2026年高二数学寒假自学课（苏教版）第02讲 空间向量的坐标表示（9大题型）（解析版）

第02讲空间向量的坐标表示

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第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：空间向量基本定理及样关概念的理解

空间向量基本定理：

如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组

(x,y,z)，使得pxaybzc．其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常

称为空间向量的一组基底．此时，a，b，c都称为基向量；如果pxaybzc，则称xaybzc为p在

基底{a，b，c}下的分解式．

知识点2：空间向量的正交分解

单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位

正交基底，常用i,j,k表示．

正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

知识点3：空间直角坐标系

1、空间直角坐标系

从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点

O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平

面、yOz平面、zOx平面．

2、右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正

方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

3、空间点的坐标

空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A

（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

知识点4：空间直角坐标系中点的坐标

1、空间直角坐标系中点的坐标的求法

通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已

知点相应的一个坐标．

特殊点的坐标：原点0,0,0；x,y,z轴上的点的坐标分别为x,0,0,0,y,0,0,0,z；坐标平面

xOy,yOz,xOz上的点的坐标分别为x,y,0,0,y,z,x,0,z．

2、空间直角坐标系中对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点Px,y,z，则有

点关于原点的对称点是；

PP1x,y,z

点关于横轴（轴）的对称点是；

PxP2x,y,z

点关于纵轴（轴）的对称点是；

PyP3x,y,z

点关于竖轴（轴）的对称点是；

PzP4x,y,z

点关于坐标平面的对称点是；

PxOyP5x,y,z

点P关于坐标平面yOz的对称点是P6x,y,z；

点关于坐标平面的对称点是．

PxOzP7x,y,z

知识点5：空间向量的坐标运算

（1）空间两点的距离公式

若，则

Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2

ABOBOAx2,y2,z2x1,y1,z1x2x1,y2y1,z2z1

①即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

2

222，

|AB|ABx2x1y2y1z2z1

②222

或．

dA,Bx2x1y2y1z2z1

知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量AB的坐标表示，然后

再用模长公式推出．

（2）空间线段中点坐标

xxyyzz

空间中有两点，则线段的中点的坐标为121212．

Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2ABC,,

222

（3）向量加减法、数乘的坐标运算

若，则

ax1,y1,z1,bx2,y2,z2

；

abx1x2,y1y2,z1z2

①；

abx1x2,y1y2,z1z2

②ax1,y1,z1(R)；

③（4）向量数量积的坐标运算

若，则

ax1,y1,z1,bx2,y2,z2

abx1x2y1y2z1z2

即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和．

（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式

若，则

aa1,a2,a3,bb1,b2,b3

（）222222．

1|a|aaa1a2a3,|b|bbb1b2b3

aba1b1a2b2a3b3

（2）cosab(a0,b0)．

|a||b|222222

a1a2a3b1b2b3

知识点诠释：

夹角公式可以根据数量积的定义推出：

①ab

ab|a||b|cosabcosab，其中的范围是[0,]

|a||b|

AC,BDAC,DBCA,BDCA,DB．

②用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）．

③（6）空间向量平行和垂直的条件

若，则

aa1,a2,a3,bb1,b2,b3

x1y1z1

a//babx1x2,y1y2,z1z2(R)x2y2z20

x2y2z2

①

abab0x1x2y1y2z1z20

②规定：0与任意空间向量平行或垂直

作用：证明线线平行、线线垂直．

题型一：空间向量基本定理及其推论

，，

【例1】（25-26高二上·上海青浦·月考）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设A1B1aA1D1bAA1c．下

列选项中，可以作为空间中的一组基的是（）

A．a,b,abB．ab,ab,b

C．abc,abc,abD．abc，abc，ab

【答案】D

，，

【解析】在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1B1A1D1AA1为不共面向量.

A，因a,b,ab中的ab可以表示为a,b的和，即三个向量共面，不能作为基底，不合题意；

11

B，对于ab,ab,b，因b(ab)(ab)，即ab,ab,b为共面向量，不合题意；

22

11

C，对于abc,abc,ab，因ab(abc)(abc)，即abc,abc,ab为共面向

22

量，不合题意；

D，假设abc，abc，ab为共面向量，

则存在唯一的x,yR，满足abcxabcyabxyaxybxc，

xy1

则xy1，该方程显然无解，故假设不成立，即abc，abc，ab可以作为空间中的一组基，符

x1

合题意.

故选：D.

