2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第10讲 抛物线（解析版）

第10讲抛物线

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第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：抛物线的定义

1、定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点.

3、准线：直线l叫做抛物线的准线.

4、集合表示：PMMFd,d为点M到准线l的距离.

5、注意事项：

（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．

（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这

也是利用抛物线定义解题的实质．

知识点2：抛物线的标准方程

1、推导过程

如图，以过F且垂直于l的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy．

pp

设KFp（p0），那么焦点F的坐标为(,0)，准线l的方程为x．

22

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合

P{M‖MF∣d}

2

p2p

|MF|xy，dx

22

2

p2p

xyx

22

将上式两边平方并化简，得y22px(p0)．①

p

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是(,0)它的准线方程是

2

p

x．

2

2、抛物线标准方程的四种形式：

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式

标准方程图形焦点坐标准线方程

pp

y22px(p0),0x

22

pp

y22px(p0),0x

22

pp

x22py(p0)0,y

22

pp

x22py(p0)0,y

22

知识点诠释：

①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；

②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如

抛物线x220y的一次项为20y，故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下）

③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线x220y的一次项20y的

系数为20，故其焦点坐标是(0,5)．

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，

首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），

然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．

⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程

的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要

遗漏某一种情况．

知识点3：抛物线的几何性质

标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

yy

PP

MM

图象

OFxFOx

PFPMPFPMPFPMPFPM

焦点pppp

F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)

2222

准线方程pppp

xxyy

2222

范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0

顶点原点(0，0)

对称轴x轴y轴

通径2p通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．

p刻画了抛物线开口的大小，p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄．

设为抛物线上一点

P(x0，y0)

焦半径pppp

PFxPFxPFyPFy

02020202

设过焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点

焦点弦

ABx1x2pAB(x1x2)pABy1y2pAB(y1y2)p

离心率e1e1e1e1

知识点4：方法技巧

由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法

1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参

数p，从而得焦点坐标与准线方程，要注意p0；

2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。

直线与抛物线的位置关系

1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：

相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.

2、以抛物线y22px(p0)与直线的位置关系为例：

（1）直线的斜率k不存在，设直线方程为xa，

若a0，直线与抛物线有两个交点；

若a0，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；

若a0，直线与抛物线没有交点.

（2）直线的斜率k存在.

设直线l:ykxb，抛物线y22px(p0)，

ykxb

直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，

2

y2px

即二次方程k2x22(kbp)xb20（或k2y22py2bp0）解的个数.

①若k0，

则当0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；

当0时，直线与抛物线相切，有个公共点；

当0时，直线与抛物线相离，无公共点.

②若k0，则直线yb与抛物线y22px(p0)相交，有一个公共点.

知识点5：二级结论

1、点P（，）与抛物线（＞）的关系

2

（）在抛0物线0内（含焦点）2．

1P���=2�y0�2�px00

（）在抛物线上2．

2Py02px0

（）在抛物线外2．

3Py02px0

y

MA

α

OFx

NB

2、p（p＞0）的几何意义

p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大．

3、焦点弦

若为抛物线2的焦点弦，，，则有

ABy2px(p0)A(x1,y1)B(x2,y2)

以下结论：

p2

（1）xx．（2）yyp2．

12412

（）焦点弦长公式：，，当时，焦点弦取最小值，即所有

31ABx1x2px1x22x1x2px1x22p

焦点弦中通径最短，其长度为2p．

2p

焦点弦长公式2：AB（为直线AB与对称轴的夹角）．

sin2

p2

（）AOB的面积公式：S（为直线AB与对称轴的夹角）．

4AOB2sin

（5）MFN90；

（6）以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或者BF为直径的圆与y轴相切；

（7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上；

（8）A，O，N三点共线，B，O，M三点共线．

4、抛物线中的点差法

已知直线与2交于两点，中点

ykxmy2px(p0)A(x1，y1)，B(x2，y2)M(x0，y0)

