2025绵阳市东城初升高自主招生考试数学考试卷及答案

2025绵阳市东城初升高自主招生考试数学考试卷及答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.已知集合A={x|0＜x＜5}，B={x|x≤1或x≥3}，则A∩B=（）

A.{x|1≤x＜5}

B.{x|0＜x＜3}

C.{x|1≤x＜3}

D.{x|0＜x≤5}

答案：A

解析：集合A中的元素为0到5之间的实数，集合B中的元素为小于等于1或大于等于3的实数。两集合的交集为同时满足集合A和B的元素，即1≤x＜5。

2.函数f(x)=2x3的图像与直线y=5x+6相交于点A，若点A的横坐标为a，则a的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：将f(x)=2x3代入y=5x+6，得到2x3=5x+6，解得x=3，即a=3。

3.下列函数中，奇函数是（）

A.f(x)=x²

B.f(x)=x³

C.f(x)=|x|

D.f(x)=2x

答案：B

解析：奇函数的定义是f(x)=f(x)，代入选项可得，只有f(x)=x³满足条件。

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=35，S10=110，则该数列的公差为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：A

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，可得S5=5/2(2a1+4d)=35，S10=10/2(2a1+9d)=110。解方程组得d=2。

5.若函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，且f(1)=3，则f(3)的值为（）

A.3

B.3

C.5

D.7

答案：A

解析：由对称性，f(3)=f(1+2)=f(1)。因为f(1)=3，所以f(1)=3。

6.已知函数f(x)=x²2x+1在区间（∞，a）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a＜1

B.a≤1

C.a≥1

D.a＞1

答案：B

解析：函数f(x)=x²2x+1的导数为f'(x)=2x2。当f'(x)＜0时，函数单调递减。解不等式2x2＜0，得x＜1，所以a≤1。

7.若复数z的实部为3，虚部为4，则z的模为（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：A

解析：复数z的模定义为|z|=√(实部²+虚部²)。代入z的实部和虚部得|z|=√(3²+4²)=5。

8.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的和为180°，且A:B:C=3:4:5，则角A的度数为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

答案：D

解析：设角A、B、C的度数分别为3x、4x、5x，根据题意有3x+4x+5x=180°，解得x=15°。所以角A的度数为3x=45°。

9.若直线y=kx+1与圆x²+y²=1相切，则k的取值范围是（）

A.k≤1

B.k≥1

C.1≤k≤1

D.k≤1或k≥1

答案：C

解析：圆的半径为1，圆心在原点。直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径，即|k0+10+1|/√(k²+1²)=1。解得1≤k≤1。

10.已知函数f(x)=x²4x+c在x=2时取得最小值，则c的值为（）

A.4

B.3

C.0

D.4

答案：D

解析：函数f(x)=x²4x+c的顶点为(x=2,y=c4)。因为f(x)在x=2时取得最小值，所以顶点的y坐标为0，即c4=0，解得c=4。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.已知函数f(x)=2x²3x+1，求f(2)的值。

答案：5

解析：将x=2代入函数f(x)=2x²3x+1，得f(2)=22²32+1=86+1=5。

12.已知等差数列{an}的通项公式为an=3n2，求该数列的第10项。

答案：28

解析：将n=10代入通项公式an=3n2，得a10=3102=302=28。

13.若函数y=f(x)的定义域为[0,+∞)，且f(x+1)=f(x)，则函数f(x)的最小正周期为______。

答案：1

解析：由于f(x+1)=f(x)，所以函数f(x)的周期为1。

14.已知函数f(x)=|x1|，求不等式f(x)＜2的解集。

答案：(1,3)

解析：解不等式|x1|＜2，得2＜x1＜2，解得1＜x＜3。

15.若直线y=2x+b与圆x²+y²=4相切，求b的取值范围。

答案：2＜b＜2

解析：圆的半径为2，圆心在原点。直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径，即|20+b0+b|/√(2²+1²)=2。解得2＜b＜2。

16.已知函数f(x)=x²+bx+c，若f(x)在x=1时取得最小值，求b的值。

答案：2

解析：函数f(x)=x²+bx+c的顶点为(x=b/2,y=cb²/4)。因为f(x)在x=1时取得最小值，所以顶点的x坐标为1，即b/2=1，解得b=2。

17.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的和为180°，且a:b:c=3:4:5，求角A的度数。

答案：36°

解析：设角A、B、C的度数分别为3x、4x、5x，根据题意有3x+4x+5x=180°，解得x=12°。所以角A的度数为3x=36°。

18.若函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，且f(0)=2，求f(2)的值。

答案：2

解析：由对称性，f(2)=f(1+1)=f(0)。因为f(0)=2，所以f(2)=2。

19.已知函数f(x)=x²4x+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，求c的值。

答案：4

解析：函数f(x)=x²4x+c的顶点为(x=2,y=c4)。因为顶点在x轴上，所以y坐标为0，即c4=0，解得c=4。

20.已知函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得最小值，且f(0)=1，求a、b、c的值。

答案：a=1,b=2,c=0

解析：函数f(x)=ax²+bx+c的顶点为(x=b/2a,y=cb²/4a)。因为f(x)在x=1时取得最小值，所以顶点的x坐标为1，即b/2a=1，解得b=2a。又因为f(0)=1，所以c=1。代入顶点坐标公式，得cb²/4a=0，解得a=1。所以a=1,b=2,c=0。

三、解答题（共20分）

21.（10分）已知函数f(x)=x²2x+1，求函数f(x)的单调递增区间。

解：函数f(x)=x²2x+1的导数为f'(x)=2x2。当f'(x)＞0时，函数单调递增。解不等式2x2＞0，得x＞1。所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)。

22.（10分）已知三角形ABC的三个内角A、B、C的和为180°，且a:b:c=3:4:5，求三角形ABC的面积。

解：设三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为3x、4x、5x。根据题意有3x+4x+5x=180°，解得x=12°。所以角A、B、C的度数分别为36°、48°、72°。

由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC。设三角形ABC的外接圆半径为R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。代入a:b:c=3:4:5，得2RsinA:2RsinB:2RsinC=3:4:5。

由三角形面积公式S=1/2absinC，代入a、b、c的比值，得S=1/23k4ksin72°=6k²sin72°。其中k为比例系数。

由正弦定理得sinA/sinB=a/b=3/4，解得sinA=3/5，sinB=4/5。由余弦定理得cosC=(a²+b²c²)/(2ab)=cos(180°AB)=cos(A+B)=cos(36°+48°)。

由cos(36°+48°)=cos(36°)cos(48°)sin(36°)sin(48°)，代入sinA和sinB的值，得cosC=(3/54/54/53/5)=(12/2512/25)=0。

所