2026年高二数学寒假自学课（苏教版）专题03 椭圆的综合应用（18大考点）（原卷版）

专题03椭圆的综合应用

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做

椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：

P||PF1||PF2|2a(2a|F1F2|2c0)

注意：当2a2c时，点的轨迹是线段；

当2a2c时，点的轨迹不存在．

知识点2：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示．

焦点的位

焦点在x轴上焦点在y轴上

置

图形

x2y2y2x2

标准方程1ab01ab0

a2b2a2b2

统一方程mx2ny21(m0,n0,mn)

xacosxacos

参数方程,为参数（[0,2]）,为参数（[0,2]）

ybsinybsin

到两定点、的距离之和等于常数，即（）

第一定义F1F22a|MF1||MF2|2a2a|F1F2|

范围axa且bybbxb且aya

、、

1a,02a,010,a20,a

顶点

、、

10,b20,b1b,02b,0

轴长长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

、、

焦点F1c,0F2c,0F10,cF20,c

焦距222

F1F22c(cab)

cc2a2b2b2

离心率e1(0e1)

aa2a2a2

a2

准线方程x

c

1外1外

点和椭圆x2y2y2x2

00点在椭圆上00点在椭圆上

221(x0,y0)221(x0,y0)

的关系abab

1内1内

xxyyyyxx

001（(x,y)为切点）001（(x,y)为切点）

a2b200a2b200

切线方程

对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中2换为，2换为

(x0,y0)xx0xyy0y

可得

切点弦所

xxyyyyxx

在的直线001(点(x,y)在椭圆外）001(点(x,y)在椭圆外）

a2b200a2b200

方程

2b2

cos1,maxF1BF2，（B为短轴的端点）

r1r2

①

焦点在轴上

12c|y0|,x

Srrsinbtan(FPF)

PF1F212焦点在轴上12

22c|x0|,y

②

焦点三角

形面积

当点在长轴端点时,（）2

Pr1r2min=b

当点在短轴端点时,（）2

Pr1r2max=a

③

焦点三角形中一般要用到的关系是

（）

|MF1||MF2|2a2a2c

1

S|PF||PF|sinFPF)

PF1F21212

2

222

|F1F2||PF1||PF2|2|PF1||PF2|cosF1PF2

上焦半径：MFaey

左焦半径：10

MF1aex0

下焦半径：MFaey

焦半径又焦半径：10

MF1aex0

焦半径最大值ac，最小值ac

b2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2（最短的过焦点的弦）

a

设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，kABk，

则弦长222

AB1kx1x21k(x1x2)4x1x2

弦长公式

1

1(yy)24yy1k2

k21212|a|

（其中a是消y后关于x的一元二次方程的x2的系数，是判别式）

考点一：椭圆的定义与标准方程

【例1】（2025·高二·江苏·期末）若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点0,3，c2，则该椭圆的标准方

程（）

x2y2x2y2

A．1B．1

94139

x2y2x2y2

C．1D．1

49913

【变式1-1】（2025·高二·陕西榆林·月考）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点2,0，0,4的椭

圆的标准方程是（）

x2y2y2x2y2x2x2y2

A．1B．1C．1D．1

4242164164

【变式1-2】（2025·高二·江苏常州·期中）方程x2(y3)2x2(y3)210表示的曲线的标准方

程是（）

x2y2x2y2x2y2x2y2

A．1B．1C．1D．1

25925161625925

【变式1-3】（2025·高二·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是2,0,2,0，并且经过点