2①

y12px1

将A，B两点代入抛物线方程，，

2②

y22px2

yy2pp

①②12，即k．

x1x2y1y2y0

结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：p；

M(x0，y0)kk

y0

p

结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）；

P(x0，y0)y0yp(xx0)kP切

y0

结论③：过抛物线外一点P(x0，y0)引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：y0yp(xx0)．

1

结论④弦长公式：AB1k2xx1yy(kk0)

12k212AB

结论直线的方程为p

⑤AByy0(xx0)

y0

y

结论⑥线段AB的垂直平分线方程为yy0(xx)

0p0

【题型1抛物线的定义】

例1（22-23高二上·上海闵行·期末）A是定直线外的一定点，则过点A且与定直线相切的圆的圆心轨迹是

（）

A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线

【答案】D

【分析】设动圆的圆心为C，因为圆C是过定点A与定直线l相切的，所以CAd，由抛物线的定义，即

可判断轨迹．

【详解】解：设动圆的圆心为C，定直线为l，

因为圆C是过定点A与定直线l相切的，

所以|CA|d，

即圆心C到定点A和定直线l的距离相等．且A在l外，

由抛物线的定义可知，

C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线．

故选：D．

例2（24-25高二·上海·课堂例题）已知点M2,2，直线l:xy10，若动点P到l的距离等于PM，则

点P的轨迹是．

【答案】抛物线

【分析】根据题意结合抛物线的定义分析判断.

【详解】因为2210，可知Ml，

且抛物线的定义：动点到定点距离等于到定直线距离，

所以点P的轨迹是抛物线.

故答案为：抛物线.

变式1（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线y28x的焦点为F，点M是该抛物线上一点，且MF4，

设O是坐标原点，则线段OM的长为．

【答案】25

【分析】根据抛物线的定义求得点M的坐标，进而求得|OM|．

p

【详解】设M(x,y)，由抛物线定义得|MF|x4，又因为p4，所以x2，

00020

得2，所以22．

y016OMx0y041625

故答案为：25．

变式2（23-24高二下·上海·月考）拋物线x212y的焦点到其准线的距离是．

【答案】6

【分析】由焦点到准线的距离为p可求得结果

【详解】由x212y，得p12，得p=6，

因为抛物线的焦点到准线的距离为p，

所以拋物线x212y的焦点到其准线的距离是6，

故答案为：6

变式3（24-25高二上·上海·课后作业）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆

A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两条抛物线的焦点到对应准线的距离分别

112

2

为p1、p2.给出下面四个关系式：①d1；②p1p22d；③p1p2d；④.其中正确的关系

p1p2d

式为.

【答案】①②④

【分析】由已知，结合图象，把直线l向左平移1个单位得到直线l，可得C到l的距离与到A的距离相等，

则圆心C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线，可得p1d1，同理可得p2d1，当d1时，拋物

线不完整，计算即可判断所给四个关系式.

【详解】由题意知圆A的半径为1，设圆C的半径为R，当圆C与圆A相外切时，如图所示，

则有点C到直线l的距离为R，AC1R，

把直线l向左平移1个单位得到直线l，可得C到l的距离与到A的距离相等，

故圆心C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线，所以p1d1，

当圆C与圆A相内切时，如图所示，

把直线l向右平移1个单位得到直线l1，可得C到l1的距离与到A的距离相等，

故圆心C的轨迹是以A为焦点，l1为准线的抛物线，所以p2d1，

当0d1时，拋物线不完整，所以p2d1

2

所以d1，p1p22d，p1p2d1，

11112d2d2

22.

p1p2d1d1d1dd

故答案为:①②④.

【题型2抛物线的标准方程】

例3（24-25高二下·上海崇明·期末）方程(x1)2y2|x1|可以化简为（）

A．y22xB．y24xC．x22yD．x24y

【答案】B

【分析】等式两边同时平方，化简即可.

