山西大学附中2026届高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

山西大学附中2026届高一数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，若关于的不等式在区间上有解，则（）A． B． C． D．2．下列函数中最小正周期为的是（）A． B． C． D．3．已知与之间的几组数据如下表则与的线性回归方程必过()A．点 B．点C．点 D．点4．高一数学兴趣小组共有5人，编号为.若从中任选3人参加数学竞赛，则选出的参赛选手的编号相连的概率为（）A． B． C． D．5．已知向量满足，．O为坐标原点，．曲线，区域．若是两段分离的曲线，则（）A． B． C． D．6．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直A．0 B．1 C．2 D．37．“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．设等比数列的前项和为，若，，则（）A．63 B．62 C．61 D．609．若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围（）A．或 B．C． D．10．如果在一次实验中，测得x,y的四组数值分别是A1,3，B2,3.8，C3,5.2，D4,6，则A．y=x+1.9 B．C．y=0.95x+1.04 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是_____．12．若，则__________.（结果用反三角函数表示）13．______．14．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.15．sin750°=16．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线，.（1）证明:直线过定点；（2）已知直线//，为坐标原点，为直线上的两个动点，，若的面积为，求.18．已知数列的前项和为，满足，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2），求数列的前项和；（3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由.19．如图，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中点，求证：（1）平面ABC；（2）平面EDB.（3）求几何体的体积.20．已知直线与平行.（1）求实数的值：（2）设直线过点，它被直线，所截的线段的中点在直线上，求的方程.21．在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的面积．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据题意得不等式对应的二次函数开口向上，分别讨论三种情况即可．【详解】由题意得：当当当综上所述：,选D.【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：．有时还需要结合韦达定理进行解决．2、C【解析】

对A选项，对赋值，即可判断其最小正周期不是；利用三角函数的周期公式即可判断B、D的最小正周期不是，问题得解.【详解】对A选项，令，则，不满足，所以不是以为周期的函数，其最小正周期不为；对B选项，的最小正周期为：；对D选项，的最小正周期为：；排除A、B、D故选C【点睛】本题主要考查了三角函数的周期公式及周期函数的定义，还考查了赋值法，属于基础题．3、C【解析】

根据线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．【详解】，，8根据线性回归方程必过样本中心点，可得与的线性回归方程必过．故选：C．【点睛】本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点，属于基础题．4、A【解析】

先考虑从个人中选取个人参加数学竞赛的基本事件总数，再分析选出的参赛选手的编号相连的事件数，根据古典概型的概率计算得到结果.【详解】因为从个人中选取个人参加数学竞赛的基本事件有：，共种，又因为选出的参赛选手的编号相连的事件有：，共种，所以目标事件的概率为.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的简单应用，难度较易.求解古典概型问题的常规思路：先计算出基本事件的总数，然后计算出目标事件的个数，目标事件的个数比上基本事件的总数即可计算出对应的概率.5、A【解析】

由圆的定义及平面向量数量积的性质及其运算可得：点P在以O为圆心，r为半径的圆上运动且点P在以Q为圆心，半径为1和2的圆环区域运动，由图可得解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，由，则，即点P在以O为圆心，r为半径的圆上运动，又，则点P在以Q为圆心，半径为1和2的圆环区域运动，由图可知：当C∩Ω是两段分离的曲线时，r的取值范围为：3<r<5，故选：A．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，利用数形结合思想，将向量问题转化为圆与圆的位置关系问题，考查转化与化归思想，属于中等题.6、C【解析】

根据折叠前后线段、角的变化情况，由线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理对各命题进行判断，即可得出答案．【详解】对①，在图②中，连接交于点，取中点，连接MO，易证AOMF为平行四边形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正确；对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，即有CDEF，∴CD平面ADEF，则平面ADEF平面ABCD，故③正确；对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四点共面．过F作FNBG于N，则FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．故选：C．【点睛】本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．7、A【解析】

对分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【详解】由题意，当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直；当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直，舍去；当且时，由两条直线相互垂直，则，即，解得或；综上可得：或，两条直线相互垂直，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8、A【解析】

