2026届广东省部分学校高三上学期联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省部分学校2026届高三上学期联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意得，，则．故选：B.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】．故选：C.3.已知向量，若，则（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】由题意得，因为，所以，即，解得．故选：C.4.已知定义在上的奇函数满足，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以．因为，所以．故选：A.5.若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，圆心为．由题意可得，直线一定过圆心．故选：A.6.的内角的对边分别为若边上的高为则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：设边上的高为．因为，所以，所以．由勾股定理可得，由余弦定理可得．故选：D.7.已知函数的部分图象大致如图所示，则（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】因为的图象过点，所以，由图可知，点在减区间内，所以．因为的图象过点，所以，由图可知，点在减区间内，所以，即．因为，所以，所以，所以，所以.故选：D.8.在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，设，连接，设．易得，且，所以四边形为平行四边形，则，所以或其补角为异面直线与所成的角．设正方体的棱长为1，则．因为，且，所以，所以，所以，则．故异面直线与的夹角为．故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，垂足为，则（）A.准线的方程为B.点到的距离为2C.是等边三角形D.直线的斜率为1【答案】BC【解析】由题意，准线的方程为，点到的距离为2，故错误，B正确．因为，所以点的横坐标为3，由，得，即，记与轴交于点，则，所以，所以，所以是等边三角形，故C正确．由C选项得：，所以，直线的斜率为，故D错误．故选：BC.10.已知函数，则（）A.的定义域为B.的值域为C.是奇函数D.若，则【答案】ACD【解析】由于，分母恒不为零，因此可取任意实数，所以的定义域为，A正确．因为，所以是奇函数，C正确．当时，，此时，故，所以．因为是奇函数，所以，即的值域为错误．因为当时，，单调递减，故单调递增，因为是奇函数，所以为增函数，当时，，D正确．故选：ACD.11.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记没有出现连续2次正面的概率为，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由题意得，当时，出现连续2次正面的情况为正正正､正正反､反正正，所以，故A正确．对于B，当时，出现连续2次正面的情况为正正正正､反正正正､正反正正､正正反正､正正正反､正正反反､反正正反､反反正正，所以，故B错误，对于C，若第次反面向上，则只要前次没有出现连续2次正面，则抛掷次都不会出现连续2次正面；若第次正面向上，第次反面向上，则只要前次没有出现连续2次正面，则抛掷次都不会出现连续2次正面；若第次正面向上，第次正面向上，已经出现连续2次正面，则抛掷次都不会出现连续2次正面的概率为0．故，故C正确，对于D，由已知得，所以，，即，又因为，所以，故D正确．故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数若，则__________．【答案】1【解析】当时，；当时，由，解得．故．故答案为：1.13.已知，则__________．【答案】1【解析】，故，解得．故答案为：1.14.已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为__________．【答案】2【解析】如图，记内切圆的半径为，因为，所以，即，得到，得到，即，故双曲线的离心率为2．故答案为：2.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示．（1）求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）（2）用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率．附：取，，，．解：（1）．（2）由题意知，样本方差，故，所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．，所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545．16.记为数列的前项和．已知．（1）求的通项公式；（2）记为在区间上的项的个数，求数列的前项和．解：（1）当时，由，得，则，又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列，.（2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则，因此，所以数列的前项和.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的取值范围．解：（1）当时，．．曲线在点处的切线方程为，即．（2）因为，所以当时，．令函数，则．令函数，则所以在上单调递增．因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，．所以，即的取值范围为．18.如图，三棱柱的所有棱长均为，，二面角的余弦值为．（1）证明：．（2）求三棱柱的体积．（3）求二面角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接，，，，作，垂足为，连接并延长，交于点，由题意可得，均为等边三角形，所以，，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，所以二面角即，所以，因为三棱柱的所有棱长均为6，所以，，，，，，所以，，即，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以．（2）解：四边形的面积，三棱柱的体积.（3）解：由（1）可得，，过点作轴，平行于，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设为平面的法向量，则所以可取，连接，取的中点，连接，则，，由（1）得平面，因为平面，平面，所以，，，所以，因为，所以，因为平面，所以平面，平面的一个法向量为，，所以二面角的正弦值为．19.已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点.当时，，.（1）求椭圆E的方程.