福建省莆田市第一中学2026届高一下数学期末学业质量监测模拟试题含解析

福建省莆田市第一中学2026届高一下数学期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线平面，直线平面，下列四个命题中正确的是（）．（）（）（）（）A．（）与（） B．（）与（） C．（）与（） D．（）与（）2．在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，若，，，则其外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A． B． C． D．4．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则（）A． B． C． D．5．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A．－12 B．－14 C．10 D．86．下列函数中，在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．7．一个几何体的三视图分别是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的体积是()A． B． C． D．8．的周期为（）A． B． C． D．9．在下列结论中，正确的为（）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量与向量的长度相等C．向量就是有向线段D．零向量是没有方向的10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，是下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．方程的解集是__________.12．设为使互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：①②③④若；其中正确命题的序号为．13．若直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，实数m的取值____．14．已知向量，则___________.15．数列满足，（且），则数列的通项公式为________.16．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，正三棱柱的各棱长均为，为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．18．在平面直角坐标系中，已知向量,,.（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值.19．已知,函数.(1)当时,解不等式;(2)若对,不等式恒成立,求a的取值范围.20．已知函数，其中常数；（1）令，判定函数的奇偶性，并说明理由；（2）令，将函数图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，对任意，求在区间上零点个数的所有可能值；21．己知，，若．（Ⅰ）求的最大值和对称轴；（Ⅱ）讨论在上的单调性．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

∵直线l⊥平面α，若α∥β，则直线l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，即(1)正确；∵直线l⊥平面α，若α⊥β，则l与m可能平行、异面也可能相交，故(2)错误；∵直线l⊥平面α，若l∥m，则m⊥平面α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β；故(3)正确；∵直线l⊥平面α，若l⊥m，则m∥α或m⊂α，则α与β平行或相交，故(4)错误；故选D.2、A【解析】

根据题意，将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线为其外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积．【详解】∵，，∠ABC=90∘，∴将直三棱柱扩充为长、宽、高为2、2、3的长方体,其体对角线为其外接球的直径,长度为，∴其外接球的半径为,表面积为=17π.故选：A.【点睛】本题考查几何体外接球，通常将几何体进行割补成长方体，几何体外接球等同于长方体外接球，利用长方体外接球直径等于体对角线长求出半径，再求出球的体积和表面积即可，属于简单题.3、B【解析】

根据求出的范围，再由区间长度比即可得出结果.【详解】区间的长度为；由，解得，即，区间长度为，事件“”发生的概率是.故选B.【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.4、D【解析】

由题意得到，再由两角差的余弦及同角三角函数的基本关系式化简求解.【详解】解：∵角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，

∴，

，

故选：D.【点睛】本题考查了两角差的余弦公式的应用，是基础题.5、A【解析】

由直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，求出p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，能求出n．【详解】∵直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p），∴2m﹣4×5=0，解得m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，得10+4p﹣2=0，解得p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，得2+10+n=0，解得n=﹣1．故答案为：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6、A【解析】

判断每个函数在上的单调性即可.【详解】解：在上单调递增，，和在上都是单调递减.故选：A.【点睛】考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性.7、C【解析】

由给定的几何体的三视图得到该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，结合圆柱的体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得：该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，所以该半圆柱的体积为.故选：C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.8、D【解析】

根据正弦型函数最小正周期的结论即可得到结果.【详解】函数的最小正周期故选：【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解问题，关键是明确正弦型函数的最小正周期.9、B【解析】

逐一分析选项，得到答案.【详解】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；B.向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.故选B.【点睛】本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.10、D【解析】

根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，若，，则可能平行、相交、或异面；故A错；B选项，若，，，则可能平行或异面；故B错；C选项，若，，，如果再满足，才会有则与垂直，所以与不一定垂直；故C错；D选项，若，，则，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正确.故选D【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

令，，将原方程化为关于的一元二次方程，解出得到，进而得出方程的解集.【详解】令，，故原方程可化为，解得或，故而或，即方程的解集是，故答案为.【点睛】本题主要考查了指数方程的解法，转化为一元二次方程是解题的关键，属于基础题.12、④【解析】试题分析：根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质定理，及面面垂直的性质定理，对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．解：当m∥n，n⊂α，，则m⊂α也可能成立，故①错误；当m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m与n相交时，α∥β，但m与n平行时，α与β不一定平行，故②错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行也可能异面，故③错误；若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，由面面平行的性质，易得n⊥β，故④正确故答案为④考点：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系．点评：熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键，属于基础题．13、【解析】

点O到的距离，将的面积用表示出来，再利用均值不等式得到答案.【详解】曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半圆，若直线与曲线相交于A，B两点，则直线的斜率，则点O到的距离，又，当且仅当，即时，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案为．【点睛】本题考查了点到直线的距离，三角形面积，均值不等式，意在考查学生的计算能力.14、【解析】

根据向量夹角公式可求出结果.【详解】．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．15、【解析】

利用累加法和裂项求和得到答案.【详解】当时满足故答案为【点睛】本题考查了数列的累加法，裂项求和法，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.16、【解析】

根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.【详解】由题意可得平移后的函数表达式为，图象正好关于原点对称，即，又，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

作交于，则为异面直线与所成角，在中求出各边的长度，根据余弦定理，得到的余弦值，即为答案.【详解】作交于，则为异面直线与所成角，因为为中点，所以是的一条中位线，所以,因为正三棱柱，所以面，而面，所以所以在中，,则，在中，,则，在中，由余弦定理得.故答案为【点睛】本题考查求异面直线所成的角的余弦值，余弦定理，属于简单题.18、（1）1（2）【解析】

（1）.若,则，结合三角函数的关系式即可求的值；

（2）.若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求的值．【详解】（1）由，则即，所以所以（2），又与的夹角为，则即即由，则所以，即【点睛】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．19、(1)或;(2)或.【解析】

（1）代入，把项都移到左边，合并同类项再因式分解，即可得到本题答案；（2）等价于，考虑的图象不在图象的上方，利用数形结合的方法，即可得到本题答案.【详解】(1)当时,由得，即,解得,或，所以,所求不等式的解集为或；(2)等价于,所以当时，的图象在图象的下方，所以或所以,,或.【点睛】本题主要考查一元二次不等式以及利用数形结合的方法解决不等式的恒成立问题.20、（1）非奇非偶，理由见解析；（2）21或20个.【解析】

（1）先利用辅助角公式化简，再利用和可判断为非奇非偶函数.（2）求出的解析式后结合函数的图像、周期及给定区间的特点可判断在给定的范围上的零点的个数.【详解】（1），则，故不是奇函数，又，，故不是偶函数.综上，为非奇非偶函数.（2），的图象如图所示：令，则，则或，，也就是或者，，所以在形如的区间上恰有两个不同零点.把区间分成10个小区间，它们分别为：，及，根据函数的图像可知：前9个区间的长度恰为一个周期且左闭右开，故每个区间恰有两个不同的零点，最后一个区间的长度恰为一个周期且为闭区间，故该区间上可能有两个不同的零点或3个不同的零点.故在区间上可有21个或者20个零点.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、正弦型函数在给定范围上的零点