2026年高二数学寒假自学课（苏教版）专题05 抛物线的综合应用（13大考点）（原卷版）

专题05抛物线的综合应用

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，

定直线l叫做抛物线的准线．

注：若在定义中有Fl，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F．

知识点2：抛物线的方程、图形及性质

2222

抛物线的标准方程有4种形式：y2px，y2px，x2py，x2py(p0)，其中一次项与对

称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

图形

标准222

y2px(p0)y2px(p0)x2py(p0)2

x2py(p0)

方程

顶点O(0，0)

范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR

对称轴x轴y轴

pppp

焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)

2222

离心率e1

pppp

准线方程xxyy

2222

焦半径p

pAFx1pp

AFx12AFy1AFy1

，222

A(x1y1)

知识点3：二级结论

2

1、点P(x0,y0)与抛物线y2px(p0)的关系

（）在抛物线内（含焦点）2．

1Py02px0

（）在抛物线上2．

2Py02px0

（）在抛物线外2．

3Py02px0

2、焦半径

p

抛物线上的点P(x,y)与焦点F的距离称为焦半径，若y22px(p0)，则焦半径PFx，

0002

p

PF．

min2

3、p(p0)的几何意义

p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大．

4、焦点弦

2

若AB为抛物线y2px(p0)的焦点弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有以下结论：

p2

（1）xx．

124

（）2．

2y1y2p

（）焦点弦长公式：，，当时，焦点弦取最小值，即

31ABx1x2px1x22x1x2px1x22p

所有焦点弦中通径最短，其长度为2p．

2p

焦点弦长公式2：AB（为直线AB与对称轴的夹角）．

sin2

p2

（4）AOB的面积公式：S（为直线AB与对称轴的夹角）．

AOB2sin

5、抛物线的弦

2

若AB为抛物线y2px(p0)的任意一条弦，A(x1,y1),B(x2,y2)，弦的中点为M(x0,y0)(y00)，则

1

（1）弦长公式：AB1k2xx1yy(kk0)

12k212AB

p

（2）kAB

y0

p

（3）直线AB的方程为yy0(xx0)

y0

y

（4）线段AB的垂直平分线方程为yy0(xx)

0p0

A

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）

4

AA

（1）y2Ax(A0)焦点为(,0)，准线为x

44

AA

（2）x2Ay(A0)焦点为(0,)，准线为y

44

y11

如y4x2，即x2，焦点为(0,)，准线方程为y

41616

7、参数方程

x2pt2

y22px(p0)的参数方程为（参数tR）

y2pt

8、切线方程和切点弦方程

2

抛物线y2px(p0)的切线方程为y0yp(xx0)，(x0,y0)为切点

切点弦方程为y0yp(xx0)，点(x0,y0)在抛物线外

与中点弦平行的直线为y0yp(xx0)，此直线与抛物线相离，点(x0,y0)（含焦点）是弦AB的中点，

中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．

pp

对于抛物线y22px(p0)，由A(，p)，B(，p)，可得|AB|2p，故抛物线的通径长为2p．

22

p

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：y

0k

11、焦点弦的常考性质

已知，、，是过抛物线2焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，

A(x1y1)B(x2y2)y2px(p0)FMABl

MNl，N为垂足．

（1）以AB为直径的圆必与准线l相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；

（2）FNAB，FCFD

p2

（3）xx；yyp2

12412

（4）设BDl，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上

考点1：抛物线的标准方程

【例1】（25-26高二上·山东青岛·月考）抛物线y6x2的准线方程为（）

3

A．y=3B．y

2

11

C．yD．y

624

2

【变式1-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线y2pxp0上一点P6,y0到其焦点的距离为9，

则该抛物线的方程为（）

A．y212xB．y28xC．y26xD．y23x

【变式1-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知点2,1在抛物线C:x2ay上，则抛物线C的准线方程

