2026年高二数学寒假自学课（苏教版）第03讲 空间向量的应用（14大题型）（解析版）

第03讲空间向量的应用

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第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：直线的方向向量和平面的法向量

1、直线的方向向量：

点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取ABa，取定空间中的任意一点O，

则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta或OPOAtAB，这就是空间直线的向量表达

式．

知识点诠释：

（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方

向向量．

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的

坐标运算．

2、平面的法向量定义：

直线lα，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么

过点A，且⊥以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合P|aAP0．

知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内

两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．

3、平面的法向量确定通常有两种方法：

（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

（i）设出平面的法向量为n（x,y,z）；

（）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；

iia(a1,b1,c1)b(a2,b2,c2)

na0

（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；

nb0

（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组

的解中取一个最简单的作为平面的法向量．

知识点2：用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．

（1）线线平行

设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．

l1,l2a,bl1//l2a//bakb(kR)

（2）线面平行

线面平行的判定方法一般有三种：

设直线l的方向向量是a，平面的向量是u，则要证明l//，只需证明au，即au0．

①根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线

的方向②向量是共线向量．

根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平

面内两③个不共线向量线性表示即可．

（3）面面平行

由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．

①若能求出平面，的法向量u,v，则要证明//，只需证明u//v．

②

知识点3：用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．

（1）线线垂直

设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．

l1,l2a,bl1l2abab0

（2）线面垂直

设直线l的方向向量是a，平面的向量是u，则要证明l，只需证明a//u．

①根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．

②（3）面面垂直

根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．

①证明两个平面的法向量互相垂直．

②

知识点4：用向量方法求空间角

（1）求异面直线所成的角

已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，

|ACBD|

则cos．

|AC||BD|

知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向

量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的

角．

（2）求直线和平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的角为，

|au|

则有sin|cos|．

|a||u|

（3）求二面角

如图，若PA于A,PB于B，平面PAB交l于E，则AEB为二面角l的平面角，

AEBAPB180．

nn

若分别为面的法向量，12

n1,n2,cosn1,n2

n1n2

则二面角的平面角或，

AEBn1,n2n1,n2

即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．

当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角

n1n2n1,n2n1,n2

的大小①．

当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角

n1,n2n1,n2

②的大小．

n1,n2

知识点5：用向量方法求空间距离

1、求点面距的一般步骤：

求出该平面的一个法向量；

①找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

②求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．

③|ABn|

即：点A到平面的距离d，其中B,n是平面的法向量．

|n|

2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解-

|ABn|

即：点A到平面的距离d，其中B,n是平面的法向量．

|n|

|ABn|

直线a与平面之间的距离：d，其中Aa,B,n是平面的法向量．

|n|

|ABn|

两平行平面,之间的距离：d，其中A,B,n是平面的法向量．

|n|

3、点线距

22

设直线l的单位方向向量为u，Al，Pl，设APa，则点P到直线l的距离daau．

题型一：直线的方向向量

【例1】（25-26高二上·北京·月考）在空间直角坐标系Oxyz中，设直线l1的方向向量为a1,2,2，直线l2

的方向向量为b2,3,m，若l1l2，则m（）

1

A．1B．2C．D．3

2

【答案】B

【解析】由l1l2，则ab1(2)23(2)m0，故m2.

故选：B

2

【变式1-1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量a(4,2,6),b4,2x,6x都是直线l的方向向量，

则x的值是（）

A．1或1B．1C．3D．1

【答案】B

2

242x6x

【解析】依题意，向量a(4,2,6),b(4,2x,6x)共线，则，

426

所以x1.

故选：B

【变式1-2】（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点A2,3,2,B1,0,1，下列向量中是该直线

的方向向量的为（）

A．a1,1,1B．a1,1,1C．a1,1,1D．a1,1,1

【答案】D

【解析】由题意得直线的方向向量与AB3,3,3共线，

1

而1,1,13,3,3，所以a1,1,1是该直线的方向向量.

3

故选：D.

【变式1-3】（23-24高二上·山西·月考）已知直线l的一个方向向量m3,2,1，且直线l经过Aa,2,1和

B2,3,b两点，则ab（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】A

【解析】因为AB2a,1,b1，直线l的一个方向向量为m3,2,1，

所以有向量AB与向量为m共线，

2a1b113

所以，解得a，b，

32122

所以ab2，

故选：A.