由等比数列的性质可得S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，代入数据计算可得．【详解】因为，，成等比数列，即3，12，成等比数列，所以，解得.【点睛】本题考查等比数列的性质与前项和的计算，考查运算求解能力.9、C【解析】

对m分m≠0和m=0两种情况讨论分析得解.【详解】由题得时，x＜0，与已知不符，所以m≠0.当m≠0时，，所以.综合得m的取值范围为.故选C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、B【解析】

求出样本数据的中心(2.5,4.5)，依次代入选项中的回归方程.【详解】∵x∴样本数据的中心为(2.5,4.5)，将它依次代四个选项，只有B符合，∴y与x之间的回归直线方程是y=1.04x+1.9【点睛】本题的考点是回归直线经过样本点的中心，而不是考查利用最小二乘法求回归直线方程.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、．【解析】

根据题意可知，，从而得出，再由，即可求出的取值范围．【详解】解：由题意可知，，且，，，，或，故的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查等比数列的极限问题，解题时要熟练掌握无穷等比数列的极限和，属于基础题．12、；【解析】

由条件利用反三角函数的定义和性质即可求解.【详解】，则，故答案为：【点睛】本题考查了反三角函数的定义和性质，属于基础题.13、【解析】

,,故答案为.考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.14、【解析】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率．15、1【解析】试题分析：由三角函数的诱导公式得sin750°=【考点】三角函数的诱导公式【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．16、160【解析】

∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，∴抽取比例为280980∴此样本中男生人数为27故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见详解；（2）【解析】

（1）将直线变形，然后令前系数为0，可得结果.（2）根据直线//，可得，然后计算点到直线距离，根据面积公式，可得结果.【详解】（1）由则直线，令且所以对任意的，直线必过定点（2）由直线//，所以可知直线，则直线，点到直线距离为又，所以【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及平面中线线平行关系，属基础题.18、（1），；（2）见解析；（3）存在，.【解析】

（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式.用累加法可求的通项.（2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论.（3）根据的通项可得，故考虑的解可得满足条件的的值.【详解】（1）在数列中，当时，.当时，由得，因为，故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.在数列中，当时，有，由累加法得，，.当时，也符合上式，所以.(2).当为偶数时，=；当为奇数时，=.(3)对任意的正整数,有，假设存在正整数，使得，则，令，解得，又为正整数，所以满足题意.【点睛】给定数列的递推关系，求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下：（1），用累加法；（2），可变形为，利用等比数列的通项公式可求的通项公式，两种方法都可以得到的通项公式.（3）递推关系式中有与前项和，可利用实现与之间的相互转化.另外，数列不等式恒成立与有解问题，可转化为数列的最值（或项的范围）来处理.19、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】

（1）如图：证明得到答案.（2）证明得到答案.（3）几何体转化为，利用体积公式得到答案.【详解】（1）∵F分别是BE的中点，取BA的中点M，∴FM∥EA，FMEA＝1∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM，又CD＝FM∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC∴FD∥平面ABC．（2）因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE，又AE∩AB＝A，所以CM⊥面EAB，∵AF⊂面EAB∴CM⊥AF，又CM∥FD，从而FD⊥AF，因F是BE的中点，EA＝AB所以AF⊥EB．EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB．（3）几何体的体积等于为中点，连接平面【点睛】本题考查了线面平行，线面垂直，等体积法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20、(1).(2)【解析】

（1）利用两直线平行的条件进行计算，需注意重合的情况。（2）求出到平行线与距离相等的直线方程为，将其与直线联立，得到直线被直线，所截的线段的中点坐标，进而求出直线的斜率，可得直线的方程。【详解】（1）∵直线与平行，∴且，即且，解得.（2）∵，直线：，：故可设到平行线与距离相等的直线方程为，则，解得：，所以到平行线与距离相等的直线方程为，即直线被直线，所截的线段的中点在上，联立，解得，∴过点∴，的方程为：，化简得：.【点睛】本题主要考查