53

,，则它的标准方程为（）

22

2222

xx2y2yxy

A．y21B．1C．x21D．1

51065610

考点二：椭圆方程的充要条件

【例2】（2025·高二·上海·月考）在平面直角坐标系xOy中，“m0”是“方程x2my21表示的曲线是

椭圆”的（）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

11x2y2

【变式2-1】（2025·高二·四川成都·月考）m,是方程1表示椭圆的（）

222m1m

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

x2y2

【变式2-2】（2025·高二·安徽·月考）已知A,B是椭圆1上的两点，且线段AB的垂直平分线

4mm

为yx1，则实数m的取值范围是（）

11551

A．0,B．,C．,D．,

55995

x2y2

【变式2-3】（2025·高二·陕西西安·月考）已知方程1，则（）

16m9m

A．m9,16时，方程表示椭圆

5

B．m0时，所表示的曲线离心率为

4

C．m16,时，方程表示焦点在y轴上的双曲线

6

D．m11时，所表示曲线的渐近线方程为yx

6

考点三：点与椭圆的位置关系

x2y2

【例3】（2025·高二·河南南阳·月考）点1,1与椭圆1的位置关系为（）

259

A．点在椭圆上B．点在椭圆内

C．点在椭圆外D．不确定

y2

【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·三模）若点P1,a在椭圆x22的内部，则实数a的取值范围为

2a

（）

11

A．2,B．2,,0

22

11

C．2,0D．2,,

22

x2y2

【变式3-2】已知直线mxny50与圆x2y25没有公共点，则点Pm,n与椭圆1的位置关系

75

是（）

A．在椭圆内B．在椭圆外

C．在椭圆上D．不确定

x2y2

【变式3-3】（2025·高二·河北邯郸·月考）直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范

5m

围是（）

A．1,B．0,11,C．1,55,D．0,11,5

x2y2

【变式3-4】若点3,2在椭圆1上，则下列说法正确的是（）

a2b2

A．点3,2不在椭圆上B．点3,2不在椭圆上

C．点3,2在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系

考点四：椭圆上两点距离的最值问题

1

【例4】（2025·高二·河南新乡·月考）已知点P到点F2,0的距离与点P到直线x8的距离之比为，

2

则FP的最大值为（）

A．1B．3C．6D．8

22

xy2

【变式4-1】（2025·高二·江苏·期中）已知点M在椭圆1上运动，点N在圆x2y14上

189

运动，则MN的最大值为（）

A．119B．125C．5D．225

x2y2

【变式4-2】（2025·高二·河南开封·期中）椭圆1上任一点P到点Q(1,0)的距离的最小值为（）

95

1525

A．3B．C．2D．

23

x2

【变式4-3】（2025·高二·吉林长春·期末）已知B是椭圆y21的上顶点，点M是椭圆上的任意一

3

点，则MB的最大值为（）

329

A．2B．22C．D．

22

考点五：椭圆上两线段的和差最值问题

x2y2

【例5】（2025·高二·江苏·期末）已知点A2,1，且F是椭圆1的左焦点，P是椭圆上任意一

95

点，则PFPA的最小值是（）

A．6B．5C．4D．3

y2x2

【变式5-1】（2025·高二·重庆荣昌·月考）Px,y为椭圆1上一点，F1是它的上焦点，A(1,0)，

95

则PAPF1的最大值为（）

A．65B．65

C．3D．1+10

x2y2

【变式5-2】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆

43

22

C上任意一点，N为圆E：(x5)(y3)2上任意一点，则|MN||MF1|的最小值为（）

A．352B．12C．52D．221

x2y2

【变式5-3】（2025·高二·天津·期中）已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆

43

22

C上任意一点，P为曲线E：xy6x8y240上任意一点，则MPMF1的最小值（）

A．255B．421C．325D．51

考点六：离心率的值

x2y2

【例6】（2025·高二·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆C:1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在

a2b2

2

C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（）

3

362322

A．B．C．D．

3333

y2x2

【变式6-1】（2025·高二·北京海淀·月考）已知椭圆1ab0的两个焦点分别为F1，F2，

a2b2

3

左顶点为A，若cosFAF，则该椭圆的离心率为（）

125

5101525

A．B．C．D．

5555

x2y2

【变式6-2】（2025·高二·重庆江北·月考）若过点5,0的直线l与椭圆1ab0相交于A，B

a2b2

两点，且A，B关于直线xy30对称，则该椭圆的离心率为（）

2233

A．B．C．D．

3232

x2y2

【变式6-3】（2025·高二·安徽·月考）已知椭圆C:1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，

