2026届福建省宁德市高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省宁德市2026届高三上学期11月期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，故.故选：C.2.已知，则复数的虚部为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】，所以，则复数的虚部为.故选：B.3.已知正实数，满足，则的最小值为（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】因为正实数，满足，所以，即，所以，当且仅当，即，又因为，所以时等号成立，所以的最小值为.故选：B.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数，令，解得且，所以的定义域为，又，所以为奇函数，则函数图像关于原点对称，故排除B、D；当时，，，，所以，故排除C.故选：A.5.某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且则这座塔的高度为（）A.15米 B.米 C.30米 D.米【答案】C【解析】设这座塔的高度为米，因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，在中，，米；在中，，米，在中，，米，由余弦定理得：，即，整理得，即，解得或（舍）所以，这座塔的高度为米.故选：C.6.已知定义在上的函数若方程恰有两个解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为方程恰有两个解，又因为，则为方程的一个解，当时，由，则有一个解，所以与有一个交点，当时，，设，，则，即在上单调递减，所以，所以，则在上单调递减，当，且时，，做出函数的图象，如下：结合图象可得，要使与有一个交点，则或．故选：D．7.如图，正方体的棱长为2，则两个三棱锥，的公共部分的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接它们的交线后如下图所示，是中点，所以，即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，所以表面积为．故选：D．8.已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因为为偶函数，所以①，因为，所以，，结合①有②，因为为奇函数，所以，所以，结合②有，所以，所以，所以的周期为8.因为关于点对称，所以，同理，由，得，所以，，因为，所以，即，因为，所以，所以，，所以，，所以的周期为8，所以，所以.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（）A.若，则B.若，则为等腰三角形C.若，则为锐角三角形D.若满足条件，的有两个，则的取值范围为【答案】BCD【解析】对于A，若为直角三角形，，则，故A错误；对于B，由和正弦定理得，，即，因，则，即，故B正确；对于C，因的内角只能为锐角、直角或钝角，由可知，在符号上只能是三正或者两负一正，而三角形中最多只有一个钝角，故三者只能是三正，即都是锐角，故C正确；对于D，由满足条件，的有两个，可知，即，故D正确.故选：BCD.10.若函数既有极大值也有极小值，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】的定义域为，，要想既有极大值也有极小值，则需在定义域内至少有两个不先相等的实根，故在上有两个不等实根，故，故，，，ABC正确，根据和可知，异号，即，D错误.故选：ABC.11.在中，，，是边的中点，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥如图所示.下列结论正确的是（）A.不可能为等腰三角形B.存在点，，使得C.存在点，，使得平面D.当四棱锥的体积最大时，【答案】BD【解析】对于A，因，，，易得为等腰直角三角形，则，且，当时，易得，则有，此时是等腰三角形，故A错误；对于B，因为，且，平面，则平面，因平面，则平面平面，且平面平面，如图，过点作，于点，连接，则平面，因平面，故，若由，平面，可得平面，又平面，则，如图，延长交于点，则和都是等腰直角三角形，则，点到直线的距离等于，这样在翻折过程中，若要满足题意，需使，设，则，即得，则存在点，使得，故B正确；对于C，如图，将沿折起过程中，始终保持，易得平面，则平面，故可以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系.设，设，则，因，则，，假设存在点，，使得平面，则，解得，又由，因，则得，显然不存在，即不存在点，，使得平面，故C错误；对于D，当底面的面积一定时，若平面平面时，即平面时，四棱锥的体积最大，设，则，，则，由，解得（舍去）或，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，此时，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的图像关于点对称，则的值是________.【答案】【解析】因为函数的图像关于点对称所以，解得，因为，所以故答案为：.13.若直线是曲线的切线，则________.【答案】【解析】设切点为，因，则斜率为，则切线方程为，即，又切线方程为，则，，得，.故答案为：.14.设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为________.【答案】（或）【解析】法1：不等式，所以，因，则，即，令，则存在正实数使得成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，则，即，令，则，可得时，；时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，可得即有，所以，可得，即的最大值为；法2：（同构）不等式，所以，所以，设，则，则，可得在上递增，所以在能成立，所以在能成立，因为，导数为，可得时，；时，，则在上单调递增，在上单调递减，则时，取得最大值，所以，即的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长.