2025年湖北省新八校协作体高三2月联考数学（含答案）

2025年湖北省“新八校”协作体高三2月联考

高三数学试卷

命题学校：宜昌一中命题教师：曾凡兵王健裴伟审题学校：龙泉中学武汉三中

考试时间：2025年2月6日下午15：00-17：00试卷满分：150分

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.设集合A={x|-4<x3<9}，B={x∈N|-1<x<4}，则AB=

A．{x|-1<x<2}B．{-1,0,1,2}C．{0,1,2}D．{0,1}

2.已知复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数z2在复平面内所

对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3.函数f，则对任意实数x，下列结论正确的是

A．f(x)是偶函数，且在R上单调递增B．f(x)是奇函数，且在R上单调递增

C．f(x)是奇函数，且在R上单调递减D．f(x)是偶函数，且在R上单调递减

4.已知向量=(3,m)，，且|+|=|-|，则ΔABC的面积为

A．B．3·、C．4、D．

5.已知sinαsincos则sin2α-cos2β=

A．B．C．D．

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ABBC=2，PA=PB，

PC=PD则该四棱锥的体积为

A．1B．2

C．D．

湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第1页

7.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例

如，点为双曲线（，为焦点）上一点，点处的切线平分．已知双曲线：

PF1F2P上F1PF2C

O为坐标原点，点P处的切线为直线l，过左焦点F1作直线l的垂线，

垂足为M，若OM=2，则双曲线C的离心率为

A．2B．C．sD．2·、

8.已知函数f(x)的定义域为R，且对任意x∈R，满足f(x+1)-f(x-1)=x，且f(1)=f(2)=1，

则下列结论一定正确的是

A．f(100)<2500B．f(100)>2500C．f(101)<2500D．f(101)>2500

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数f(x)=sin2x，若将f(x)的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的

横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是

B．g(x)的图象关于点(,0)对称

C．g(x)的图像关于直线x对称

D．g(x)的图像与f(x)的图像在[0,2π]内有4个交点

10.函数y=ex叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函

数.已知函数fex，则下列结论正确的是

A．函数f上单调递减

B．函数f(x)既有极大值，也有极小值

C．方程f(f(x))=0有2个不同的实数解

2

D．在定义域内，恒有exf(2-x)+e2-xf(x)=4e

11.二元一次方程：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)可以表示平面内所有的直线，二元二次方程

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A2+B2+C2≠0)可以表示平面内所有的二次曲线.下列

对二元二次方程x2-2xy+y2-、x-、y=0所表示曲线的性质描述正确有

A．曲线关于直线y=x对称

B．曲线上点的纵坐标的范围是

C．存在m∈R，使y=x+m与曲线相切

D．过P的直线与曲线交于A,B两点，AB的最小值为2

湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第2页

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分

12.现有5名志愿者被派往A,B,C三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，

A小区安排1人，B小区安排2人，C小区安排2人.则不同的安排方案共有___________种(用

数字作答).

13.已知直线l:ax+by-a+b=0与曲线y=ex-1+lnx-2相切，则直线l的方程为：_____________.

14.在平面直角坐标系内，已知MA(2,1)，若ΔOMA的面积不超过，

则满足条件的整点（横纵坐标均为整数）M的个数为___________．

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

在矩形ABCD中，点E在线段CD上，且AB=5，CE=3，上AEB

(1)求BC；

(2)若动点M，N分别在线段EA，EB上，且ΔEMN与ΔEAB面积之比为试求MN

的最小值．

16.（本小题满分15分）

秋收冬藏，穰穰满家.神州大地，又是一个丰收年.2024年我国粮食年产量首次迈上1.4万亿

斤新台阶，实现高位增产.某地农科院为研究不同土壤条件对大豆产量的影响，在该地区选取了一

批试验田种植大豆，现随机抽取了面积相等的10块试验田，得到各块试验田的亩产量(单位：kg)，

并整理得下表：

亩产量[170,180)[180,190)[190,200)[200,210]

频数1324

现将亩产量不少于200kg的试验田记为“优等田”.

(1)从这10块试验田中任选3块田，求恰有1块是“优等田”的概率；

(2)以这10块试验田的检验结果来估计该地区不同土壤条件对大豆产量的影响，若从该地区随

机抽取3块试验田，记“优等田”的块数为X，求X的分布列和期望.

湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第3页

17.（本小题满分15分）

已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为1，过x轴下方的一动点P作抛物线

C的两切线，切点分别为A,B，且直线AB刚好与圆x2+y2=1相切.设点P的轨迹为曲线E，过点

T(0,-2)的直线l与曲线E相交于M,N两点.