a2b2

焦距为2c，第二象限内的点P在椭圆C上，且PF1x轴，若点Q3c,2a满足PF2QF1，则椭圆C的离心

率为（）

21255

A．B．C．D．

2255

考点七：椭圆的简单几何性质问题

x2y2x2y2

【例7】（多选题）（2025·高二·广西河池·月考）已知椭圆M:1,N:1，则（）

51292

A．M与N的离心率相等

B．M与N的焦距相等

C．M与N的长轴长不相等

D．M的短轴长是N的短轴长的两倍

x2y2x2y2

【变式7-1】（多选题）（2025·高二·安徽·月考）已知椭圆C:1和椭圆C:1，则（）

132223

A．两椭圆有相同的焦点

B．两椭圆的离心率相等

C．两椭圆有相同的顶点

D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心

x2y2

【变式7-2】（多选题）（2025·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1，F2，

8m

点A，B均在C上，其中A2,1，则（）

3

A．椭圆C的长轴长为22B．椭圆C的离心率为

2

6

．点在椭圆内．的值可以是

C1,CDBF16

2

y2x2

【变式7-3】（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知F1,F2是椭圆E:1的两个焦点，点P在椭

43

圆E上，则（）

A．点F1,F2在x轴上B．椭圆E的长轴长为4

1

C．椭圆E的离心率为D．使得FPF为直角三角形的点P恰有6个

212

考点八：利用第一定义求解轨迹

22

【例8】（2025·高二·吉林长春·期中）一动圆与圆x3y24外切，同时与圆x3y2100内

切，则动圆圆心的轨迹方程是（）

x2y2x2y2

A．1B．1

36273627

x2y2x2y2

C．1D．1

167167

【变式8-1】（2025·高二·广东·期中）已知圆C的方程为x2y24，直线l为圆C的切线，记A1,0，

B1,0两点到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足PAd1，PBd2，则动点P的轨迹方程为（）

x2y2x2

A．1B．y21

434

x2x2y2

C．y21D．1

262

【变式8-2】（2025·高二·安徽·月考）已知A3,0，B3,0，直线AP,BP相交于点P，且直线AP与

1

直线BP的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（）

3

x2y2x2y2

A．1x3B．1x3

3939

x2y2x2y2

C．1x3D．1x3

9393

【变式8-3】（2025·高二·山西·期中）已知点M是圆C：x2y22y310上的动点，A0,1，线段

AM的垂直平分线与线段CM交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（）

x2y2

A．x2y22B．1

78

x2y2x2y2

C．1D．1

8789

考点九：椭圆的实际应用

【例9】（2025·高二·北京东城·月考）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于

屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环

绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的

大圆作两条切线PM，PN，则MPN就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q,R,S,T

四个点处，对火星的观测角最小的是（）

A．QB．RC．SD．T

【变式9-1】（2025·高二·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反

射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆C的两个焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)(c0)．若

光线由F1发出经椭圆C两次反射后回到F1经过的路程为12c，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在

22

点P处的切线为l,F2在l上的射影H在圆xy9上，则PF1F2的周长为（）

A．3B．4C．6D．8

【变式9-2】（2025·高二·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如

图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动（俗称“踩刹车”）后，以vkm/s的速度进入距离火星表面nkm

的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为ts．已知R为火星的半径，远火星点N到

火星表面的最近距离为mkm，则下列说法不正确的是（）

mn

A．椭圆轨道的离心率为

mn2R

B．圆形轨道的周长为vtkm

vt

C．火星半径为km

2π

vt

D．近火星点与远火星点的距离为mnkm

【变式9-3】（2025·高二·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为

1

一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的

2

距离l为（）

5r2R5r2R

A．3r2RB．5r2RC．D．

23

考点十：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

x2y2

【例10】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，P为C上

95

2

一点，且PFF的内切圆半径为，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（）

125

259

A．B．1C．D．

334

22

，xy

【变式10-1】（2025·高二·江苏·期末）已知F1F2是椭圆C:1的左、右焦点，点P在C上，

1612

且线段PF1的中点在以F1F2为直径的圆上，则三角形PF2F1的面积为（）

A．43B．63C．4D．6

x2y2

【变式10-2】（2025·高二·江苏·期末）已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1,F2，M为椭圆