为（）

A．x2B．y2C．x1D．y1

【变式1-3】（25-26高二上·江苏·期末）以0,2为焦点的抛物线标准方程是（）

A．y24xB．y28xC．x24yD．x28y

考点2：抛物线的定义

【例2】（25-26高二上·辽宁锦州·月考）已知点F为抛物线C：y26x的焦点，l为C的准线，P为C上一

点，过P作l的垂线，垂足为M．若MFMP，则PF（）

A．3B．3C．23D．6

【变式2-1】（25-26高二上·四川达州·月考）抛物线y28x上的点M到焦点F的距离为6，则点M到y轴

的距离为（）

A．6B．4C．3D．2

【变式2-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线C:y24x的焦点为F，若抛物线上一点M到直线x2

的距离为5，则MF（）

A．3B．4C．5D．6

【变式2-3】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知抛物线C:y28x的焦点为F，点M在C上，MF5，

则点M到直线x4的距离为（）

A．7B．6C．5D．4

考点3：距离和差最值问题

【例3】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知P为抛物线C:y28x上的动点，F为C的焦点，点A4,2，

则PFPA的最小值为（）

A．4B．5C．6D．7

【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知直线l过点2,0且与直线yx平行，P为抛物线C：x24y

，

上的动点，P到C的准线的距离为d1P到l的距离为d2，则d1d2的最小值为（）

232

A．B．2C．D．22

22

1

【变式3-2】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知抛物线xy2上有一动点M，F为其焦点，其所在平面

4

内还有一点P(1,1)，则|MF||MP|的最小值为（）

A．4B．3C．2D．1

【变式3-3】（25-26高二上·河南·期中）已知点P是抛物线C:y28x上的一点，设点P到直线x2和

x3y80的距离分别为d1，d2，则d1d2的最小值为（）

9

A．5B．C．322D．42

2

考点4：轨迹问题

【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知点F(0,1)，动点M在直线l:y1上，过点M且垂直于x轴的直

线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．则曲线C的方程为（）

A．x24yB．x24yC．x22yD．x22y

【变式4-1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）二次函数yx22mx3m2mR图象的顶点的轨迹是（）

A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线

【变式4-2】（24-25高三下·湖南长沙·月考）设F1,0，点M在x轴上，点N在y轴上，且

MNNP,MNNF0，当点N在y轴上运动时，点P的轨迹方程为（）

11

A．y2xB．y2xC．y22xD．y24x

24

【变式4-3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点B2,1，BCx轴于点C，M是线段OB上任

意一点，MDx轴于点D，MEBC于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（）．

1

A．y2x0x2B．y2x0x2

2

C．x2y0x2D．x24y0x2

考点5：焦半径问题

【例5】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知P1,m为抛物线y28x上一点，F为抛物线的焦点，则PF

（）

A．3B．4C．8D．9

【变式5-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知F是抛物线C:y24x的焦点，点Am,1在C上，则AF

（）

3559

A．B．C．D．

8844

2

【变式5-2】（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线C:y2pxp0的焦点为F，点A在C上，过点A作

C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y2x4，则AF（）

A．6B．8C．10D．12

【变式5-3】（25-26高二上·全国·单元测试）设F为抛物线C：y26x的焦点，点A在C上，且在第一象

π

限，若直线AF的倾斜角为，则|AF|（）

3

A．2B．4C．6D．8

考点6：直线与抛物线的位置关系

【例6】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知抛物线y24x，斜率为k的直线l绕定点P2,1旋转，下列

说法正确的是（）

A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切

1

B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率k的范围是1,

2

1

C．当k或k1时，直线与抛物线只有一个公共点

2

1

D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率k的范围是k,1,

2

【变式6-1】（25-26高二上·河北·期中）已知直线l:ykx1和抛物线C:y24x，则“k1”是“直线l与抛

物线C恰有一个公共点”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．既不充分又不必要条件D．充要条件

1

【变式6-2】（2025·天津·二模）“k”是“直线ykx1与抛物线y22x只有一个公共点”的（）

2

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件

【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点A0,2且与抛物线C有

唯一公共点的直线有（）

A．1条B．2条C．3条D．4条

考点7：弦长问题

【例7】（25-26高二上·天津河北·月考）已知倾斜角为45的直线l经过抛物线y24x的焦点F,且与抛物

线交于A,B两点,则线段AB的长为.

