2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第08讲 椭圆（解析版）

第08讲椭圆

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：椭圆的定义

1．椭圆的第一定义

平面内与两个定点的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两

个定点F1、F2叫做椭圆�的1,焦�2点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．

2．椭圆的第二定义

平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半

焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．

3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a（a＞0）}．

（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；

（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；

（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．

【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨

迹才为椭圆．

知识点2：椭圆的标准方程

椭圆标准方程的两种形式：

（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；

（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．

两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2

两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．

标准方程

（a＞b＞0）（a＞b＞0）

中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上

图形

顶点A（a，0），A′（﹣a，0）A（b，0），A′（﹣b，0）

B（0，b），B′（0，﹣b）B（0，a），B′（0，﹣a）

对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b

2b焦点在长轴长上

焦点在长轴长上

焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）

焦距|F1F2|＝2c（c＞0）|F1F2|＝2c（c＞0）

c2＝a2﹣b2c2＝a2﹣b2

离心率

e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）

准线

x＝±y＝±

知识点3：椭圆的离心率

1离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=，且0＜e＜1．

��

离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

②��

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，

方程为x2+y2＝a2．

【题型1椭圆的定义】

x2y2

例1设P是椭圆1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点距离之和为（）

64

A．6B．22C．4D．26

【答案】D

【分析】首先求出a，再根据椭圆的定义得解.

x2y2

【详解】椭圆1，则a26，所以a6，

64

因为P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点距离之和为2a26.

故选：D

例2平面内点P到F13,0、F23,0的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（）

x2y2x2y2

A．1B．1

2592516

y2x2y2x2

C．1D．1

2592516

【答案】B

【分析】求出a,b,c即可得出动点P的轨迹方程.

【详解】由题意，

平面内点P到F13,0、F23,0的距离之和是10，

∴动点P的轨迹E为椭圆,焦点在轴上,

c3,2a10,解得：a5，

∴b2a2c216，

x2y2

∴轨迹方程为:1，

2516

故选:B.

x2y2

变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆1上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点．若PF16，

10036

则PF2．

【答案】14

【分析】利用椭圆的定义求解即可.

x2y2

【详解】因为1,所以2a20,又PF16,则PF220614.

10036

故答案为：14.

2

x2

变式2（24-25高二下·上海·月考）已知F1,F2分别为椭圆C:y1的两个焦点，P为椭圆上一点，则

4

PF1PF2的最大值为.

【答案】23

【分析】根据椭圆的几何性质结合PF1PF2F1F2求解即可.

2

x2

【详解】F1,F2分别为椭圆C:y1的两个焦点，则F13,0,F23,0，

4

所以PF1PF2F1F223，当且仅当P位于椭圆的右顶点时取等号，

故PF1PF2的最大值为23.

故答案为：23.

x2y2

变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆1的两个焦点为F1、F2，过F2的直线交椭圆于M、

43

△

N两点，则F1MN的周长为．

【答案】8

【分析】根据椭圆定义求解.

x2y2

【详解】由椭圆1可知a24，即a2，

43

△

由椭圆的定义可知，F1MN的周长为MF1MF2NF1NF22a2a4a8，

故答案为：8

【题型2椭圆的标准方程】

x2y2

例3（25-26高二上·上海浦东新·月考）方程1表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（）

m26m

A．2,6B．2,22,6

C．2,6D．2,

【答案】B

【分析】根据方程表示椭圆，列出满足条件不等式组，解得答案.

x2y2

【详解】因为方程1表示的曲线为椭圆，

m26m

m20

所以6m0，解得2m6且m2.

m26m

故选：B

例4（25-26高二上·上海浦东新·期中）若椭圆焦点为F10,3,F20,3，且长半轴的长等于5，则该椭圆的

标准方程为.

y2x2

【答案】1

2516

【分析】根据给定条件，直接求出椭圆标准方程.

22

【详解】椭圆焦点为F10,3,F20,3，且长半轴的长等于5，则短半轴长b534，

y2x2

所以该椭圆的标准方程为1.

