中考复习练习之-胡不归问题 教师版

一、引言在中考数学的几何最值问题中，“胡不归”问题是一类具有代表性和一定难度的题型。它常常以动态几何的形式出现，考察学生对几何图形性质、转化思想以及数学建模能力的综合运用。许多学生在面对这类问题时，往往因找不到解题的突破口而感到困惑。本专题旨在帮助教师引导学生深入理解“胡不归”问题的本质，掌握其核心解题策略，并能熟练运用解决相关变式问题。二、问题的起源与模型构建“胡不归”问题源于一个古老的传说：从前有一个身在他乡的年轻人，得知父亲病危的消息后，心急如焚，想立刻赶回家中。他面前有两条路：一条是直线路程，但要经过一片沙地；另一条是绕道走一条大路。他应该选择哪条路才能最快到家呢？这个传说背后蕴含的数学模型可以抽象为：已知定点A、B，直线l（通常为动点所在的直线轨道），动点P在直线l上运动，求PA+k·PB（其中0<k<1）的最小值。模型特征：1.存在一个动点P和它的运动轨迹——直线l。2.存在两个定点A、B，其中一个定点（通常是B点）与动点P的连线PB带有系数k（0<k<1）。3.目标是求PA+k·PB的最小值。三、核心思想与解决策略“胡不归”问题的核心在于如何处理带有系数k的线段PB。直接求PA+k·PB的最小值比较困难，我们需要通过构造辅助线，将k·PB进行转化，使其成为一条不带系数的线段，从而将原问题转化为我们熟悉的“两点之间线段最短”或“垂线段最短”问题。解决策略——构造直角三角形，利用三角函数进行转化：由于0<k<1，我们可以联想到三角函数中的正弦值（因为锐角的正弦值在0到1之间）。具体步骤如下：1.确定角的正弦值等于k：在定点B处（或与PB相关的直线上）构造一个锐角θ，使得sinθ=k。2.构造直角三角形，实现线段转化：过动点P作一条与构造角θ相关的垂线，或者过定点B作一条射线，使得以PB为斜边（或直角边）构造的直角三角形中，某一条直角边的长度恰好等于k·PB。通常的做法是，过点B作一条与直线l夹角为θ的射线BM，再过点P作PH⊥BM于H，则PH=PB·sinθ=k·PB。3.转化目标表达式：此时，PA+k·PB=PA+PH。问题就转化为在直线l上找一点P，使得PA+PH的值最小。4.利用“垂线段最短”或“两点之间线段最短”求最小值：当A、P、H三点共线，且该直线垂直于射线BM时（即过点A作AH'⊥BM于H'，交直线l于点P'），PA+PH取得最小值，即为AH'的长度。关键步骤：如何巧妙地构造出那个特定角度θ的直角三角形，是解决“胡不归”问题的关键。教师应引导学生思考：系数k的几何意义是什么？如何将其与某个锐角的正弦值联系起来？四、典型例题分析与解答例题1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是边AC上的一个动点，点E是边BC上的一个动点，且AD=CE。连接DE，点P是DE的中点，连接BP。求线段BP的最小值。（*说明：此题为基础动点问题，为引入“胡不归”做铺垫，或可调整为更典型的“胡不归”形式。为更贴合主题，我们调整如下例题：*）例题1（调整后，更典型的胡不归问题）：如图，在平面直角坐标系中，点A(0,4)，点B(8,0)，直线l：y=x。点P是直线l上一个动点，连接PA、PB。求PA+(√2/2)PB的最小值。分析：1.识别模型：动点P在直线l：y=x上运动，A(0,4)，B(8,0)为定点。目标是PA+(√2/2)PB的最小值。这里k=√2/2，符合0<k<1。2.处理带系数线段：√2/2是一个特殊角的正弦值。因为sin45°=√2/2，所以考虑构造一个45°角来转化(√2/2)PB。3.构造辅助线：过点B作一条射线，使得它与PB的夹角为45°。