解：（1）由正弦定理得，得，，，，，又，.（2）由题知是的角平分线，则，，.，，即，，由余弦定理和，得，即.的周长.16.如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点.（1）求证：平面.（2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，求三棱锥的体积.（1）证明：因为，分别是，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：如图，连接.因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，所以点是外接圆的圆心.因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上.又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心.因为球的表面积，所以球的半径，所以，，，所以，三棱锥的体积为.17.已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.解：（1）由，得，①若，则，由，得或，由，得，则此时在，上单调递增，在上单调递减；②若，，则此时在上单调递增；③若，则，由，得或，由，得，则此时，在，上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2），因在有两个零点，则在上有2个零点.令，，显然1不是其零点，所以.令，则原题等价于函数与直线在上有2个交点.令，，则，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增.从而，当，，当，.则时，满足题意.18.如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，，，，，线段上存在点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为.（1）求证：平面.（2）求.（3）若为的中点，点在平面内，且满足平面，求线段长度的最小值.（1）证明：因为，分别为，的中点，且，所以，且.因为，，，满足，所以.因为，，平面，所以平面.（2）解：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，，，，，，设平面的法向量为，得，令，得，所以.设，，则，所以.设直线与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以.（3）解：设，，，，，，因为点在平面内，所以存在，使得，解得，，所以，.设平面的法向量为，，，得，令，得，，所以.因为平面，所以，即，解得，所以.，当时，取最小值，所以线段最小值为.19.我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得函数的值域也为，则称区间为的自映射区间.（1）已知函数且，求的所有区间的长度的自映射区间.（2）设存在自映射区间.①求的取值范围；②求证：，且的长度.（1）解：因为恒成立，则在上单调递增，若存在自映射区间，则，，即方程，即至少有两个不同实数解.由，，解得，，，，，，所以的所有区间的长度的自映射区间为，，，，.（2）①解：因为，在上单调递增，若存在自映射区间，则，，即至少有两个零点，因为，时，，单调递增；时，，单调递减；若要存在两个零点，则，即.此时，，使得.因为当时，，即函数单调递减，所以，又，所以，则，使得.所以的取值范围为.②证明：因为，，所以，下证：.记，则，则在上单调递增，则，即，即，所以.所以，所以.记，则，时，，单调递减；时，，单调递增；所以，即，则，即，同理.因为函数的，且对称轴为，则方程存在两根，且，又，且，，所以，则，所以区间的长度.福建省宁德市2026届高三上学期11月期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，故.故选：C.2.已知，则复数的虚部为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】，所以，则复数的虚部为.故选：B.3.已知正实数，满足，则的最小值为（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】因为正实数，满足，所以，即，所以，当且仅当，即，又因为，所以时等号成立，所以的最小值为.故选：B.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数，令，解得且，所以的定义域为，又，所以为奇函数，则函数图像关于原点对称，故排除B、D；当时，，，，所以，故排除C.故选：A.5.某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且则这座塔的高度为（）A.15米 B.米 C.30米 D.米【答案】C【解析】设这座塔的高度为米，因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，在中，，米；在中，，米，在中，，米，由余弦定理得：，即，整理得，即，解得或（舍）所以，这座塔的高度为米.故选：C.6.已知定义在上的函数若方程恰有两个解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为方程恰有两个解，又因为，则为方程的一个解，当时，由，则有一个解，所以与有一个交点，当时，，设，，则，即在上单调递减，所以，所以，则在上单调递减，当，且时，，做出函数的图象，如下：结合图象可得，要使与有一个交点，则或．故选：D．7.