2516

y2x2

故答案为：1

2516

x2y2

变式1（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆1的焦点在x轴上，焦距为2，则m＝．

10m

【答案】9

【分析】根据椭圆的性质a2b2c2求解即可.

x2y2

【详解】因为椭圆1的焦点在x轴上，焦距为2，则a210，b2m，c1，

10m

所以10m12，解得m9，

故答案为：9

变式2求焦点在x轴上，焦距为26，且过点3,2的椭圆的标准方程．

x2y2

【答案】1

93

x2y2

【分析】根据题意，设椭圆方程为1ab0，结合题意，列出方程组，求得a,b的值，即可求解.

a2b2

x2y2

【详解】由椭圆焦点在x轴上，所以可设其方程为1ab0，

a2b2

因为椭圆的焦距为26，可得2c26，所以c6，所以a2b26，

32

又因为椭圆过点，所以，

3,2221

ab

x2y2

联立方程组，可得a29,b23，所以所求的方程为1．

93

变式3（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程.

53

(1)两个焦点的坐标分别为F12,0，F22,0，并且椭圆经过点,

22

(2)椭圆经过点P23,1和Q3,2.

x2y2

【答案】(1)1

106

x2y2

(2)1

155

【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于a2,b2的方程组，由此可求a2,b2的值，则椭圆标准方程

可得；

（2）设出椭圆方程mx2ny21m0,n0,mn，代入点的坐标可求m,n，则椭圆标准方程可求.

【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，

x2y2

设它的标准方程为1ab0，

a2b2

由已知得c2，又因为a2c2b24b2，

22

53

53259

因为,在椭圆上，所以22，即1，

2214a24b2

a2b2

2

2593

122

从而有22，解得b6或b，

44b4b2

x2y2

因此a24b24610，从而所求椭圆的标准方程为1，

106

（2）设椭圆的方程为mx2ny21m0,n0,mn，

因为椭圆经过两点P23,1和Q3,2，

1

m

12mn115x2y2

所以，即椭圆方程为1，

3m4n11

n155

5

【题型3椭圆几何性质的简单应用】

例5（25-26高二上·上海·月考）下列椭圆中，短轴长等于焦距的是（）

x2y2

A．1

43

y2

B．x21

5

x2y2

C．1

84

x2y2

D．1

45

【答案】C

【分析】根据方程分别求得各选项中的椭圆的短轴长和焦距即可.

【详解】对于A，短轴长2b23，焦距2c2432，则短轴长不等于焦距，A错误；

对于B，短轴长2b2，焦距2c2514，则短轴长不等于焦距，B错误；

对于C，短轴长2b4，焦距2c2844，则短轴长等于焦距，C正确；

对于D，短轴长2b4，焦距2c2542，则短轴长不等于焦距，D错误.

故选：C.

例6（24-25高二下·上海·期中）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为

一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面m千米，远地点（离地面最远的点）B距离

地面n千米，并且F2、A、B在同一条直线上，地球的半径为R千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（）

千米

A．2mRnRB．mRnRC．2mnD．mn

【答案】A

【分析】根据椭圆的对称性，找到a、b、c与地球半径之间关系，求解即可.

【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，由题可知，

mRac

由题意可得，

nRac

上述两个等式相乘可得mRnRacaca2c2b2，

因此，卫星运行的轨道的短轴长为2b2mRnR千米.

故选：A.

变式1（25-26高二上·上海·月考）点P(x,y)在曲线3x24y212上运动，则x22y的最大值为

19

【答案】/4.75

4

4

【分析】结合已知消元得x22yy22y4，再由x20得3y3，最后利用二次函数性质求解

3

最值.

2

222422424319

【详解】因为3x4y12，所以x4y，所以x2yy2y4y，

33344

又x20，所以y23，所以3y3，

2

32431919

所以当y时，x2yy最大值为.

43444

19

故答案为：

4

x2y2

变式2（25-26高二上·上海嘉定·月考）若椭圆的方程为1，且椭圆的一个焦点为2,0，则

10aa2

实数a

【答案】4

【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可.

x2y2

【详解】因为1是焦点在x轴上的椭圆的方程，所以10aa20，所以2a6，

10aa2

由椭圆的方程可得c210aa2122a，又c2，

所以122a4，解得a4，符合.

故答案为:4.

x2

变式3（24-25高二上·上海·月考）已知椭圆C:y21a0的焦距为42，点A2,0.

a2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P是椭圆C上任一点，求PA的最大值与最小值.

x2

【答案】(1)y21

9

2

(2)最大值是5，最小值是

2

【分析】（1）根据椭圆的焦距可得出关于a的等式，解之可得出椭圆的标准方程；

x2

（2）设点Px,y，则3≤x≤3，且y21，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得PA

9

的最大值和最小值.

【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦距为2c2a2142，解得a3，

x2

因此，椭圆C的标准方程为y21.