(1)求抛物线的方程；

(2)求点P的轨迹方程;

(3)设曲线E与y轴交点为A1，点A1关于原点的对称点为A2，记直线A1M,A2N的斜率分别为

k1,k2，证明：是定值.

18.（本小题满分17分）

如图，在平面四边形ABCD中，ΔABC为等腰直角三角形，ΔACD为正三角形，上ABC=90o，

AB=2，现将ΔDAC沿AC翻折至ΔSAC，形成三棱锥S-ABC，其中S为动点.

(1)证明：AC丄SB；

(2)若SC丄BC，三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面SAC的距离；

(3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值.

19.（本小题满分17分）

已知函数f(x)=cosx+ln(1+x)，g(x)=ax+1.

(1)求f(x)在x=0处的瞬时变化率；

(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的值；

*

(3)求证：ln2,n∈N.

k

湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第4页

2025年湖北省“新八校”协作体高三2月联考

高三数学参考答案

1.【答案】C【解析】由题意，得B={0,1,2,3}，所以AB={0,1,2}.故答案选：C.

2.【答案】C【分析】(1+i)2=2i，(1+i)4=(2i)2=—4.

【解析】设，因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，，

z1=a+bi(a,b∈R)z1a>0b>0

又所以z2=—(a+bi)=—a—bi，即z2在复平面内所对应的点位于第三象限.

故选：C.

3.【答案】B

【解析】f(x)的定义域为R，化简得f

故f(x)是奇函数；又因为f故在R上单调递增.故选：B.

4．【答案】A

【解析】因为|AB+AC|=|AB—AC|，所以AB丄AC，故AB.AC=3+·m=0，解得m=—、.

故||=2，||=2，又因为ΔABC为直角三角形，则面积S故选：A.

5.【答案】A【解析】若sinαsinβ=，cos(α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ=，则cosαcosβ=，

所以cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ=，

所以sin2α—cos2β=—=—=—cos(α+β)cos(α—β)=—.

故答案为：A.

6．【答案】B

【解析】如图，分别取AB,CD的中点E,F，连接PE,PF,EF，

则PE丄AB,EF丄AB，且PE∩EF=E，

可知AB丄平面PEF，且AB平面ABCD，

所以平面PEF丄平面ABCD，

过P作EF的垂线，垂足为O，即PO丄EF，

由平面PEF平面ABCD=EF，PO平面PEF，

所以PO丄平面ABCD，

由题意可得：PE=·、,PF=·、，EF=3，则由余弦定理得，cos上PFE故上PFE

可得OF=OP=1，OE=2，所以四棱锥的高为1.故该四棱锥的面积S

故选：B.

7．【答案】B

【解析】如图，延长PF2交F1M延长线于点N，因为点M是

上F1PF2的角平分线上的一点，且F1M丄MP，

所以点M为F1N的中点（三线合一），所以PN=PF1，

又点O为F1F2的中点，所以|F2N|=2|OM|=4，

故PF1—PF2=PN—PF2=F2N=4，

湖北省新八校教科研协作体*参考答案（共8页）第1页

()

所以即2带入点得2所以故选：

2a=4，a=4，P|3,lb=1，e=·=．B．

(,

8.【答案】D【解析】

解：因为f(x+1)-f(x-1)=x，

由累加法得：f(2x)-f(2x-2)=2x-1，f(2x-2)-f(2x-4)=2x-3，f(4)-f(2)=3，

所以f(2x)-f(2)=3+5+7++（2x-1）,所以f(2x)=1+3+5+7++（2x-1）=x2，

故f(100)=2500；故A，B都不对；

再由累加法得：f(2x+1)-f(2x-1)=2x，f(2x-1)-f(2x-3)=2x-2，f(3)-f(1)=2，

所以f(2x+1)=x2+x+1,故f(101)=2551>2500；故选：D.

9．【答案】BD【解析】

)()

对于A：将函数f(x)=sin2x的图象向右平移，可得函数y=sin2|(x-l=sin2x-l的图象；

(,|(,

)

再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=sin(|x-l的图象．故A错误；

(,

对于B：令x-=kπ,k∈Z，得x=+kπ,k∈Z，所以g(x)的图象关于点(,0)对称，故B正确；

对于C：令x-=+kπ,k∈Z，得x=+kπ,k∈Z，故C错误；

对于D：分别画出f(x)与g(x)在[0,2π]内的图像，可知有4个交点，故D正确；故选：BD.