22

【详解】由(x1)2y2|x1|，两边同时平方有x1y2x1y24x，

故选：B.

2

2x

例4（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：y2pxp0的焦点与椭圆y21的右焦点重合，

2

顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为．

【答案】y24x

【分析】由抛物线的焦点坐标求标准方程.

x2

【详解】椭圆y21的右焦点坐标为1,0，由题意可知抛物线的焦点坐标为1,0，

2

所以抛物线C的标准方程为y2=4x．

故答案为：y2=4x．

变式1（24-25高二·上海·随堂练习）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是．

【答案】y28x

【分析】根据抛物线顶点和准线位置可知其开口方向，并求得其焦准距，即得抛物线方程.

p

【详解】由准线方程x2得2，解得p4，

2

且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴上），故可设y22px，代入即得，y28x．

故答案为：y28x.

2

变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：y2pxp0的焦点为F，准线l上有两点A、B，

若FAB为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是．

【答案】y242x或y28x

πππ

【分析】分AFB或FAB(FBA）两种情况讨论，由面积列方程即可求解

222

π1

【详解】由题意得，当AFB时，S2pp8，解得p22；

2△AFB2

ππ1

当FAB或FBA时，Sp28，解得p4，

22△AFB2

所以抛物线的方程是y242x或y28x.

故答案为：y242x或y28x.

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米．水面升

高1米后，水面宽是多少米？

【答案】42米

【分析】利用抛物线的标准方程求解.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B(4,2),

设拱桥满足的抛物线方程为x22py，

因为点B(4,2)在抛物线上，所以4p16，解得p4，

所以抛物线方程为x2=-8y，

当y1时，x22，

所以此时的水面宽为42米.

【题型3抛物线几何性质的简单应用】

例5（24-25高二上·上海·期中）若抛物线C:y22pxp0的焦点在直线x2y20上，则p等于（）

A．8B．4C．2D．1

【答案】B

【分析】将焦点坐标代入直线方程可得.

p

【详解】由题知，抛物线C的焦点为,0，

2

p

代入x2y20得20，解得p4.

2

故选：B

2

例6（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点P、Q分别为抛物线C：x22pyp1与圆M：x2yp1

上的动点，且PQ的最小值为2，则抛物线C的焦点到准线的距离为．

【答案】3

【分析】根据抛物线与圆的性质确定PQ取最小值时端点位置，从而求得p值后可得结论．

【详解】如图圆心M(0,p)在y轴正半轴，抛物线是顶点在原点，焦点在y轴负半轴的抛物线，

当Q与N（圆与y轴的交点在线段MO上），P与原点O重合时，PQ最小，

所以ONp12，p3，即抛物线C的焦点到准线的距离为3.

故答案为：3.

变式1（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线y216x，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：

22

x6y24上，则PQPF的最小值为.

【答案】8

【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小

距离.

【详解】如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则PFPA，

当CP垂直于抛物线的准线时，CPPA最小，

此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x4，C6,2，

半径为2，所以PQPF的最小值为AQCA21028.

故答案为：8.

变式2（24-25高二下·上海·期末）已知点A的坐标为3,2，点F为抛物线y22x的焦点，若点P在此抛物

线上移动，求PAPF取得最小值时点P的坐标是．

【答案】(2,2)

【分析】根据抛物线的定义，把|PA||PF|转化为|PA||PM|，利用当M,P,A三点共线时，|PA||PF|

取得最小值，把y2代入抛物线y22x解得x值，即得P的坐标.

【详解】根据题意，作图如下，

1

设点P在其准线x上的射影为M，

2

由抛物线的定义得|PF|PM，

所以欲使|PA||PF|取得最小值，就是使|PA||PM|最小，

17

|PA||PM||AM|3，当且仅当M,P,A三点共线时，等号成立.