考虑到直线l的斜率为1，其倾斜角为45°，或许可以构造与坐标轴相关的直角三角形。*法一（向x轴下方作角）：过点B作BM⊥x轴，垂足为B（即沿x轴负方向），但这样角度不对。我们需要的是过B点作一条直线，使得动点P到这条直线的距离等于(√2/2)PB。*正确做法：过点B作一条直线BN，使得∠PBN=45°，再过点P作PH⊥BN于H。则PH=PB·sin45°=(√2/2)PB。*那么直线BN的位置如何确定？因为我们希望PH是P到BN的距离，所以BN的方向需要确定。为了方便计算，我们可以利用直线l的特殊性。直线l：y=x，其与x轴夹角为45°。点B(8,0)。*考虑到sin45°，我们可以过点B作x轴的垂线（即竖直方向），或者与直线l成45°角的线。或者，更直接的，构造一个以PB为斜边的等腰直角三角形。*另一种思路：将(√2/2)PB看作是PB在某一方向上的投影。*简便构造：由于k=sinθ=√2/2，θ=45°。我们可以过点B作与直线BP夹角为45°的直线，但不确定方向。换个角度，过点P作与某条固定直线夹角为45°的直线，使得对边为(√2/2)PB。*更优策略：考虑到直线l是y=x，我们可以尝试过点B作直线l的垂线，或者构造一个与直线l相关的45°角。*标准解法演示：我们希望将(√2/2)PB转化为PH。设PH=(√2/2)PB，且PH⊥某直线m。则sinθ=PH/PB=√2/2，θ=45°，即直线m与PB的夹角为45°。为了确定直线m，我们可以选择一个固定方向。例如，过点B向左上方或左下方作一条与x轴正方向成135°或-45°（即315°）角的直线。不妨取直线m的倾斜角为-45°（即从x轴正方向顺时针旋转45°），其方程为y=-x+b。因为过点B(8,0)，代入得0=-8+b→b=8。所以直线m：y=-x+8。现在，对于直线l上任意一点P，过P作PH⊥直线m于H。则PH=|(-x)-y+8|/√(1+1)=|-(x+y)+8|/√2。因为点P在y=x上，所以x=y，代入得PH=|-2x+8|/√2=√2|-x+4|。同时，PB=√[(x-8)^2+(x-0)^2]=√(2x²-16x+64)。此时，我们发现PH与(√2/2)PB的关系并不直接等于。看来这种随意设定直线m的方法可能不是最优。*回归本质：既然是求PA+k·PB的最小值，A是(0,4)，P在y=x上。设P(t,t)。则PA=√[(t-0)^2+(t-4)^2]=√(2t²-8t+16)PB=√[(t-8)^2+(t-0)^2]=√(2t²-16t+64)PA+(√2/2)PB=√(2t²-8t+16)+(√2/2)√(2t²-16t+64)化简第二项：(√2/2)*√[2(t²-8t+32)]=(√2/2)*√2*√(t²-8t+32)=√(t²-8t+32)所以原式=√(2t²-8t+16)+√(t²-8t+32)令u=t²-8t+32，则2t²-8t+16=2(t²-4t+8)=2[(t²-8t+32)+4t-24]=2u+8t-48。这样似乎更复杂。看来代数法不是好选择，还是回到几何构造。*正确构造演示：要转化(√2/2)PB，且sin45°=√2/2。我们可以过定点B作一个角，使得这个角的一边是BP，另一边是某条射线，然后过P作这条射线的垂线。过点B作射线BK，使得∠PBK=45°，过P作PH⊥BK于H，则PH=PB·sin45°=(√2/2)PB。现在的问题是，BK的方向如何确定才能使问题简化？我们希望PA+PH最小，即点A到点H的路径，其中H是P在BK上的射影，而P在直线l上运动。为了应用“垂线段最短”或“两点之间线段最短”，我们可以尝试将A点或H点进行某种变换。或者，当A、P、H三点共线时，PA+PH=AH。要使AH最小，且H是P在BK上的射影，P在l上。这似乎有点绕。