2026届湖北省鄂东南教育联盟高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省鄂东南教育联盟2026届高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，则.故选：C.2.已知复数（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.3.已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（）A.0 B.1 C.0或 D.0或1【答案】D【解析】由题意或1.故选：D.4.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，，∴，∴.故选：A.5.已知，则是的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】令，此时满足，但不满足，说明是的不充分条件；若，假设，则：，这与矛盾，故假设不成立，成立，说明，所以是的必要条件，是的必要不充分条件.故选：B.6.在等比数列中，是方程的两个根，则（）A. B.6 C.36 D.【答案】D【解析】∵是方程的两个根，∴，由，∴由.故选：D.7.函数零点的个数为（）A.4 B.5 C.3 D.2【答案】A【解析】或，或或，，或或或；设，则，，，，所以函数在单调递增，在单调递减，可得，当且仅当取等号，，与不符，方程无实数解.故函数只有4个零点.故选：A.8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，当时，，故函数在单调递增.解法一：构造函数，，故函数在单调递减，则.解法二：对数糖水不等式：.先证明糖水不等式：，理由：，故.解法三：，，所以.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（）A.在上单调递增B.的对称中心是C.点的纵坐标为D.的解集为【答案】ACD【解析】最小正周期，故选项C正确；由，令，当时，单调递增且，此时单调递增，所以在上单调递增，故选项A正确；，所以函数的对称中心为，故选项B错误；，故选项D正确.故选：ACD.10.已知函数，，则（）A.当时，在上单调递增B.当时，有两个极值C.若有三个不同零点，则D.过点且与曲线相切的直线恰有3条，则【答案】ACD【解析】解法一：当时，恒成立，则函数在上单调递增，故选项A正确；有2个极值，但时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误；设函数，故选项C正确；设切点，则切线方程为：，代入点得：，过点且与曲线相切的直线恰有3条与图象有3个不同的交点，，或，函数在单调递减，上单调递增，且，，故选项D正确.故选：ACD.解法二：当时，恒成立，则函数在上单调递增，故选项A正确；有2个极值，但时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误；一元三次方程，韦达定理：，故，选项C正确；三次函数切线问题：过三次函数对称中心作切线（有且仅有一条），则坐标平面被该条切线和三次函数图象分为4个区域：过①③区域内的点（不含边界）作切线有且仅有3条；过②④区域内的点（不含边界）作切线有且仅有1条；过切线或三次函数上的点（除去对称中心）作切线有且仅有2条；，所以函数的对称中心为，过该点的切线方程为：恒过，而函数恒过，故只有时，点落在①③区域内，符合题意，故D正确.故选：ACD.11.定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（）A.1 B.2 C.6 D.5【答案】BD【解析】，图象开口向下，对称轴为.当时，由或；由时，由，依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象（包含边界），如图所示：，当时，，符合题意，，，当，符合题意，而，故选项BD正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________.【答案】【解析】由题意，在方向上投影向量的坐标为.故答案为：.13.记等差数列的前项和为，若，则___________.【答案】9【解析】因为，所以，所以.故答案为：.14.已知，函数若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】由题意可得，所以，所以原方程即，且满足，当时，，此时符合题意；当时，或，若，此时符合题意；若，则或，综上所述：.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足条件的最大整数的值.解：（1）法一：累乘法依题意：，当时，；当时，符合，故.法二：构造法依题意：，则数列为常数数列，则.（2），故，由题意，，故满足条件的最大整数的值为8.16.已知向量，函数.（1）求函数的单调增区间及对称中心；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，若存在使成立，求实数的取值范围.解：（1）.由，故函数的单调增区间为由，故函数的对称中心为.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，然后再向下平移1个单位长度，得的图象，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数，即..所以.17.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时）（1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？（2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围.解：（1）时，，则小白鼠血液中药物的浓度，当时，，当即时，；当时，，当即时，，由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到.（2）.当时，可得，在时单调递减，则；当时，可得，，则当，即时，，又，.18.如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形.（1）若，，求线段的长度；（2）若，求线段的最大值；（3）若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围.解：（1）已知，为等边三角形，若，，则，又，则.即线段的长度.（2）法一：是线段中点，不妨设，则，当时，，即线段的最大值为.法二：以线段中点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，不妨设，则，，当时，，即线段的最大值为.（3）法一：已知，为的平分线，由角平分线定理知：，不妨设，，要构成，则.不妨设与内切圆半径分别为、，，，则，在上单调递增，所以，即与内切圆半径之比的取值范围为.法二：不妨设，不妨设与内切圆半径分别为，在中，由余弦定理得：，，令，则，在时单调递减，所以，即与内切圆半径之比的取值范围为.19.已知函数.（1）当时，证明：在上单调递减；（2）若有两个极值点，满足且，求的取值范围；（3）将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，求的取值范围.（1）证明：若，则，令，故在单调递增，在单调递减，所以，即在上恒成立，在上单调递减（2）解：，令，①若，则在上恒成立，所以在上单调递增，则在上最多一个极值点，不符合题意.