甘肃省武威市凉州区联片教研2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年甘肃省武威市凉州区联片教研九年级12月月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知m是方程x2−2022x+1=0的一个根.则代数式3m2A.−3 B.1 C.5 D.−12.若菱形两条对角线的长度是方程x2−12x+32=0的两根，则该菱形的边长为(

)A.25 B.8 C.50 3.把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1A.y=3(x−2)2+1 4.二次函数y=ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac>0；②b2>4acA. B.

C. D.5.如图，∠A=120°，AB=AC=4，D在线段AB上，DE/​/BC交AC于E，将△ADE绕点D顺时旋转30°得△GDH，当H点在BC上时，AD的长为(

)A.23−2

B.2

C.86.如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB=(

)A.50°

B.40°

C.30°

D.25°7.如图，AB是⊙O的直径，DB，DE是⊙O的两条切线，切点分别为B，C.若∠ACE=25°，则∠D的度数为(

)A.50°

B.55°

C.60°

D.65°8.如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O.下列结论：①BC2+EH2=AE2；②ADA.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④9.圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则圆锥的母线长为(

)A.4 B.5 C.52 10.已知△ABC内接于⊙O，BC=2.点A从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A运动的路线长为l，△ABC的面积为S，S随l变化的图象如图所示，其中l2−l1=2π．

①点A在运动的过程中，始终有∠BAC=45°；

②点M的纵坐标为2+1；

③存在4个点A.②

B.①③

C.②③

D.①②③二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.已知关于x的一元二次方程x2−kx−4=0的一个根为4，则k的值为______．12.将抛物线y=x2+3向下平移213.当x=1或−3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y=ax214.如图，点P是在正△ABC内一点.PA=6，PB=8，PC=10，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP'，连接P'P、P'C，四边形APCP'的面积为______．

15.如图，⊙O是城市雨水排水管道的横截面，⊙O的半径为20cm.水的最深处到水面

AB的距离为8cm，则水面AB的宽度是______．

16.如图，已知点A是直线l外一点，AD⊥l于点D，且AD=2+2，点B，C均在直线l上，∠BAC=45°，则BC的最小值为______．

17.等边△ABC的边长为12，点D、E、F分别为边AC，AB，BC的中点，若分别以E，D，F为圆心，6为半径，作三个60°的扇形，则图中阴影部分的面积为______．

18.如图，在正五边形ABCDE中，点M是边BC的中点，连接AC、EM，交于点N，则∠ANE=______．

三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题6分)

如图所示，△ABC的顶点在8×8的网格中的格点上．

(1)画出△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的△A1BC1；

(2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、20.(本小题8分)

用适当的方法解下列方程．

(1)x2−6x+9=(5−2x)2；21.(本小题6分)

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，求每件衬衫应降价多少元？22.(本小题6分)

已知抛物线y=(m−1)x2+2mx+32的对称轴为直线x=1．

(1)求m的值；

(2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线23.(本小题6分)

如图，在△ABC中，∠B=45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．

求证：BB'⊥C'B'．24.(本小题8分)

如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，E为弧AD上一点，且弧AE=弧AC，连接EC交AB于点F，连接AC．

(1)求证：∠BAC=∠ECA；

(2)若OM=3，OC=5，求AB的长．25.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点M，M为OB的中点，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E.点F在AC上，DF交AB于点N．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若∠CDF=45°，DE=3，求FN的长．26.(本小题8分)

如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．

(1)求证：DB=DC；

(2)若∠EAD=60°，BC=23，求BC的长度．27.(本小题10分)

综合与探究：

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A(−3,0)和点C，与y轴交于点B(0,3)，点P是抛物线上点A与点C之间的动点(不包括点A，点C)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n.求证：mn

参考答案一．选择题1.D

2.A

3.D

4.C

5.A

6.A

7.A

8.C

9.A

10.A

二、填空题11.3

12.y=x13.(1,0)和(−3,0)

14.915.416.4

17.5418.54°

三、解答题19.解：(1)如图，△A1BC1即为所求；

(2)如图，格点D，20.解：(1)∵x2−6x+9=(5−2x)2，

∴(x−3)2=(5−2x)2，

∴x−3=5−2x或x−3=2x−5，

解得：x1=83，x2=2．

(2)∴a=1，21.解：设每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利(40−x)元，销售量为(20+2x)件，

由题意得，(40−x)(20+2x)=1200，

整理得：x2−30x+200=0，

解得x=10或x=20，

∵要尽快减少库存，

∴x=20，

答：每件衬衫应降价2022.解：(1)∵对称轴为直线x=−2m2(m−1)=1，

解得m=12，

∴m的值为12；

(2)由(1)可知，y=−12x2+x+32=−12(x−1)2+2，

∴将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，

可得23.证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，点B'在BC的延长线上，

∴△AB'C'≌△ABC，∠AB'C'=∠B=45°，

∴AB'=AB，

∴∠AB'B=∠B=45°，

∴∠BB'C'=∠AB'C'+∠AB'B=45°+45°=90°，

∴BB'⊥C'B'．

24.(1)证明：∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，

∴AC=BC，

又∵AE=AC，

∴BC=AE，

∴∠BAC=∠ECA．

(2)解：连接OA，

∵OC=5，

∴OA=OC=5，

又∵AB⊥CD，OM=3，

∴AM=OA2−OM2=25.(1)证明：∵M是OB的中点，CD⊥AB，

∴DM为OB的垂直平分线，

∴BD=OD，

∵OB=OD，

∴OB=OD=BD，

∴△OBD是等边三角形，

∵DM⊥OB，

∴∠BDM=∠ODM=12∠BDO=30°，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，

∴CM=DM，

即AB为CD的垂直平分线，

∴BC=BD，

∴∠BCD=∠BDM=30°，

∵DE⊥CB，

∴∠CDE=90°−∠BCD=60°，

∴∠EDO=∠CDE+∠ODM=60°+30°=90°，

∴DE⊥OD，

∵OD是半径，

∴DE与⊙O相切．

(2)解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，

∴M是CD中点，

即AB为CD的垂直平分线，

∴NC=ND，

∵∠CDF=45°，

∴∠NCD=∠NDC=45°，

∴∠CND=90°，

∴∠CNF=90°，

∵∠BOD=60°，

∴∠BCD=12∠BOD=30°，

在Rt△CDE中，∠E=90°，∠ECD=30°，DE=3，

∴CD=DEsin30∘=23，

在Rt△CND中，∠CND=90°，∠CDN=45°，CD=23，

∴CN=CD⋅sin45°=2626.(1)证明：∵AD平分∠CAE，

∴∠EAD=∠CAD，

∵∠EAD=∠BCD，∠CAD=∠CBD，

∴∠CBD=∠BCD，

∴DB=DC；

(2)解：连结OB、OC，如图，

∵∠DCB=∠DBC=∠EAD=60°，

∴△BCD为等边三角形，

∴∠BDC=60°，OB=OC=BC=23

∴∠BOC=2∠BDC=120°，

∴BC的长度27.(1)解：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A(−3,0)和点C，与y轴交于点B(0,3)，把点A(−3,0)和点B(0,3)的坐标代入得：

9a+6+c=0c=3，

解得：a=−1c=3，

∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；

(2)解：如下图所示，过点P作PH/​/y轴，交AB于点H，

设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A和点B的坐标代入得：

−3k+b=0b=3，

解得：k=1b=3，

∴直线AB的解析式