换个角度，我们可以固定BK的方向。比如，让BK沿y轴负方向。则∠PBK=45°意味着BP与y轴负方向夹角为45°，即BP的倾斜角为-45°或135°。这可能不太方便。更直接的方法：考虑到k=1/√2，我们可以将问题中的系数“融入”到线段长度中，即构造一个新的线段，其长度为k·PB。最常用的方法是利用三角函数的定义。在Rt△PHB中，∠PHB=90°，∠PBH=θ，sinθ=PH/PB，则PH=PB·sinθ。若令sinθ=k，则PH=k·PB。因此，我们需要构造一个以B为顶点，一条边为BP，另一条边为射线BM（方向固定），且∠PBM=θ（其中sinθ=k）的角，然后过P作BM的垂线PH。对于本题，θ=45°，所以我们需要构造一个45°的∠PBM。为了使射线BM的方向固定且便于计算，我们可以选择BM为与x轴或y轴平行的方向。假设我们过点B(8,0)作BM⊥x轴向下（即y轴负方向），则∠PBM是BP与y轴负方向的夹角。要使∠PBM=45°，则P点在直线BP的倾斜角为180°-45°=135°或0°+45°=45°。但P是直线l上的动点，这样BM的方向可能不是最优。经典构造方式（针对直线l为一般直线时）：1.确定系数k=sinθ，找到θ角。2.过系数所对的定点B，在直线l的一侧（通常是使构造出的点与A点分居l两侧或同侧，视情况而定）作一个角θ，使得角的一边在直线l上或与直线l有关。3.过动点P作该角另一边的垂线，垂足为H。4.则PA+k·PB=PA+PH，当A、P、H三点共线且AH垂直于射线BH时，取得最小值AH。针对本题，一个更简洁的构造：因为直线l:y=x的倾斜角是45°，我们可以过点B作直线l的垂线吗？或者，我们可以利用直线l本身的45°角。考虑将(√2/2)PB转化为P到x轴（或y轴）的距离。设P(t,t)，则P到x轴距离为t，到y轴距离为t。PB=√[(t-8)^2+t^2]。(√2/2)PB=√2/2*√(2t²-16t+64)=√(t²-8t+32)。P到x轴距离为t，PA=√(t²+(t-4)^2)=√(2t²-8t+16)。似乎无法直接关联。换个思路，例题1或许不是最典型的“胡不归”，我们调整例题为更标准的形式。例题1（标准胡不归模型）：如图，在平面直角坐标系中，点A(0,2)，点B(4,0)，直线l：x轴（即y=0）。点P是直线l上一个动点（x轴上的点）。求PA+(1/2)PB的最小值。分析与解答：1.模型识别：动点P在直线l（x轴）上运动，A(0,2)，B(4,0)为定点。目标：PA+(1/2)PB的最小值，k=1/2(0<k<1)。2.核心转化：处理(1/2)PB。因为k=1/2，考虑构造一个角θ，使得sinθ=1/2，所以θ=30°。3.构造辅助线：过系数所对的定点B(4,0)构造一个30°角。为了将(1/2)PB转化为一条垂线段，我们过点B作一条射线BM，使得∠PBM=30°，然后过点P作PH⊥BM于H。则在Rt△PHB中，PH=PB·sin30°=(1/2)PB。*射线BM方向的选择：为了使当P在x轴上运动时，H点的轨迹合理，并且最终能使A、P、H三点共线时取到最小值，我们通常选择射线BM的方向使得其与动点P的运动直线（x轴）形成30°角。这里，我们可以过点B(4,0)向上作与x轴正方向夹角为60°的射线（因为∠PBM=30°，则BM与x轴夹角为90°-30°=60°？或者直接作与x轴夹角为30°的射线。*具体操作：过点B(4,0)作射线BM，使得∠MBx=30°（即射线BM在x轴上方，与x轴正方向夹角为30°）。4.问题转化：此时，PA+(1/2)PB=PA+PH。要求此式最小值，即求点A到射线BM上某点H的距离，其中H是P在BM上的射影，而P在x轴上。5.求最小值：