2026届江苏省南京市七校联合体高三上学期10月调研数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市七校联合体2026届高三上学期10月调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为纯虚数，则（）A.3 B. C. D.2.已知向量，且，则实数k为（）A.2 B.3C.－3 D.－23.已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为（）A. B. C. D.4.从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（）A. B. C. D.5.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.6.已知函数的最小正周期为T，若，则函数的最大值为（）A. B. C.2 D.7.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemoine线的方程为（）A. B.C. D.8.已知定义在R上的函数满足，对任意的且均有恒成立，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（）A. B.C. D.10.下列有关说法正确的是（）A.设随机变量服从正态分布，若，则B.甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种C.若，则D.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3；11.已知数列的前n项和为．对任意正整数M，记，其中，记，则（）A.数列的通项公式为B.C.若，则D.数列为等差数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象与直线相切，则实数________．13.已知双曲线的左、右焦点分别为．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点则C的离心率为______．14.如图，已知正方体顶点处有一质点S，点S每次会随机地一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置位于点A处，记点S移动n次后仍在底面上的概率为，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且（1）求角A；（2）M，N分别在线段BC，AC上，且MN垂直平分BC，，AB＝2，求线段CN长．

16.如图，四棱锥，平面，，．若点满足，平面交线段于点．（1）求证：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．17.已知正项数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等差数列；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式．

18.已知函数在处取得极值．（1）求实数a的值；（2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由；（3）若成立，求实数t的取值范围．

19.已知椭圆的左、右顶点分别为M、N，且椭圆C过点离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知椭圆C具有性质：椭圆C上任一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：过动点作椭圆C的两条切线，切点分别为A、B，A在x轴上方．（i）设直线AM与直线BN的斜率分别为，，求证：为定值；（ii）若，过点P作直线l交椭圆C于D，E两点，过D作PA的平行线交AB于点G，延长DG至点F，使得DG＝GF．求证：A，E，F三点共线．江苏省南京市七校联合体2026届高三上学期10月调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为纯虚数，则（）A.3 B. C. D.2.已知向量，且，则实数k为（）A.2 B.3C.－3 D.－23.已知一个底面半径为1的圆锥，其侧面积是底面积的4倍，则该圆锥体积为（）A. B. C. D.4.从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（）A. B. C. D.5.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.6.已知函数的最小正周期为T，若，则函数的最大值为（）A. B. C.2 D.7.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemoine线的方程为（）A. B.C. D.8.已知定义在R上的函数满足，对任意的且均有恒成立，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（）A. B.C. D.10.下列有关说法正确的是（）A.设随机变量服从正态分布，若，则B.甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种C.若，则D.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3；11.已知数列的前n项和为．对任意正整数M，记，其中，记，则（）A.数列的通项公式为B.C.若，则D.数列为等差数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象与直线相切，则实数________．13.已知双曲线的左、右焦点分别为．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点则C的离心率为______．14.如图，已知正方体顶点处有一质点S，点S每次会随机地一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置位于点A处，记点S移动n次后仍在底面上的概率为，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且（1）求角A；（2）M，N分别在线段BC，AC上，且MN垂直平分BC，，AB＝2，求线段CN长．

16.如图，四棱锥，平面，，．若点满足，平面交线段于点．（1）求证：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．17.已知正项数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等差数列；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式．

18.已知函数在处取得极值．（1）求实数a的值；（2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由；（3）若成立，求实数t的取值范围．

19.已知椭圆的左、右顶点分别为M、N，且椭圆C过点离心率为．（1）求