（2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）.①若，求；②证明：.（1）解：由题意可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）①解：根据对称性，不妨设点在第一象限，且.，.因为，所以，，所以，解得（舍去），所以.②证明：根据对称性，不妨设点在第一象限，且，直线.由，得.由题意可得，展开后整理得，.直线的斜率，，所以，所以.广东省部分学校2026届高三上学期联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意得，，则．故选：B.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】．故选：C.3.已知向量，若，则（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】由题意得，因为，所以，即，解得．故选：C.4.已知定义在上的奇函数满足，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以．因为，所以．故选：A.5.若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，圆心为．由题意可得，直线一定过圆心．故选：A.6.的内角的对边分别为若边上的高为则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：设边上的高为．因为，所以，所以．由勾股定理可得，由余弦定理可得．故选：D.7.已知函数的部分图象大致如图所示，则（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】因为的图象过点，所以，由图可知，点在减区间内，所以．因为的图象过点，所以，由图可知，点在减区间内，所以，即．因为，所以，所以，所以，所以.故选：D.8.在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，设，连接，设．易得，且，所以四边形为平行四边形，则，所以或其补角为异面直线与所成的角．设正方体的棱长为1，则．因为，且，所以，所以，所以，则．故异面直线与的夹角为．故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，垂足为，则（）A.准线的方程为B.点到的距离为2C.是等边三角形D.直线的斜率为1【答案】BC【解析】由题意，准线的方程为，点到的距离为2，故错误，B正确．因为，所以点的横坐标为3，由，得，即，记与轴交于点，则，所以，所以，所以是等边三角形，故C正确．由C选项得：，所以，直线的斜率为，故D错误．故选：BC.10.已知函数，则（）A.的定义域为B.的值域为C.是奇函数D.若，则【答案】ACD【解析】由于，分母恒不为零，因此可取任意实数，所以的定义域为，A正确．因为，所以是奇函数，C正确．当时，，此时，故，所以．因为是奇函数，所以，即的值域为错误．因为当时，，单调递减，故单调递增，因为是奇函数，所以为增函数，当时，，D正确．故选：ACD.11.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记没有出现连续2次正面的概率为，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由题意得，当时，出现连续2次正面的情况为正正正､正正反､反正正，所以，故A正确．对于B，当时，出现连续2次正面的情况为正正正正､反正正正､正反正正､正正反正､正正正反､正正反反､反正正反､反反正正，所以，故B错误，对于C，若第次反面向上，则只要前次没有出现连续2次正面，则抛掷次都不会出现连续2次正面；若第次正面向上，第次反面向上，则只要前次没有出现连续2次正面，则抛掷次都不会出现连续2次正面；若第次正面向上，第次正面向上，已经出现连续2次正面，则抛掷次都不会出现连续2次正面的概率为0．故，故C正确，对于D，由已知得，所以，，即，又因为，所以，故D正确．故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数若，则__________．【答案】1【解析】当时，；当时，由，解得．故．故答案为：1.13.已知，则__________．【答案】1【解析】，故，解得．故答案为：1.14.已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为__________．【答案】2【解析】如图，记内切圆的半径为，因为，所以，即，得到，得到，即，故双曲线的离心率为2．故答案为：2.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示．（1）求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）（2）用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率．附：取，，，．解：（1）．（2）由题意知，样本方差，故，所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．，所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545．16.记为数列的前项和．已知．（1）求的通项公式；（2）记为在区间上的项的个数，求数列的前项和．解：（1）当时，由，得，则，又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列，.（2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则，因此，所以数列的前项和.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的取值范围．解：（1）当时，．．曲线在点处的切线方程为，即．（2）因为，所以当时，．令函数，则．令函数，则所以在上单调递增．因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，．所以，即的取值范围为．18.如图，三棱柱的所有棱长均为，，二面角的余弦值为．（1）证明：．（2）求三棱柱的体积．（3）求二面角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接，，，，作，垂足为，连接并延长，交于点，由题意可得，均为等边三角形，所以，，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，所以二面角即，所以，因为三棱柱的所有棱长均为6，所以，，，，，，所以，，即，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以．（2）解：四边形的面积，三棱柱的体积.（3）解：由（1）可得，，过点作轴，平行于，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设为平