题型二：平面的法向量

【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在

鳖臑ABCD中，AB平面BCD，BDC=90，BDABCD．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平

面ACD的一个法向量．

【解析】根据题意，设BDABCD1，

法一：D0,1,0，C1,1,0，A0,0,1，则DC1,0,0，AD0,1,1，

DCmx0

设平面ACD的法向量为mx,y,z，则有，

ADmyz0

令y1，得z1，则m0,1,1为平面ACD的一个法向量．（答案不唯一）

法二：过点B作BMAD于点M，则M为AD的中点，

AB平面BCD，CD平面BCD，

ABCD，

BDC=90，

CDBD，又BDABB，BD,AB平面ABD，

\CD^平面ABD，BM平面ABD，

CDBM，又CDADD，且CD，AD平面ACD，

BM平面ACD，易得D0,1,0，B0,0,0，A0,0,1，

1111

M0,,，故BM0,,，

2222

11

平面ACD的一个法向量为BM0,,（答案不唯一）.

22

【变式2-1】（24-25高二上·广东江门·月考）在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量AB1,0,1，

AC0,1,1，AD1,1,0．

(1)求BC，CD；

(2)求平面BCD的一个法向量．

uuur

【解析】（1）QAB1,0,1，AC0,1,1，AD1,1,0，

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

BCACAB1,1,0，CDADAC1,0,1.

（2）设平面BCD的一个法向量为nx,y,z，

nBC0xy0

则，即，令x1，得y1，z1，

nCD0xz0

n1,1,1，

所以平面BCD的一个法向量为1,1,1.

【变式2-2】（2024高二上·全国·专题练习）四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，ABC90，SA平

面ABCD，SAABBC2，AD1，求平面SCD和平面SAB的法向量.

【解析】因为AD//BC，ABC90，所以ABAD，

因为SA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，

所以SAAB,SAAD，

所以AD,AB,AS是三条两两垂直的线段，

以A为原点，以AD，AB，AS的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则A0,0,0,D1,0,0,C2,2,0,S0,0,2，

于是AD1,0,0，DC1,2,0，DS1,0,2.

易得AD1,0,0是平面SAB的法向量.

设平面SCD的一个法向量为n1,y,z，

1

则nDC1,y,z1,2,012y0，解得y.

2

1

又nDS1,y,z1,0,212z0，解得z.

2

11

所以n1,,即为平面SCD的法向量，

22

11

所以1,,即为平面SCD的法向量，1,0,0是平面SAB的法向量.

22

【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）已知AB1,1,2，AC2,3,1，求平面ABC的一个法向量

【解析】法一：设平面ABC的一个法向量为nx,y,z，

ABnxy2z0

则，令x1，得y1，z1，所以n1,1,1.

ACn2x3yz0

故可得平面ABC的一个法向量n1,1,1.

法二：取x轴正向单位向量i，y轴正向单位向量j，z轴正向单位向量k，

ijk

则ABAC112(16)i(14)j(32)k5i5j5k

231

故平面ABC的一个法向量为n5,5,5，也可取平面ABC的一个法向量为1,1,1.

题型三：直线和直线平行

【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的

∥

点，且D1E2EB1，BF2FA1．求证：EFAC1．

【解析】如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设DAa，DCb，DD1c，则得下列各点的坐标：

Aa,0,0，C10,b,c，D10,0,c，B1a,b,c，Ba,b,0，A1a,0,c.

22

由D1E2EB1即DE2EB，可得：Ea,b,c，

1133

b2

由BF2FA1，即BF2FA，可得：Fa,,c．

133

abc1

FE,,，AC1a,b,c，FEAC1．

3333

∥

又FE与AC1不共线，EFAC1．

【变式3-1】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，点Q为BC的

中点，点P为CC1上一点.

(1)若平面BA1C1平面QAC1直线l，求证：A1B//l；

(2)当平面APQ平面APB1时，求CP的长度.

【解析】（1）连接A1C交AC1于点O，连接OQ.

因为O，Q分别为A1C，BC中点，则A1B//OQ，

且A1B面QAC1，OQ面QAC1，可得A1B//平面QAC1，

又因为A1B平面BA1C1，平面BA1C1平面QAC1直线l，

所以A1B//l.