10.【答案】BCD

【解析】解：y=fex，定义域为则f,所以

)

当x或x<0时f,当0<x<1或1<x<<0，即函数在(-∞,0)和(|,+∞l上单

(,

)

调递增，在(0,1)和|(1,l单调递减.当x→-∞时，x-1→-∞,ex→0，2x-1→-∞,所以f(x)→0，

(,

+

当x→1-时，f(x)→-∞,当x→1时，f(x)→+∞,

)

又f(0)=1，f(|l=4e>1，

(,

所以函数y=f(x)=的大致图象如下所示,故A错误；

-

对于B，函数f(x)的极大值为1，f(x)的极小值为f

故B正确.

对于C，令f(x)=t，则f(t)=0有1个零点t1∈(0,1)，故方程f(x)=t1

有两个实数解，故C正确；

对于D，构造h(x)===2+，所以h(x)关于点(1,2)对

称，故h(2-x)+h(x)=4，

湖北省新八校教科研协作体*参考答案（共8页）第2页

2

即化简得exf(2—x)+e2—xf(x)=4e，故D正确.说明：带入验证也可以.

故选：BCD.

11.【答案】ABD

【解析】对：将x换成y，y换成x，方程不变，故方程22所表示曲线关

Ax—2xy+y—·、x—·、y=0

于直线y=x对称，故A正确；

·、1

对B：x2—2xy+y2—v2x—v2y=x2—（2y+·、i2）x+y2—·、y=（x—y—）2—2·、i2y—=0

22

·、i2111·、i2

（x—y—）2=2·、y+≥0→2v2y≥—→y≥—=—，故B正确；

2224、8

y=0

对C：联立可得：x2—2x

22

即m—2·、x—·、m=0→2·、x=m—·、m，有唯一交点，无论m为何值，y=x+m与曲线均不相

切，故C错误；

对D：【方法一】由A选项可知，曲线关于y=x对称，故联立，化简得

(lx2—2xy+y2—·、x—·、y=0

{，解得A(0s2)B(v20)，故AB的最小值为2.

,,,

ly=·、—x

【方法二】若直线斜率不存在，则y+yy=0，即y

y=0

解得：yAB=··；若直线斜率存在，联立得：

·、i2v2

x2—2xy+y2—·、i2x—·、i2y=0→(x—y)2=·、(x+y)→(k—1)2(x—)2=·、k+1)(x—)+2

22

所以

令故当tAB取最小值2，此时k=—1，

湖北省新八校教科研协作体*参考答案（共8页）第3页

故D正确；故选：ABD.

12．【答案】30.

1

【解析】首先从5名志愿者中选1人去A小区，共有C5=5种情况，

2

再从剩下的4名志愿者中选2人去B小区，共有C4=6种情况，剩下2人则安排到C小区，

故不同的安排方案共有5×6=30种.故答案为：30.

13.【答案】2x-y-3=0.【解析】

直线l:ax+by-a+b=0化简得a(x-1)+b(y+1)=0，故直线l过定点(1,-1)，

又因为曲线y=ex-1+lnx-2过点(1,-1)，易知函数y=ex-1+lnx-2在定义域内是单调递增的，

x-1x-11-1

故直线l与曲线y=e+lnx-2相切于点(1,-1)，y,=e+，:直线l的斜率k=y,|x=1=e+=2，

:直线l的方程为2x-y-3=0，故答案为：2x-y-3=0.