43

C上任意一点，则下列说法错误的是（）

△

A．MF1F2的周长为6

△

B．MF1F2面积的最大值为3

C．MF2的取值范围为1,3

D．MF1MF2的最小值为1

2

x2

【变式10-3】（2025·高二·陕西西安·月考）若点Px0,y0在椭圆C:y1，F1、F2分别为椭圆C的

4

左、右焦点，且F1PF260，则（）

422

A．xB．PF1PF2

033

C．F1PF2的周长为43D．F1PF2面积为3

考点十一：求离心率的取值范围

【例11】（2025·高二·江苏·期末）若椭圆C:ax2by21与直线xy1交于点A，B，点M为AB的

1

中点，直线OM（O为原点）的斜率小于，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

2

1221

A．0,B．0,C．,1D．,1

2222

22

：xy

【变式11-1】（2025·高二·吉林·月考）已知椭圆C1221a1b10与双曲线

a1b1

22

：xy，

C2221a20b20有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且

a2b2

F1F22PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是（）

11

A．,B．,

33

33

C．,D．,

22

x2y2a2

【变式11-2】（2025·高二·辽宁沈阳·月考）椭圆1ab0的右焦点为F,A,0，在椭圆

a2b2c

上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）

211

A．0,B．0,C．21,1D．,1

222

【变式11-3】（2025·高三·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆

x2y2

1ab0的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为

a2b2

x2y2

x2＋y2＝a2＋b2．已知椭圆E:1的焦点在x轴上，A,B为椭圆E上任意两点，动点P在直线

m2

x-3y-8＝0上．若APB恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（）

362142

A．0,B．0,C．0,D．0,

4777

考点十二：直线与椭圆的位置关系

x2y23

【例12】（2025·高三·天津滨海新·月考）已知椭圆E：1ab0的离心率为，A0,1为

a2b22

椭圆E上一点

(1)求椭圆E的方程；

(2)直线yxm与椭圆E有且只有一个公共点，求m的值.

x2y23

【变式12-1】（2025·高三·广西·开学考试）已知椭圆C:1ab0的离心率e，且椭圆

a2b22

的长轴长为4.

(1)求椭圆C的方程；

8

(2)过点1,0的直线l与椭圆C交于A,B两点，且AB2，求直线l的方程.

5

x2y2

【变式12-2】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C：1ab0的焦距为22，离心率

a2b2

2

为.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l:yxm与椭圆C有交点，求m的取值范围.

x2y23

【变式12-3】（2025·高二·河南新乡·期中）已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，点A(2,1)

a2b22

在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)直线l:yxm与椭圆C交于M，N两点．

①求m的取值范围；

②若m1，求|MN|的值．

考点十三：弦长问题

x2y2

【例13】（2025·高二·河北·期中）已知椭圆C的方程为1（ab0）上顶点为A0,2，离

a2b2

5

心率为.

5

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求MN的长.

x21

【变式13-1】已知椭圆方程为y21与直线方程l:yx相交于A、B两点，求AB的弦长.

22

x2y2

【变式13-2】（2025·高二·新疆喀什·期中）已知椭圆C的方程为1ab0,左焦点为F2，0,

a2b2

且离心率为6．

3

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆C交于M,N两点，求MN的长．

x2y22

【变式13-3】（2025·高二·天津·期中）已知椭圆C：1ab0的焦距为2，离心率为.

a2b22

(1)求出椭圆C的标准方程，并写出椭圆C的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度.

(2)经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求线段AB的长；

考点十四：中点弦问题

x2y2

【例14】（2025·高二·重庆·期中）已知椭圆C:1，点M1,1为椭圆内一点，过点M的

94

直线l与椭圆交于A、B两点，

(1)若直线l的斜率为1，求线段AB的长度.

(2)若M为线段AB的中点，求直线l的方程.

【变式14-1】（2025·高二·陕西西安·期中）已知M是曲线C上的动点，且动点Mx,y与定点F1,0的