【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）定义：设e1,e2,e3是空间中的一个基底，若向量pxe1ye2ze3，

则称有序实数组(x,y,z)为向量p在基底e1,e2,e3下的斜坐标，已知{a,b,c}是空间的一个基底，

{ab,bc,ca}是空间的另一个基底，若向量p在基底{ab,bc,ca}下的斜坐标为(3,1,4)，则向量p

在基底{a,b,c}下的斜坐标为（）

A．(1,4,3)B．(1,4,3)

C．(1,2,5)D．(1,2,5)

【答案】D

【解析】因为向量p在基底{ab,bc,ca}下的斜坐标为(3,1,4)，

所以p3(ab)(bc)4(ca)a2b5c，

所以向量p在基底{a,b,c}下的斜坐标为(1,2,5).

故选：D.

【变式1-2】（25-26高二上·云南楚雄·期中）若e1,e2,e3是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量m，

存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底

s,t,rmse1te2re3s,t,rm

e1,e2,e3下的斜坐标.已知空间向量p在基底a,b,c下的斜坐标为3,1,2，则p在基底ab,ab,c下的斜

坐标为（）

A．2,1,2B．2,1,2C．1,2,2D．1,2,2

【答案】C

【解析】由空间向量p在基底a,b,c下的斜坐标为3,1,2，得p3ab2c，

设p在基底ab,ab,c下的斜坐标为x,y,z，

则pxabyabzcxyayxbzc3ab2c，

xy3x1

所以yx1，解得y2，

z2z2

所以空间向量p在基底ab,ab,c下的斜坐标为1,2,2.

故选：C.

【变式1-3】（25-26高二上·安徽池州·月考）若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A．bc,b,bcB．a,ab,a2bC．ab,2ab,cD．ab,abc,c

【答案】C

1

【解析】对于A，bbcbc，向量bc,b,bc共面，A错误；

2

1

对于B，a2aba2b，故向量a,ab,a2b共面，故B错误，

3

对于C，假定向量ab,2ab,c共面，则存在实数对x,y，使得cxaby2abx2yayxb，

故cx2yayxb0，

x2y0

而a,b,c不共面，则xy0，矛盾，故假设不成立，因此向量ab,2ab,c不共面，C正确；

10

对于D，abc(ab)c，向量ab,abc,c共面，D错误；

故选：C

题型二：用基底表示向量

【例2】在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下

列向量中与B1M相等的向量是（）

1111

A．abcB．abc

2222

1111

C．abcD．abc

2222

【答案】A

11111

【解析】

B1M11A1ABA1A1D1A1B1abc.BBBMAABDAADA

22222

故选：A.

【变式2-1】（22-23高二上·山东日照·期中）如图，在三棱锥OABC中，OAa，OBb，OCc，点M

在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则MN（）

211111

A．abcB．abc

322222

211221

C．abcD．abc

322332

【答案】A

21

【解析】由OM2MA，则MOOA，由N为BC的中点，则BNBC.

32

2121

所以MNMOOBBNOAOBBCOAOBOCOB

3232

211211

OAOBOCabc.

322322

故选：A.

【变式2-2】（25-26高二上·山东临沂·期中）在四面体DABC中，点G是ABC的重心，设

DAa,DBb,DCc，则BG（）

222111

A．abcB．abc

333333

121112

C．abcD．abc

333333

【答案】C

【解析】如图所示：

2

取AC的中点H，则BGBH，

3

BABCDADC2DB

又BH，

22

DADC2DB121

所以BGabc，

3333

故选：C

【变式2-3】（10-11高二下·浙江宁波·期中）如图，空间四边形OABC中，OAa，OBb，OCc，点

M在OA上，且满足OM2MA，点N为BC的中点，则MN（）

121211

A．abcB．abc

232322

111221

C．abcD．abc

222332

【答案】B

【解析】由

2121

MNMOOCCNOAOCCBOAOC(OBOC)

3232

211211

OAOBOCabc.

322322

故选：B

【变式2-4】（25-26高二上·广东佛山·月考）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，过

PF

点A的平面分别与棱PB、PC、PD交于点E、F、G，若PB2PE，PD3PG，则（）

PC

1111

A．B．C．D．

4235

【答案】A

PF

【解析】设，连接AF，

PC

则AFAPPFAPPCAPABADAPABAD1AP．

12

因为PD3PG，即ADAP3AGAP，故AGADAP，

33

因为A、E、F、G四点共面，且AE、AG不共线，存在、tR，使得AFAEtAG，

12t2t

所以AFAEtAGABAPtADAPABADAP，

2332323

1

24

t1PF1

由空间向量的基本定理可得，解得，所以.

32PC4

2t3

1t

234

故选：A.