【变式7-1】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知抛物线C:y22px的焦点F到准线的距离为2，过F的

直线l与C交于A，B两点.若直线l的倾斜角为45°，则AB=

【变式7-2】（25-26高二上·天津·月考）已知倾斜角是60°的直线l过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线

交于A，B两点，则弦长|AB|．

2

【变式7-3】（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线y2pxp0被直线yx4截得的弦AB的长为34，

则p．

考点8：面积问题

【例8】（2025·江苏南通·模拟预测）已知F是抛物线C:x24y的焦点，l是准线，过F作圆

A:x2y26y60的切线，与抛物线C交于点M、N两点（M在N的上方），过M作l的垂线，垂足

为P，则MFP的面积为．

【变式8-1】（25-26高二上·陕西西安·月考）过抛物线C:y26x的焦点F，且倾斜角为30的直线l交C于

A､B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为.

【变式8-2】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知抛物线E：y22pxp0的焦点为F，准线为l，过

焦点F的直线交E于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，若AF3BF，且三角形CDF

的面积等于23，则p的值等于.

【变式8-3】（25-26高二上·重庆·月考）已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点F作斜率大于0的直线l

与C交于A,B两点，O为坐标原点，AF2FB，则AOB的面积为.

考点9：焦点弦问题

2π

【例9】（24-25高二下·重庆·月考）经过抛物线C:y2pxp0的焦点F且倾斜角为的直线交C于点

4

A,B，且AB8，则p．

【变式9-1】（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知抛物线C:y24x的焦点为F，过F的直线l与C相交于A,B，

与C的准线相交于N，若BN2FB，则AF的值为．

【变式9-2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线y24x焦点F的直线与抛物线交于A、B两

点，且A、B中点的横坐标为5，则|AB|.

【变式9-3】（23-24高二下·河北·开学考试）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，过

F的直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），与l交于点D，若DB2BF，AF4，则AB．

考点10：中点弦问题

【例10】（25-26高二上·天津滨海新·月考）若直线l经过抛物线y24x焦点，且与抛物线相交于A,B两点，

且AB6，则AB的中点横坐标为.

21

【变式10-1】（25-26高二上·湖北荆州·月考）已知抛物线C:y22x，过点M(，)的直线l与C相交于A，

32

B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为．

【变式10-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线:y22x，直线l与交于A,B两点，M(2,1)为弦AB

的中点，则直线l的斜率为．

【变式10-3】（24-25高二下·福建福州·月考）已知抛物线y22px(p0)的焦点F到准线的距离为4，直

线l过点F且与抛物线交于A、B两点，若Mm,2是线段AB的中点，则m的值为．

考点11：直线与抛物线的最值问题

【例11】（22-23高二下·河南·期中）已知两曲线f(x)x3ax和g(x)x2bxc都经过点P1,2，且在点P

处有公切线．

(1)求a,b,c的值；

(2)设抛物线g(x)x2bxc上一动点M到直线y3x2的距离为d，求d的最小值．

【变式11-1】（22-23高二下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l:x1，已知

动点T到点F1,0的距离等于点T到直线l的距离，设点T的轨迹为C.

(1)过点F且斜率为2的直线与曲线C交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；

(2)求曲线C上的点到直线xy40的最短距离.

【变式11-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知抛物线C:y22px(p0)，其准线方程为x10，直

线l过点T(t,0)(t0)且与抛物线交于A,B两点，O为坐标原点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)当t2时，求证：OAOB的值与直线l的倾斜角的大小无关；

(3)若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为d(t)，求函数yd(t)的解析式.

【变式11-3】（25-26高二上·江西·期中）已知点M到点F3,0的距离比点M到直线x60的距离小3，

记点M的轨迹为曲线C．

(1)求C的标准方程；

(2)若P为C上的一个动点，Q1,4，点P到y轴的距离为d，求PQd的最小值；

(3)若过点(-1,0)的直线l与C交于A，B两点，求AFBF的取值范围．

考点12：定点、定值问题

【例12】（25-26高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x22pyp0上一点

Mx0,4x00到焦点F的距离为5.过点Q0,4的直线l与抛物线交于不同的两点A、B.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若FAB的面积为20，求直线l的方程；

11

(3)若直线MA交y轴于点S，直线MB交y轴于点T，且QSQO，QTQO，求证：为定值.