22

即点P的纵坐标y02，

设点P的横坐标为x0，

2

Px0,2为抛物线y2x上的点，x02，

所以点P的坐标为(2,2).

故答案为：(2,2).

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知点A的坐标为3,2，点F为抛物线y22x的焦点，若点P在此

抛物线上移动，求PAPF的最小值，并求此时点P的坐标．

7

【答案】；(2,2)

2

【分析】根据抛物线的定义，把PAPF转化为PAPM，利用当M,P,A三点共线时，PAPF取得

最小值，把y2代入抛物线y22x解得x值，即得P的坐标.

【详解】根据题意，作图如下，

1

设点P在其准线x上的射影为M，

2

由抛物线的定义得PFPM，

欲使PAPF取得最小值，就是使PAPM最小，

17

PAPMAM3，当且仅当M,P,A三点共线时，等号成立.

22

7

所以PAPF取得最小值，此时M,P,A三点共线，即点P的纵坐标y2，

20

设点P的横坐标为x0，

2

Px0,2为抛物线y2x上的点，x02，

点P的坐标为P(2,2).

【题型4直线与抛物线】

例7（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线方程y24x，过点P0,2的直线与抛物线只有一个交点，这样

的直线有（）条

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

【分析】考虑直线斜率存在：k0，k0和不存在三种情况，讨论即可得解.

【详解】因为点P0,2不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为x0，满足题意；

当直线斜率k0时，易知y2满足条件；

当直线斜率存在且k0时，设直线方程为ykx2，

y24x

由，整理得到k2x24k4x40，

ykx2

2

Δ4k416k201

由，解得k

2.

k02

综上所述：满足条件的直线有3条.

故选：D

例8（22-23高二上·上海浦东新·月考）过定点P0,1且与抛物线y28x有且仅有一个公共点的直线有（）

A．1条B．2条C．3条D．4条

【答案】C

【分析】根据题意，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，由直线与抛物线位置关系，联立直线与抛物线

方程求解，即可得出结果.

【详解】当斜率不存在时，直线方程为x0，只有一个公共点，符合题意；

当斜率存在时，设为k，则直线方程为ykx1，

ykx122

联立2，得kx(2k8)x10，

y8x

①当k0时，直线方程为y1，只有一个公共点，符合题意；

②当k0时，令(2k8)24k20，解得k2，即直线与抛物线有一个公共点.

所以满足题意的直线有3条.

故选：C

变式1（24-25高二上·上海浦东新·月考）坐标平面上一点P到点A(1,0)，Ba,2及到直线x1的距离都

相等．如果这样的点P有且只有两个，那么实数a的取值范围是．

【答案】(1,1)(1,)

【分析】由题意可知，点P在抛物线上，因为点P有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解.

【详解】由题意可知，点P在以A1,0为焦点，x1为准线的抛物线上，同时在线段AB的垂直平分线上，

因为这样的点P有且只有两个，则线段AB的中垂线与抛物线有两个交点，

a11a1aa1

即线段AB的中点坐标为(,1)，线段AB中垂线的斜率为k，则中垂线方程为y1(x)，

2222

y24x

22

联立1aa1，化简得，(1a)y8y2a60，

y1(x)

22

由b24ac8a38a224a400，即a3a23a50，

因式分解为：(a1)(a22a5)0，解得a1，

又因为a1，所以实数a的取值范围是(1,1)(1,).

故答案为：(1,1)(1,)

变式2（23-24高二上·上海青浦·月考）已知直线ykx4与抛物线y28x有且只有一个公共点，则实数k

的值是．

1

【答案】0或

2

【分析】由题意知，直线ykx4斜率存在，且经过定点A(0,4)，由图知，过点A(0,4)斜率存在且与抛

物线y28x有且只有一个公共点的直线有两条，一条与x轴平行，一条与与抛物线相切,求之即得.