9

x2

（2）设点Px,y，则3≤x≤3，且y21，

9

22

2x8x

所以，PAx2y2x24x414x5，

99

8x29

因为二次函数fx4x5的图象开口向上，对称轴为直线x，

94

99

所以，函数fx在区间3,上单调递减，在,3上单调递增，

44

91

所以，fxf，

min42

又因为，，则，

f381251f3812525fxmaxf325

8x22

所以，PA4x5,5.

92

2

所以，PA的最小值为，最大值为5.

2

【题型4求椭圆的离心率（或范围）】

例7（25-26高二上·上海浦东新·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（）最接近圆.

x2y2x2y2

A．1B．1

491612

C．x29y236D．5x23y230

【答案】B

【分析】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案.

c5

【详解】A：a3,c945，则e；

a3

c1

B：a4,c16122，则e；

a2

22

22xyc4222

C：x9y36即1，a6,c36442，则e；

364a63

x2y2c210

D：5x23y230即1，a10,c1062，则e；

610a105

110522

因为，所以选项B中椭圆离心率最小，故最接近圆.

2533

故选：B

例8（22-23高二上·上海宝山·月考）如果椭圆的焦距､短轴长､长轴长成等差数列，则其离心率为（）

3139

A．B．2C．D．

53410

【答案】A

【分析】根据已知条件列方程，化简求得离心率.

ac

【详解】依题意22b2a2c,2bac,b，

2

2

2222ac2

由于abc，所以ac，

2

5c22ac3a20，5c3aca0，

c3

由于ca为正数，所以5c3a0,.

a5

故选：A

x2y2

变式1曲线1的离心率为．

1312

【答案】13

13

【分析】根据椭圆方程求出a,c，从而可求出离心率.

【详解】因为a13,c13121，

c113

所以e

a1313

故答案为：13

13

x2y2x2y2

变式2（24-25高二·上海·随堂练习）双曲线1和椭圆1有共同的焦点，则椭圆的离心率

m22n22m2n2

是．

【答案】30

6

【分析】根据双曲线和椭圆标准方程和离心率公式即可求解.

22

xy222

【详解】对于双曲线1，设右焦点为c1,0，所以cm2n，

m22n21

22

xy222

对于椭圆1，设右焦点为c2,0，所以c22mn，

2m2n2

22222222

因为有共同的焦点，所以c1m2nc22mn，所以m3n，

c2m2n25n25n230

所以椭圆的离心率是1．

e2

2m22m22m26n6

故答案为：30

6

x2

变式3（25-26高二上·上海·期中）已知a1，椭圆C：y21．

a2

(1)若椭圆C的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆C的方程和离心率e；

(2)设点P的坐标为2,0，Q为椭圆C上的动点，若Q为椭圆C右顶点时，PQ取到最小值，求a的取值范

围．

x225

【答案】(1)y21，e；

55

(2)1,12

x2

【分析】（1）先由椭圆方程C：y21，得到b1，再利用三角形面积为2，列方程求出c2，则由

a2

ab2c25，故可以写出椭圆方程和离心率；

2

x2

（2）设出Qx,y，利用Q在椭圆上得到x,y之间的关系y21，再表示出PQ关于x的表达式为

a2

2

122a

fx1x4x5，根据条件得到在a,a当xa时fx有最小值得到a，最后结合题目

a2a21

求解a的取值范围

x2

【详解】（1）由椭圆方程C：y21，a1得b1

a2

122

设焦点为F1,F2,短轴顶点为B,则SBFF2cb2，即c2，所以abc5，所以椭圆方程为

122

x2c225

y21，离心率e；

5a55

x2x2

（2）设Qx,y则y21，即y21，xa,a；

a2a2

2

2222x12

PQx2yx211x4x5

a2a2

12

令fx1x4x5，xa,a

a2

12a2

因为a1，所以10，所以fx为开口朝上的抛物线，对称轴为x；

a2a21

因为Q为椭圆C右顶点时，PQ取到最小值，所以当xa时，fx有最小值；

2

2a2

所以a，即aa2a10，

a21

因为a1，所以a22a10，解得12a12，

又因为a1，所以1a12，所以a的取值范围是1,12.

【题型5直线与椭圆】

x2y2

例9已知2bac，则直线ax+by+c=0与椭圆1的位置关系是（）

65

A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况均有可能

【答案】A

【分析】结合题意得直线ax+by+c=0过定点1,2，再结合点1,2在椭圆内部即可判断.