【变式12-1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知点F是抛物线C：y22pxp0的焦点，纵坐标为2的

点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE23．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求kNAkNB的值．

【变式12-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线G:y22pxp0，过焦点F的动直线l与抛物线交

于A，B两点，线段AB的中点为M.

π

(1)当直线l的倾斜角为时，AB16，求抛物线G的方程；

4

(2)对于（1）问中的抛物线G，若点N3,0，求证：AB2MN为定值，并求出该定值.

2

【变式12-3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线C：x2pyp0的焦点F到直线l：xy20

的距离为32．

2

(1)求p的值；

2

(2)倾斜角为的直线l过F，与C交于A，B两点，求AB；

3

(3)E是直线y1上一动点，过点E作C的两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN过定点．

考点13：抛物线的实际应用

【例13】（25-26高二上·安徽·月考）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l位置时，拱顶离水面

的高度为2.5m，水面宽度为10m，当水面下降0.7m后，水面的宽度为（）

A．63mB．82mC．42mD．43m

【变式13-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）有一抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽8米．若

水面下降1米，水面宽度增加了（）

A．464米B．46米C．46-8米D．4米

【变式13-2】（24-25高二上·山东烟台·期末）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道

高为6m，宽为8m，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经

过此隧道，货车宽度为2m，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的

最大值为（）

A．3.5mB．4mC．4.5mD．5m

【变式13-3】（24-25高二上·福建三明·期末）三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能

为一体的廊桥．该桥始修于明成化乙巳年（1485年），南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最

大一桥孔（如图所示），当孔顶到水面距离为8m时，跨度达到了13m．若水面从图中示意位置上升4m，

则水面宽变为（）．

13213

A．132mB．mC．mD．13m

22

1．（25-26高二上·河南·月考）已知抛物线C：y22pxp0的焦点为F，点M在抛物线C上，且

OFM60（O为坐标原点）．若MF4，则焦点F的坐标为（）

A．6,0B．4,0C．3,0D．2,0

y2x2

2．（25-26高二上·广东揭阳·月考）已知抛物线x245y的焦点与双曲线1的一个焦点重合，则

4a

该双曲线的渐近线方程为（）．

11

A．yxB．yxC．y2xD．y4x

42

3．（25-26高二上·重庆·月考）已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，A、B是C上异于坐标原点

πAB

的两点，若ÐAFB，过AB的中点D作l的垂线，垂足为E，则的最小值为（）

2DE

A．1B．2C．2D．22

4．（25-26高二上·安徽安庆·月考）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示

的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F

处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（）

A．1mB．2.88mC．5.76mD．1.44m

5．（2025高二上·重庆·专题练习）已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴交于点M，过点F的

直线l交抛物线C于A，B两点，若AMF30，则直线l倾斜角的正弦值为（）

3162

A．B．C．D．

3232

6．（25-26高二上·福建厦门·月考）过抛物线E:y22pxp0的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，

111

设P为抛物线上的一个动点，Q1,2，若，则PFPQ的最小值为（）

ABCD16

A．5B．6C．7D．4

7．（25-26高二上·河北·月考）如图，P是抛物线y28x上一点，F是抛物线的焦点，OFP60，则PF

（）

84

A．8B．4C．D．

33

8．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）设抛物线C：y24x的焦点为F，M为C上一动点，E(3,1)

为定点，则下列结论正确的是（）

A．准线l的方程是x2

B．MEMF的最小值为4

1

C．A，B为抛物线上的两点，点E为线段AB的中点，则AB所在的直线方程为yx5

2

D．以线段MF为直径的圆与y轴相切

9．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点F到准线的

距离为4，过F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）

A．抛物线C的准线方程为y2

B．若AB16，则点M到x轴的距离为6

C．当3AFFB，则直线AB的倾斜角为30

D．4AFBF18

10．（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知过点