题型三：空间向量基本定理的应用

x

【例3】（25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，向量APAByADzAA，

21

若xyz1，则CP的最小值为（）

266

A．B．C．23D．26

33

【答案】A

【解析】如图：

取AB中点E，则APxAEyADzAA1，因为xyz1，

所以点P在平面A1DE内，CP的最小值就是三棱锥CA1DE的高，

114

因为V222,AEDE5,AD22，

A1CDE32311

22

所以△的面积1，

A1DES22526

2

1426

设三棱锥CA1DE的高为h，则h6，所以h.

333

故选：A.

【变式3-1】（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥PABC中，G为ABC的重心，PAPD，PBPE，

114

PC4PF1,1.若PG交平面DEF于点M，且PMPG，则的最小值为（）

3

6789

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【解析】因G为ABC的重心，所以

11111

PGPAAGPA(ABAC)PA(PBPAPCPA)PAPBPC，

33333

1

又PMPG，PAPD，PBPE，PC4PF1,1，

3

14

所以PM(PDPE4PF)PDPEPF，

9999

因为点M在平面DEF内，

4

所以1，得5，且1,1.

999

1411414149

所以()()1()12

5555

4510

当且仅当,,时等号成立.

33

故选：D.

【变式3-2】（25-26高二上·安徽池州·期中）在四面体OABC中，点M满足3OA4OM，N为BC中点，若

MNxOAyOBzOC，则xyz（）

1135

A．B．C．D．

2444

【答案】B

【解析】在四面体OABC中，点M满足3OA4OM，N为BC中点，

13311

连接ON，则MNONOM(OBOC)OAOAOBOC，

24422

311

又因为MNxOAyOBzOC，所以x,y,z，

422

3111

所以xyz.

4224

故选：B.

题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示

【例4】（25-26高二上·安徽亳州·期中）若点B是点A1,2,3在平面Oyz内的射影，则OB（）

A．0,2,3B．1,0,0C．1,0,3D．1,2,0

【答案】A

【解析】因为点B是点A1,2,3在平面Oyz内的射影，

所以B0,2,3,所以OB0,2,3.

故选：A.

【变式4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知向量OA2,4,0，OB2,0,6，其中O为坐标原点，若点

C为线段AB的中点，则点C的坐标为（）．

A．0,4,6B．4,4,6C．2,2,3D．0,2,3

【答案】D

【解析】因为向量OA2,4,0，OB2,0,6，其中O为坐标原点，

所以A2,4,0，B2,0,6，

所以AB的中点C的坐标为0,2,3，

故选：D

【变式4-2】在以O为原点，i,j,k为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点

A0,2,4,B2,3,1,C0,2,0，若ABCD，则D点坐标为（）

A．2,3,5B．2,3,5C．2,3,5D．2,3,5

【答案】A

【解析】由题得OB2i3jk,OA0i2j4k,OC0i2j0k，

故ABOBOA2ij5k.

又ABCDODOC，

则ODOCAB2i3j5k，

故D点坐标为2,3,5．

故选:A.

【变式4-3】（23-24高二下·广东茂名·月考）设点M1,1,3，A2,0,4，O0,0,0，若OMAB，则点B

的坐标为（）

A．1,0,2B．1,1,7C．1,0,2D．3,2,0

【答案】B

【解析】设Bx,y,z，则ABx2,y,z4，且OM1,1,3，

x21

因为OMAB，可得y1，解得x1,y1,z7，即点B1,1,7.

z43

故选：B.

题型五：空间向量的坐标表示及运算

【例5】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）若a2,0,1，b0,1,2，则2ab（）

A．4,1,4B．4,1,0C．4,1,0D．4,1,4

【答案】C

【解析】a2,0,1，2ab22,0,10,1,24,0,20,1,24,1,0

故选：C

【变式5-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知向量a(2,1,2)，向量b(1,3,2)，则3ab（）

A．(6,1,2)B．(7,0,2)C．(7,0,4)D．(7,0,4)

【答案】D

【解析】由a(2,1,2)，则3a(6,3,6)，所以3ab(6,3,6)(1,3,2)(7,0,4).

故选：D

【变式5-2】（25-26高二上·广东·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A1,1,0，B2,1,1，若点C与

点B关于平面yOz对称，则AC（）

A．3,2,1B．3,2,1C．1,1,1D．1,1,1

【答案】A

【解析】由点C与点B关于平面yOz对称，得C2,1,1，所以AC3,2,1.

故选：A.