（2）取B1C1中点Q1，

以Q为原点，QC，QA，QQ1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则Q(0,0,0)，A(0,3,0)，B1(1,0,3)，设CPh，则P(1,0,h)，

可得，，，

QA(0,3,0)QP(1,0,h)B1P(2,0,h3)B1A1,3,3.

mQA3y0

设平面的法向量为，则1，

APQmx1,y1,z1

mQPx1hz10

令z11，则x1h,y10，可得m(h,0,1)；

nBP2x(h3)z0

设平面的法向量为，则122，

APB1nx2,y2,z2

nB1Ax23y23z20

h3

h3

令x23h，则y2,z22，可得n3h,,2，

33

因为平面APQ平面APB1，则mn，

可得mnh(3h)20，解之得h1或2，

所以CP的长度为1或2.

【变式3-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥OABC中，OAOB1，OC2，OA，

OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：

(1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系；

(2)若点D满足BD//AC，DC//AB，试确定点D的坐标．

【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则O0,0,0，A1,0,0，B0,1,0，C0,0,2，

由于OA，OC的中点分别为E，F．

11

因此E,0,0，F0,0,1，得EF,0,1．

22

又OB0,1,0，所以EFOB0，即EFOB，

故EF与OB垂直．

（2）设Dx,y,z，则BDx,y1,z，AC1,0,2，

DCx,y,2z，AB1,1,0，

由BD∥AC，DC∥ABBD∥AC，DC∥AB，

因此存在实数k1，k2，使得BDk1AC，DCk2AB，

x1

x,y1,zk1,0,2

即1y1．

x,y,2zk21,1,0

z2

即点D的坐标为1,1,2．

题型四：直线与平面的平行

【例4】（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB//DC，DAAB，

2

ABAP2，DADC1，E为PC上一点，且PEPC．

3

(1)求证：AE平面PBC；

(2)求证：PA//平面BDE．

【解析】（1）证明：因为PA底面ABCD，AB,AD平面ABCD，所以PAAB,PAAD，

因为DAAB，所以AB,AD,AP两两垂直，

所以如图，以A为原点，AB，AD，AP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则A0,0,0，B2,0,0，C1,1,0，D0,1,0，P0,0,2，

所以PC1,1,2，AP0,0,2，CB1,1,0，

2224222

因为PEPC，所以PE,,，所以AEAPPE,,，

3333333

22422

所以AEPC0，AECB00，

33333

所以AEPC，AECB，即AEPC，AECB，

又因为PCBCC，PC，BC平面PBC，

所以AE平面PBC；

（2）证明：由1可得AB2,0,0，

222422

则BEAEAB,,2,0,0,,，

333333

PA0,0,2，BD2,1,0，

设平面BDE的法向量为nx1,y1,z1，

2xy0，

BDn011

则，即，

422，

BEn0x1y1z10

333

令x11，得y12，z10，

则n1,2,0是平面BDE的一个法向量，

因为PAn0,0,21,2,00，所以PAn，

因为PA平面BDE，所以PA//平面BDE．

【变式4-1】（25-26高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，ADDC，

AB//DC，ADDCAS2AB2，M为棱SC的中点．用向量方法证明：

(1)BMDC；

(2)BM//平面SAD．

【解析】（1）ADDC，AB//DC，ABAD．

由SA底面A∵BCD，得ABAS,AD∴AS．

以A为原点，AD，AB，AS的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

又ADDCAS2AB2，M为棱SC的中点．

则A0,0,0，B0,1,0，C2,2,0，D2,0,0，S0,0,2，M1,1,1．

BM1,0,1，DC0,2,0，

∵BMDC1002100，

∴BMDC，则BMDC．

∴（2）ADDC，AB//DC，ABAD．

由SA∵底面ABCD，得ABA∴S．

又ASADA，AB平面SAD，

则向量AB0,1,0∴是平面SAD的一个法向量．

BMAB1001100，且BM平面SAD，

∵BM//平面SAD．

∴【变式4-2】（25-26高二上·北京·月考）如图，在直角梯形AA1B1B中，A1AB90，A1B1//AB，

ABAA12A1B12.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使平面AA1C1C

平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点.

(1)求证：ACAB；

(2)是否存在点P，使得直线A1C//平面AMP？请说明理由.