②若，故在单调递增，在单调递减，且所以，且.依题意：且.，，，，恒成立，故在单调递增，.构造函数：，故在单调递增，在单调递减，所以.综合：.（3）解：方法一：在函数图象上任取一点，绕原点逆时针旋转角得到点，其中.若，则，要使旋转后，得到的曲线仍是函数图象，即对定义域内任意一个的值，都有唯一的与之对应，此时是单调函数，否则可能出现一个，会求出至少两个，导致至少两个与之对应，与函数定义不符合.所以，故函数只能单调递增，所以在上恒成立，则.令则，故在单调递增，单调递减，.函数旋转后得到得到的曲线仍是函数图象.方法二：函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，与函数至多有一个交点.若，则与至多有一个交点与至多有一个交点是单调函数，则，故函数只能单调递减，所以在上恒成立，则，令，故在单调递增，单调递减，.湖北省鄂东南教育联盟2026届高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，则.故选：C.2.已知复数（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.3.已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（）A.0 B.1 C.0或 D.0或1【答案】D【解析】由题意或1.故选：D.4.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，，∴，∴.故选：A.5.已知，则是的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】令，此时满足，但不满足，说明是的不充分条件；若，假设，则：，这与矛盾，故假设不成立，成立，说明，所以是的必要条件，是的必要不充分条件.故选：B.6.在等比数列中，是方程的两个根，则（）A. B.6 C.36 D.【答案】D【解析】∵是方程的两个根，∴，由，∴由.故选：D.7.函数零点的个数为（）A.4 B.5 C.3 D.2【答案】A【解析】或，或或，，或或或；设，则，，，，所以函数在单调递增，在单调递减，可得，当且仅当取等号，，与不符，方程无实数解.故函数只有4个零点.故选：A.8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，当时，，故函数在单调递增.解法一：构造函数，，故函数在单调递减，则.解法二：对数糖水不等式：.先证明糖水不等式：，理由：，故.解法三：，，所以.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（）A.在上单调递增B.的对称中心是C.点的纵坐标为D.的解集为【答案】ACD【解析】最小正周期，故选项C正确；由，令，当时，单调递增且，此时单调递增，所以在上单调递增，故选项A正确；，所以函数的对称中心为，故选项B错误；，故选项D正确.故选：ACD.10.已知函数，，则（）A.当时，在上单调递增B.当时，有两个极值C.若有三个不同零点，则D.过点且与曲线相切的直线恰有3条，则【答案】ACD【解析】解法一：当时，恒成立，则函数在上单调递增，故选项A正确；有2个极值，但时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误；设函数，故选项C正确；设切点，则切线方程为：，代入点得：，过点且与曲线相切的直线恰有3条与图象有3个不同的交点，，或，函数在单调递减，上单调递增，且，，故选项D正确.故选：ACD.解法二：当时，恒成立，则函数在上单调递增，故选项A正确；有2个极值，但时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误；一元三次方程，韦达定理：，故，选项C正确；三次函数切线问题：过三次函数对称中心作切线（有且仅有一条），则坐标平面被该条切线和三次函数图象分为4个区域：过①③区域内的点（不含边界）作切线有且仅有3条；过②④区域内的点（不含边界）作切线有且仅有1条；过切线或三次函数上的点（除去对称中心）作切线有且仅有2条；，所以函数的对称中心为，过该点的切线方程为：恒过，而函数恒过，故只有时，点落在①③区域内，符合题意，故D正确.故选：ACD.11.定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（）A.1 B.2 C.6 D.5【答案】BD【解析】，图象开口向下，对称轴为.当时，由或；由时，由，依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象（包含边界），如图所示：，当时，，符合题意，，，当，符合题意，而，故选项BD正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________.【答案】【解析】由题意，在方向上投影向量的坐标为.故答案为：.13.记等差数列的前项和为，若，则___________.【答案】9【解析】因为，所以，所以.故答案为：.14.已知，函数若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】由题意可得，所以，所以原方程即，且满足，当时，，此时符合题意；当时，或，若，此时符合题意；若，则或，综上所述：.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的首项，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足条件的最大整数的值.解：（1）法一：累乘法依题意：，当时，；当时，符合，故.法二：构造法依题意：，则数列为常数数列，则.（2），故，由题意，，故满足条件的最大整数的值为8.16.已知向量，函数.（1）求函数的单调增区间及对称中心；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，若存在使成立，求实数的取值范围.解：（1）.由，故函数的单调增区间为由，故函数的对称中心为.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，然后再向下平移1个单位长度，得的图象，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数，即..所以.17.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时）（1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？（2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围.解：（1）时，，则小白鼠血液中药物的浓度，当时，，当即时，；当时，，当即时，，由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到.（2）.当时，可得，在时单调递减，则；当时，可得，，则当，即时，，又，.18.如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形.（1）若，，求线段的长度；（2）若，求线段的最大值；（3）若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围.解：（1）已知，为等边三角形，若，，则，又，则.即线段的长度.（2）法一：是线段中点，不妨设，则，当时，，即线段的最大值为.法二：以线段中点为坐标原点，方向为轴