，解得，因此，函数的定义域为，故答案为：.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.14、.【解析】

令，则原方程为，根据原方程有且仅有5个不同实数根，则有5个不同的解，结合图像特征，求出的值或范围，即为方程解的值或范围，转化为范围，即可求解.【详解】令，则原方程为，当时，，且为偶函数，做出图像，如下图所示：当时，有一个解；当或，有两个解；当时，有四个解；当或时，无解.，有且仅有5个不同实数根，关于的方程有一个解为，，另一个解为，在区间上，所以，实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查复合方程根的个数求参数范围，考查了分段函数的应用，利用换元法结合的函数的奇偶性的对称性，利用数形结合是解题的关键，属于难题.15、45【解析】

直接利用对数的运算性质计算即可,【详解】.故答案为：45.【点睛】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.16、【解析】∵，∴即，则.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）在等差数列中根据，，可求得其首项与公差，从而可求得；（2）可证明为等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可．【详解】（1）；（2），所以.【点睛】本题考查等比数列的前项和，着重考查等差数列的性质与通项公式及等比数列的前项和公式，属于基础题．18、（1）；（2）【解析】

（1）根据得，得或，结合取值范围求解；（2）结合换元法处理二次不等式恒成立求参数的取值范围.【详解】（1），即，即有，所以或，即或由于，，所以；（2），令，对任意都有恒成立，即对恒成立，只需，解得：，所以的最大值为.【点睛】此题考查根据三角函数值相等求自变量取值的关系，利用换元法转化为二次函数处理不等式问题，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及根的分布的问题.19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】

（Ⅰ）连接，，由已知结合三角形中位线定理可得平面，再由面面平行的判断可得平面平面，进而可得平面；（Ⅱ）首先证明平面，而为的中点，然后利用等积法求三棱锥的体积；（Ⅲ）直接利用反证法证明与不垂直.【详解】（Ⅰ）如图，连接，∵是中点，是中点，∴，而平面，平面，∴平面，又∵是中点，是中点，∴，而平面，平面，∴平面，又∴平面平面，即平面.（Ⅱ）∵底面，∴，又四边形为菱形，∴，又，∴平面，而为的中点，∴.（Ⅲ）假设，又，且，∴平面，则，与矛盾，∴假设错误，故与不垂直.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用反证法证明线线垂直问题，训练了利用等积法求解多面体的体积，属于中档题．20、见解析【解析】（1）因为，，故，（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，即只需证明若，显然有成立；若，则显然成立综上，恒成立，即对任意的，（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有此时，即故，即，当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；若，则，此时，也满足题意；综上，满足题意的的取值范围是．【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．21、（1）；（2）26；（3）直线恒过定点．证明见解析【解析】

（1）设圆心，根据则，求得和圆的半径，即可得到圆的方程；（2）设，化简得，根据圆的性质，即可求解；（3）设，圆方程，根据两圆相交弦的性质，求得相交弦的方程，进而可