【解析】（1）在直角梯形AA1B1B中，A1AB90，即AA1AB，

由直角梯形AA1B1B绕直线AA1旋转得到直角梯形AA1C1C，得AA1AC，

则CAB是平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角的平面角，

而平面AA1C1C平面AA1B1B，即平面AA1B1B与平面AA1C1C所成二面角是直角，

因此CAB90，所以ACAB.

（2）由（1）知，直线AC,AB,AA1两两垂直，

以点A为原点，直线AC,AB,AA1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),M(1,1,0)，BB1(0,1,2)，

假设在线段BB1上存在点P，使得直线A1C//平面AMP，设BPtBB1(0,t,2t),0t1，

则APABBP(0,2t,2t)，AM(1,1,0)，设平面AMP的法向量n(x,y,z)，

nAP(2t)y2tz0

于是，取y2t，得，而,，

n(2t,2t,2t)A1C(2,02)

nAMxy0

2

由直线AC//平面AMP，得ACn，则ACn4t2(2t)0，解得t，

1113

所以在线段BB1上存在点P，使得直线A1C//平面AMP，点P为线段BB1上靠近B1的三等分点.

【变式4-3】（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，DD1DA1，AB2，点E在

棱AB上运动.

(1)证明：B1CD1E；

CF

(2)设E为棱AB的中点，在棱CC1上是否存在一点F，使得BF//平面DEC1，若存在，求的值，若不存

CC1

在，说明理由.

【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，

D10,0,1,B11,2,1,C0,2,0,B1C1,0,1，

设E1,t,0,0t2，则D1E1,t,1，

，所以

D1EB1C1010B1CD1E.

（2）若E是AB的中点，则E1,1,0，C10,2,1，

DE1,1,0，DC10,2,1，

设平面DEC1的法向量为nx1,y1,z1，

nDEx1y10

则，

nDC12y1z10

设y11，则x11，z12，

故n1,1,2为平面DEC1的一个法向量，

设F0,2,,01，B1,2,0,BF1,0,，

若BF//平面DEC1，BF平面DEC1，

CF1

1

则nBF120,，所以F是CC1的中点，所以.

2CC12

题型五：平面和平面平行

【例5】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，Q是CD的

中点.

(1)在平面BCC1B1内确定一点M，使MQ平面PAQ；

(2)证明：棱CC1上不存在点N，使平面BND1//平面PAQ.

【解析】（1）

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，

则D0,0,0，A2,0,0，B2,2,0，P0,0,1，Q(0,1,0)，D10,0,2，

设Mx,2,z，N0,2,c.

因为PA2,0,1，PQ0,1,1，QMx,1,z，又PA，PQ不共线，

PAQM0

所以当时，MQ平面PAQ.

PQQM0

2xz01

所以，解得x，z1，

1z02

1

所以当点M的坐标为,2,1时，MQ平面PAQ.

2

PAm0

（2）设平面PAQ的法向量为mx1,y1,z1，则，

PQm0

2xz0

因为PA2,0,1，PQ0,1,1，所以11，

y1z10

令z12，则y12，x11，所以平面PAQ的一个法向量m1,2,2.

若平面BND1//平面PAQ，则m1,2,2也是平面BND1的一个法向量.

因为BN2,0,c，D1N0,2,c2，

所以BNm2,0,c1,2,20，即22c0，得c1，

此时D1Nm0,2,11,2,222220，

所以m不是平面BND1的一个法向量，即m与平面BND1不垂直.

所以棱CC1上不存在点N，使平面BND1//平面PAQ.

【变式5-1】（20-21高二上·宁夏·期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．

(1)用向量法证明：平面A1BD//平面B1CD1；

(2)用向量法证明：MN平面A1BD．

【解析】（1）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A12,0,2，B2,2,0，B12,2,2，

C0,2,0，D0,0,0，D10,0,2，

故DA12,0,2，DB2,2,0，B1C2,0,2，B1D12,2,0，

设平面A1BD的法向量为n1x1,y1,z1，

DA1n102x12z10

则，即，令x11，则n1,1,1．

2x2y01

DBn1011

设平面B1CD1的法向量为n2x2,y2,z2，

B1Cn202x22z20

则，即，令x1，则n1,1,1，

2x2y022

B1D1n2022

//

所以n1n2，即n1n2，故平面A1BD//平面B1CD1．

（2）由M，N是线段AB，B1C中点得，M2,1,0，N1,2,1，

所以MN1,1,1，

由MNn1得，MNn1，

所以MN平面A1BD．

【变式5-2】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4,BC3,CC12.