【详解】

如图，因直线ykx4的斜率为k,且经过定点A(0,4)，又抛物线y28x的对称轴为x轴，

故当k0时，直线y4与抛物线有且只有一个公共点；

ykx4

y22

由2消去，得：kx8(k1)x160，

y8x

1

由64(k1)264k2128k640，解得：k，此时直线与抛物线相切.

2

1

综上，k0或k.

2

1

故答案为：0或.

2

变式3（25-26高二上·上海·期中）求过定点M0,2且与抛物线y24x只有一个公共点的直线的方程．

【答案】x0、y2和x2y40

【分析】讨论斜率存在和不存在两种情况，且当讨论斜率存在时，联立直线和抛物线方程，细分二次项系

数是否为零进一步求得直线的斜率，最后由直线的斜率即可求得直线方程．

【详解】当直线斜率不存在时，又过定点M0,2，此时直线方程为x0，

将x0代入抛物线方程y24x，得y20，即y0，只有一个公共点0,0，符合题意；

当直线斜率存在时，设斜率为k，又过定点M0,2，则直线方程为ykx2，

2

将其代入抛物线方得kx24x，展开并整理k2x24k4x40，

当k0时，方程即为4x40，解得x1，代入直线方程得y2，只有一个公共点1,2，此时直线方

程为y2，符合题意；

当k0时，此时方程是一元二次方程，因为只有一个公共点，所以判别式0，

21

即Δ4k44k2432k160，解得k，

2

11

将k代入直线方程ykx2，得yx2，即x2y40，

22

综上，满足条件的直线方程为x0、y2和x2y40．

【题型5抛物线有关的最值，定值问题及综合应用】

例9（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知抛物线对称轴为x轴．若抛物线上的动点到直线3x4y120的

最短距离为1，则该抛物线的标准方程为．

21

【答案】y2x

4

【分析】首先平移直线，至与抛物线相切时，此时点到直线的距离最短，利用平行线距离公式求得切线方

程，再利用直线与抛物线的位置关系，即可求解.

【详解】如图，若抛物线上的动点到直线3x4y120的最短距离为1，即抛物线的焦点在x轴的负半轴，

设抛物线方程为y22px,p0，如图，平移直线3x4y120，当直线与抛物线相切时，此时切点到直

线的距离为最小值1，

设切线方程为3x4yc0，切点到直线3x4y120的距离为平行线间的距离，

c12

即1，得c7或c17（舍），所以切线方程为3x4y70，

3242

21

联立y22px，得3y28py14p0，64p2168p0，得p或p0（舍），

8

21

所以抛物线方程为y2x.

4

21

故答案为：y2x

4

例10（22-23高二上·上海浦东新·月考）若直线l过抛物线y22x的焦点，交抛物线于M,N两点，则

11

．

FMFN

【答案】2

【分析】设Mx1,y1，Nx2,y2，根据抛物线的焦半径公式求的FM,FN，联立方程，利用韦达定理求

出x1x2，x1x2，化简整理即可得解.

11

【详解】解：易知焦点F,0，准线方程为x，

22

1

当直线的斜率不存在时，直线方程为x，

2

1111

此时|FM|1，|FN|1，

2222

11

所以2，

FMFN

11

当直线斜率存在时，设过点F,0的直线方程为ykx，

22

2

21

代入抛物线方程得kx2x，

2

1

化简后为k2x2k22xk20，

4

设Mx1,y1，Nx2,y2，

k221

则有xx，x1x2，

12k24

11

|FM|x，|FN|x，

1222

11xx1

122

∴|FM||FN|11，

x1x2

22

11

综上2.

FMFN

故答案为：2.

例11（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线T:y22px的焦点为F1,0，

A、B是抛物线Γ上两个不同的点．

(1)求抛物线Γ的方程；

(2)若直线AB斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；

(3)设直线OA、OB的斜率为kOA、kOB，若kOAkOB2，证明：直线AB过定点，并求该定点的坐标．

【答案】(1)y24x；

(2)8

(3)证明见解析，定点坐标为2,0

p

【分析】（1）根据焦点坐标为1，故p2，所以抛物线为y24x；

2

（2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案；

xmyn

（3）设出直线AB的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据kOAkOB2得到方程，求出n2，

得到恒过的定点.