14．【答案】24

【解析】设直线的方程为

M(x0,y0)，OAx-2y=0，可知|OA|=·、

得，

SMABOAx0-2y0≤3

设x0-2y0=k，则k=0,±1,±2,±3，x0=2y0+k，

2222

1化简得x+4y≤32，故8y0+4ky0≤32-k，

当k=0时，点M在直线OA上，不能构成三角形，故舍去；

当时，2，，有个整点；

k=18y0+4y0≤31y0=0,±1,-24

2

当k=2时，8y0+8y0≤28，y0=0,±1,-2，有4个整点；

当时，2，，有个整点；

k=38y0+12y0≤23y0=0,±1,-24

根据对称性，当k=-1,-2,-3时，也分别有4个整点．∴共有24个整点．故答案为：24

15.【答案】(1)【方法一】设BC=x，则BE=·、9+x2，AE=·、4+x2，而AB=5，

π

在ΔAEB中，由余弦定理得25=9+x2+4+x2-2·、·cos,

4

2

化简得2(x-6)=s2v·、，解得x=6或x=1（舍去），所以BC=6；6分

【方法二】作EF丄AB，垂足为F，设BC=x，上AEF=α,

上BEF=β,则tanα=，tanβ=，又上AEB=，

所以tan(α+β)，解得x=6(x=-1舍去)，所以BC=6；

(2)设EM=m，EN=n，由SΔEAB

由题：

SΔEMN:SΔEAB=(·、+1):4，

又，分

:SΔEMNSΔEMNmnsinmn:mn11

由余弦定理得：MN2=m2+n2-·、mn≥2mn-·、mn=(2-·)mn=15，当且仅当m=n时取等号，

的最小值为分

:MN·.13

16.【答案】

（1）设抽取的3块试验田中恰有1块是“优等田”为事件A，则P(A)==，

湖北省新八校教科研协作体*参考答案（共8页）第4页

因此，从10块试验田中任选3块田，恰有1块是“优等田”的概率为；7分

（3）由题意可知，从这10块试验田中任选1块田，恰好是“优等田”的概率为，8分

由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，则XB10分

2130

2(2)(3)363(2)(3)8

，，14分

P(X=2)=C3ll=P(X=3)=C3ll=

(|5,|(5,125|(5,|(5,125

所以X的分布列为

X0123

2754368

P

125125125125

故E(X)=np=3×=.15分

17．【答案】（1）依题意，p=1，故抛物线的方程为x2=2y；2分

（2）设A(x1,y1),B(x2,y2).

y,=x,:kPA=x1，可得PA:y-y1=x1(x-x1)，化为x1x-y-y1=0.同理PB方程为：x2x-y-y2=0.

设P(x0,y0)(y0<0)，则有x1x0-y0-y1=0,x2x0-y0-y2=0，

22

说明A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线x0x-y-y0=0上，即AB方程：x0x-y-y0=0，又AB与圆x+y=0相

2222

切，，可化为y0-x0=1(y0<0),:P点轨迹方程为y-x=1(y<0).8分

（3）依题意，A1(0,-1)，A2(0,1)，

设直线l的方程为y=kx-2（斜率存在），M(x1,y1),N(x2,y2)，

由消去y并整理得(k2-1)x2-4kx+3=0，

则x1+xx1x即4kx1x2=3(x1+x2)，10分

由直线l与双曲线的下支交于M,N两点，得可得

,解得-1<k<1，11分

所以

故为定值.15分

18.【答案】（1）

湖北省新八校教科研协作体*参考答案（共8页）第5页

证明：取AC的中点为E，连结SE,BE，

∵AB=BC，且AC的中点为E，∴BE丄AC，

又∵SA=SC，且AC的中点为E，∴SE丄AC，

又∵SEBE=E，∴AC丄面SBE，

∵SB面SBE，∴AC丄SB4分

（2）当SC丄BC时，由ΔCBS三ΔABS得SA丄BA

【方法一】取BS的中点O,连接OA,OC，故点O到

A、B、C、S四点的距离相等，故O点即为三棱锥S-ABC外接球的球心

6分

因为故

AB=BC=2，AS=CS=2·、，SE=、，SB=2·、,EB=·、，

设S到平面ABC的距离为h1，B到平面SAC的距离为h2，由等体积法得

VS-ABC=VB-ACS得SΔABC×h1=SΔACS×h2，而cos上SEB所以sin上SEB

故从而，故点到平面的距离为分

h1=SE×sin(π-上SEB)=×hOSAC9

【方法二】补成正方体

过S作SG丄面ABC，垂足为G，连接GA,GC，∴SG丄AB

∵AB丄SA,AB丄SG,SAAG=A，AB丄平面SAG

∴AB丄AG，同理，BC丄CG

∵底面ABC为等腰直角三角形，

∴四边形ABCD为正方形且边长为2，

又∵∴即三棱锥就是正方体的一部分

AB=2,SC=2·、，SG=2，S-ABC.

∴球心O到平面SAC的距离为正方体体对角线的，即×2·、=.9分

（3）以B为原点，BC,BA,BZ分别为x，y，z轴建立空间直

角坐标系B-xyz，过点S作平面ABC的垂线，垂足为O，

设上SEO=θ,即为翻折过程中所旋转的角度，则OE=·cosθ

湖北省新八校教科研协作体*参考答案（共8页）第6页

h=SO=·sinθ,OB=·、+·cosθ,故

B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0)，O(1+、cosθ,1+s3cosθ,0)

sv

S(1+、cosθ,1+3cosθ,6sinθ)，10分

设平面的法向量，则

SBC=(x1,y1,z1)

(

l丄0

{，

丄i3cosθ+1+·i3cosθy+i6sinθ=0

l)x1()1()z1

取sinθ则z=-(1+s3cosθ)∴=(0s6sinθ-1-cosθ)；11分

y1=·、,1，,,

设平面的法向量，则

SAC=(x2,y2,z2)

取x=sinθ,则y=sinθ=-·cosθ,∴=(sinθsinθ-cosθ)，12分

22,z2,,