(1)求证：平面A1C1B//平面ACD1.（使用向量方法）

(2)线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）证明：由题可以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间

直角坐标系Dxyz，

则A3,0,0,B3,4,0,C0,4,0,A13,0,2,B13,4,2,C10,4,2，D10,0,2，

则A1C13,4,0,A1B0,4,2,AC3,4,0,AD13,0,2.

设平面A1C1B的法向量为nx,y,z，

nA1C1nA1C13x4y0

则，所以，取x4，则y3,z6，

nA1BnA1B4y2z0

所以平面A1C1B的一个法向量为n4,3,6，

设平面ACD1的法向量为ma,b,c，

mACmAC=3a4b0

则，所以，取a4，则b3,c6，

mAD1mAD1=3a2c0

所以平面ACD1的一个法向量为m4,3,6，

因为mn，即m//n，所以平面A1C1B//平面ACD1.

（2）设线段B1C上存在点P，使得A1P//平面ACD1，

设B1PtB1C0t1，

由（1）得A1B10,4,0,B1C3,0,2，平面ACD1的一个法向量为m4,3,6，

所以A1PA1B1B1PA1B1tB1C3t,4,2t，

1

令mAP3t4432t60，解得t，

12

所以当P为线段B1C的中点时，A1P//平面ACD1.

【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，

BD，B1C的中点，利用向量法证明：

(1)MN∥平面CC1D1D；

(2)平面MNP∥平面CC1D1D．

【解析】（）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，y轴，轴的正方向建立空间直角坐

1DDADCDD1xz

标系，如图所示.

方法一：设正方体的棱长为2，则A(2,0,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).

由正方体的性质知AD平面CC1D1D，

所以DA(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．

由于MN(0,1,1)，则MN·DA0210100，所以MNDA．

又MN平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D．

方法二：设正方体的棱长为2，CD(0,0,0),D1M0，N(1,1,0),P(1,2,1)．(0,2,0),(0,0,2),(1,,1)

11

由于MN(0,1,1)，DD(0,0,2)，DC(0,2,0)，故MNDDDC，

1212

又MN平面D1DCC1，故MN∥平面CC1D1D．

（2）方法一：由于MP(0,2,0)，MN(0,1,1)，

MP·DA0220000

则，

MN·DA0210100

所以DA(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量，

又M平面CC1D1D，则平面MNP与平面CC1D1D不重合，

所以平面MNP∥平面CC1D1D．

方法二：由于MP(0,2,0)，DC(0,2,0)，则MPDC，所以MP∥DC，

又MP平面CC1D1D，DC平面CC1D1D，所以MP平面CC1D1D．

由（1）知MN∥平面CC1D1D，又MN与MP相交于点M，

所以平面MNP∥平面CC1D1D．

题型六：直线和直线垂直

π

【例6】（25-26高二上·山西晋中·期中）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BADBAADAA，

113

四边形ABCD是边长为2的菱形，AA13，O为AC与BD的交点.

(1)求A1O的长；

(2)证明：OA1BD.

【解析】（1）以AB,AD,AA1为一个基底，

11

由题意知ABAD2,AA3,ABAD222,ABAAADAA233，

12112

11

又AOAOAAABADAA，

11221

2

2

所以11

A1OABADAA1

22

121221

ABADAAABADABAAADAA

441211

111

4492336，

442

所以A1OA1O6；

11

（2）由（1）知AOABADAA，

1221

在菱形ABCD中，BDADAB，

11

所以A1OBDABADAA1ADAB

22

112121

ABADADAAADABADABAAAB

221221

1111

2434230，

2222

所以A1OBD，即A1OBD.

【变式6-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）如图，四棱锥PABCD中，AD//BC，平面PAD平面PBC，

π

ADCD2BC2，BCD．

3

(1)若PCAD，求证：PCPA；

(2)若PAPC，求PA的取值范围．

【解析】（1）由AD//BC，且AD平面PBC，BC平面PBC，

故AD//平面PBC，设平面PAD平面PBCl，

由AD平面PAD，则AD//l，又PCAD，则PCl，

又平面PAD平面PBC，PC平面PBC，

故PC平面PAD，又PA平面PAD，故PCPA；

π

（2）连接BD，由BCD，BC1，CD