【详解】（1）抛物线T:y22px的焦点为F1,0，

p

则1，即p2，所以抛物线为y24x；

2

y24x

（2）直线AB的方程为l:yx1，联立抛物线Γ和直线l的方程：，

yx1

2

得x6x10．320，设Ax1,y1,Bx2,y2，

由韦达定理得x1x26，

故ABx1x2p628.

（3）由题意可知AB所在直线斜率不为0，AB所在直线方程xmyn．

y24x

联立抛物线Γ和直线AB的方程：，化简可得：y24my4n0，

xmyn

2

则16m16n0．由韦达定理可得y1y24n，

yyyy1616

kk12122

又由已知OAOB22，则．

x1x2y1y2y1y24nn2

16

此时直线AB:xmy2恒过点2,0．

1

变式1（22-23高二下·上海徐汇·期中）求抛物线C：y=x2上的点到直线l：yx1的最小距离．

2

【答案】35

8

【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.

1

【详解】设抛物线y=x2上的点P(x,x2)，则点P到直线yx1，

002

1215

22(x0)1

即的距离|x02x02|35，当且仅当时取等号，

x2y20d48x0

224

(2)158

35

所以所求最小距离为.

8

变式2（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线l：ykxm与抛物线Γ：y28x交于点A，B．

(1)若直线l的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线l的方程；

(2)若OAOB0，且km0，证明：直线l过定点．

【答案】(1)yx2；

(2)直线l过定点(8,0)，证明见解析.

【分析】（1）根据直线l的倾斜角为45°可以确定直线l的斜率为1，抛物线Γ：y28x的焦点为(2,0)，根据

点斜式可求得直线l的方程；

y28x

（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，联立消去x，根据韦达定理可知y1y2的值，在求出x1x2，在用向

ykxm

量乘法运算法则可求解.

【详解】（1）焦点F(2,0)，斜率k1，故直线l的方程为yx2；

y28x

（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，联立消去x，

ykxm

整理得ky28y8m0，由km0可知k0且m0，

22222

8my1y2y1y2m

根据韦达定理可知y1y2，xx，

k128864k2

m28m

由，即xxyy0，得，

OAOB01212x1x2y1y220

kk

即m8k，直线l：ykx8k，

故直线l过定点(8,0).

变式3（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点F0,1，直线l:y1.P是平面上的

动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且满足QPQFFPFQ.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)记点P的轨迹为曲线C，过点F作直线m，与曲线C交于A,B两点，求证：OAOB为定值.

【答案】(1)x24y

(2)3

【分析】（1）设P(x,y)，根据QPQFFPFQ，代入P(x,y)化简求解轨迹方程即可；

2

,,(,)x4y

（2）设直线m的方程为ykx1，设A(x1y1)Bx2y2，联立方程组，得到韦达定理形式，最后

ykx1

表达出OAOB，求解即可.

【详解】（1）设P(x,y)，则Q(x,1)，且F0,1，

因为QPQFFPFQ，所以0(x)2(y1)x22(y1)，即x24y，

所以点P的轨迹方程为：x24y，是以F(0,1)为焦点开口向上的抛物线.

（2）过点F作直线m，与曲线C交于A,B两点，显然直线m的斜率存在，

,,(,)

且F(0,1)，设直线m的方程为ykx1，设A(x1y1)Bx2y2，

22

则x14y1,x24y2，

x24y

联立方程组，得x24kx40，

ykx1

16k2160，直线m与曲线C一定有两个交点，

其中x1x24k,x1x24，

(xx)216

OAOBxxyyxx1243.

1212121616

故OAOB