【变式5-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知空间中A1,0,0，B0,2,0，C0,0,3，D1,1,四点共面，

则（）

23

A．2B．C．1D．

32

【答案】D

【解析】因为A1,0,0，B0,2,0，C0,0,3，D1,1,，

所以AB1,2,0，AC1,0,3，AD0,1,，

因为A,B,C,D四点共面，所以AB与AC,AD共面，

而AC、AD不共线，则存在唯一实数对x,y，使得ABxACyAD，

所以1,2,0x,0,3x0,y,yx,y,3xy，

1x

3

所以2y，解得x1,y2,．

2

03xy

故选：D.

题型六：空间向量平行的坐标表示及应用

【例6】（25-26高二上·天津·期中）设x，yR，向量ax,1,1，向量b1,y,1，c3,6,3，且ac，

b//c，则2ab（）

A．10B．3C．4D．32

【答案】D

【解析】由题意得3x630，解得x1，

1y

，解得y2，则a1,1,1，b1,2,1，

36

2ab2,2,21,2,13,0,3，

222

则2ab30332.

故选：D.

【变式6-1】（25-26高二上·四川眉山·月考）设x,yR，向量ax,1,1，b1,y,1，c2,4,2，且ac，

b//c，则ab（）

A．22B．10

C．3D．4

【答案】C

【解析】因为向量ax,1,1，b1,y,1，c2,4,2，

若ac，则2x420，解得x1，所以a1,1,1；

1y1

且b//c，则，解得y2，所以b1,2,1；

242

可得ab2,1,2，所以ab4143.

故选：C.

【变式6-2】（25-26高二上·全国·期末）已知向量a2,1,2,bx,2,4，且a//b，那么b（）

A．4B．6C．8D．34

【答案】B

x24

【解析】因为a//b，所以，解得x4，

212

2

所以b422426.

故选：B.

【变式6-3】（25-26高二上·浙江·月考）已知a2,1,3,b4,x,y，且a//b，则（）

A．x2,y6B．x2,y6

C．x2,y6D．x2,y6

【答案】B

213

【解析】因为，所以，解得x2,y6.

a//b4xy

故选：B.

题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示

【例7】（多选题）（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量a1,1,0,b1,0,2，则下列结论正确

的有（）

A．a2

B．ab2

2π

C．a与b的夹角为

3

22

D．与a同向的单位向量是,,0

22

【答案】AD

222

【解析】对于A，由向量a1,1,0，可得a1102，故A正确；

对于B，由向量a1,1,0,b1,0,2，

可得ab1(1)10021，故B错误；

ab110

对于C，由向量的夹角公式，可得cosa,b，

ab2(1)2022210

2π1102π

而cos，则a,b，故C错误；

32103

a122

对于D，由题意得与a同向的单位向量(1,1,0)(,,0)，故D正确.

a222

故选：AD.

【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知空间向量a(1,2,1),b(3,2,1)，则（）

A．|a|6B．a∥bC．abD．(ab)b10

【答案】AC

22

【解析】因为a1216，所以A正确；

121

因为，所以不存在使ab，所以B不正确；

321

因为ab132(2)(1)(1)0，所以ab，所以C正确；

因为ab(4,0,2)，所以(ab)b430(2)(2)(1)14，所以D不正确．

故选：AC．

【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量BA(1,2,4)，BC(0,2,1)，则（）

A．BABC0

B．|CA|26

C．CA在CB上的投影向量为(0,2,1)

255

D．向量0,,是与BC平行的一个单位向量

55

【答案】ABD

【解析】对于A，因为BA(1,2,4)，BC(0,2,1)，所以BA·BC0440，A正确；

对于B，CABABC(10,2(2),41)(1,4,3)，

故|CA|124232116926，B正确；

CACB4231

CB0,21(0,2,1)

对于C，CB(0,2,1)，CA在CB上的投影向量即为2，C错误；

CB5

22

2555255

对于，因为，所以0,,BC，且2，

DBC(0,2,1)01

55555

255

故向量0,,是与BC平行的一个单位向量，D正确.

55

故选：ABD.

【变式7-3】（多选题）（24-25高二上·江西萍乡·期中）已知空间向量a2,4,4，b3,4,0，c1,2,2，

则（）

A．ab1,8,4

B．3c5b

C．a∥b

5

D．b在c方向上的投影向量为c

9

【答案】AD

【解析】对于A，ab23,44,401,8,4，故A正确；

22

对于B，b324025，c122223，所以5c3b，故B错误；

23

对于C，假设a∥b，则存在实数使得ab，则44，无解，所以假设错误，故C错误；

40

bcc314202c5

对于D，b在c方向上的投影向量为c，故D正确.

cc33