如图，正方体的棱长为2，则两个三棱锥，的公共部分的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接它们的交线后如下图所示，是中点，所以，即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，所以表面积为．故选：D．8.已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因为为偶函数，所以①，因为，所以，，结合①有②，因为为奇函数，所以，所以，结合②有，所以，所以，所以的周期为8.因为关于点对称，所以，同理，由，得，所以，，因为，所以，即，因为，所以，所以，，所以，，所以的周期为8，所以，所以.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（）A.若，则B.若，则为等腰三角形C.若，则为锐角三角形D.若满足条件，的有两个，则的取值范围为【答案】BCD【解析】对于A，若为直角三角形，，则，故A错误；对于B，由和正弦定理得，，即，因，则，即，故B正确；对于C，因的内角只能为锐角、直角或钝角，由可知，在符号上只能是三正或者两负一正，而三角形中最多只有一个钝角，故三者只能是三正，即都是锐角，故C正确；对于D，由满足条件，的有两个，可知，即，故D正确.故选：BCD.10.若函数既有极大值也有极小值，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】的定义域为，，要想既有极大值也有极小值，则需在定义域内至少有两个不先相等的实根，故在上有两个不等实根，故，故，，，ABC正确，根据和可知，异号，即，D错误.故选：ABC.11.在中，，，是边的中点，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥如图所示.下列结论正确的是（）A.不可能为等腰三角形B.存在点，，使得C.存在点，，使得平面D.当四棱锥的体积最大时，【答案】BD【解析】对于A，因，，，易得为等腰直角三角形，则，且，当时，易得，则有，此时是等腰三角形，故A错误；对于B，因为，且，平面，则平面，因平面，则平面平面，且平面平面，如图，过点作，于点，连接，则平面，因平面，故，若由，平面，可得平面，又平面，则，如图，延长交于点，则和都是等腰直角三角形，则，点到直线的距离等于，这样在翻折过程中，若要满足题意，需使，设，则，即得，则存在点，使得，故B正确；对于C，如图，将沿折起过程中，始终保持，易得平面，则平面，故可以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系.设，设，则，因，则，，假设存在点，，使得平面，则，解得，又由，因，则得，显然不存在，即不存在点，，使得平面，故C错误；对于D，当底面的面积一定时，若平面平面时，即平面时，四棱锥的体积最大，设，则，，则，由，解得（舍去）或，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，此时，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的图像关于点对称，则的值是________.【答案】【解析】因为函数的图像关于点对称所以，解得，因为，所以故答案为：.13.若直线是曲线的切线，则________.【答案】【解析】设切点为，因，则斜率为，则切线方程为，即，又切线方程为，则，，得，.故答案为：.14.设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为________.【答案】（或）【解析】法1：不等式，所以，因，则，即，令，则存在正实数使得成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，则，即，令，则，可得时，；时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，可得即有，所以，可得，即的最大值为；法2：（同构）不等式，所以，所以，设，则，则，可得在上递增，所以在能成立，所以在能成立，因为，导数为，可得时，；时，，则在上单调递增，在上单调递减，则时，取得最大值，所以，即的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长.解：（1）由正弦定理得，得，，，，，又，.（2）由题知是的角平分线，则，，.，，即，，由余弦定理和，得，即.的周长.16.如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点.（1）求证：平面.（2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，求三棱锥的体积.（1）证明：因为，分别是，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：如图，连接.因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，所以点是外接圆的圆心.因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上.又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心.因为球的表面积，所以球的半径，所以，，，所以，三棱锥的体积为.17.已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.解：（1）由，得，①若，则，由，得或，由，得，则此时在，上单调递增，在上单调递减；②若，，则此时在上单调递增；③若，则，由，得或，由，得，则此时，在，上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2），因在有两个零点，则在上有2个零点.令，，显然1不是其零点，所以.令，则原题等价于函数与直线在上有2个交点.令，，则，由，得，由，得，则在上