【详解】解：因为2bac，所以直线ax+by+c=0可化为a2xyy2c0，

所以，直线ax+by+c=0过定点1,2，

x2y2

因为点1,2在椭圆1内部，

65

x2y2

所以，直线ax+by+c=0与椭圆1的位置关系是相交.

65

故选：A

x2y2

例10若直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是．

5m

【答案】m1且m5

【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.

【详解】由直线ykx1，则可知其过定点0,1，

易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，

m0

2

021

则1，解得m1且m5.

5m

m5

故答案为：m1且m5.

x2y2

变式1（25-26高二上·上海·月考）若过点P1,n的任意直线均与椭圆1相交，则实数n的取值范围

65

是．

5656

【答案】,

66

12n2

【分析】由题意可得到P1,n在椭圆内部，所以1，解该不等式即可得到答案．

65

x2y2

【详解】若过点P1,n的任意直线都与椭圆1相交（非相切），

65

12n25656

说明点P必须在椭圆内部，得到1，解得n,．

6566

5656

故答案为：,

66

x2y2

变式2（25-26高二上·上海·期中）若直线ymx2与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则n的

9n

取值范围是

【答案】4,9

x2y2

【分析】由题意直线ymx2恒过的定点0,2在椭圆上或椭圆内，结合1表示焦点在x轴上的椭

9n

圆，即可列不等式求解.

【详解】直线ymx2恒过定点0,2，若直线与椭圆总有公共点，

4

则定点0,2在椭圆上或椭圆内，1，解得n4或n0，

n

x2y2

又1表示焦点在x轴上的椭圆，故0n9，n4,9.

9n

故答案为：4,9.

x2mx

变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动点P(m,n)在椭圆C：y21之外，作直线l：ny1．证

22

明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点．

【答案】证明见解析

m2

【分析】直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后由判别式0可证，证明过程中注意有n21.

2

2

x2

y1

22222

【详解】由消去y得，(m2n)x4mx44n0，（*）

mx

ny1

2

16m24(m22n2)(44n2)16n2(m22n22)，

m2

因为P(m,n)在椭圆之外，所以n21，即m22n220，

2

所以0，方程（*）有两个不等的实根，即直线l与椭圆C有两个不同的公共点；

【题型6椭圆的中点弦问题】

x2y2

例11若椭圆1的弦AB被点P1,1平分，则AB所在直线的方程为（）

94

A．9x4y130B．4x9y130

C．x2y30D．x3y30

【答案】B

【分析】

利用点差法求出直线AB的斜率，再利用点斜式可得出直线AB的方程.

【详解】若直线ABx轴，则点A、B关于x轴对称，则直线AB的中点在x轴，不合乎题意，

所以，直线AB的斜率存在，设点Ax1,y1、Bx2,y2，则x1x2y1y22，

x2y2

111

94x2x2y2y2

所以，，两式作差可得12120，

x2y294

221

94

xxxxyyyy2xx2yy

即121212120，即12120，

9494

y1y24

可得直线AB的斜率为kAB，

x1x29

4

所以，直线AB的方程为y1x1，即4x9y130.

9

故选：B.

x2y2

例12（25-26高二上·上海·期中）若椭圆1的弦被点1,1平分，则这条弦所在的直线方程是.

84

【答案】x2y30

【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案．

【详解】设弦的两个端点分别为Ax1,y1，Bx2,y2，

x2y2x2y2

则111，221，

8484

xxxxyyyy

两式相减可得12121212，

84

y1y24x1x2121

所以kAB，

x1x28y1y2222

1

所以弦所在的直线方程为y1x1，即x2y30.

2

故答案为：x2y30.

x2y2

变式1（24-25高二上·上海·期中）过椭圆C：1(ab0)右焦点F的直线l：xy20交C于A、

a2b2

1

B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的标准方程为.

2

x2y2

【答案】1

84

【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得c，再设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，点A,B坐标代入椭圆方程

相减得出直线AB与直线OP斜率的关系，从而求得a,b的关系，结合c可求得a,b得椭圆方程．

【详解】在xy20中令y0得x2，所以椭圆右焦点为F(2,0)，即c2，

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，2x0x1x2，2y0y1y2，

x2y2

111

22(xx)(xx)(yy)(yy)

ab12121212

∴，两式相减得220，

x2y2ab

221

a2b2

2

222b

y1y2b(x1x2)bx0b1

所以，即k，从而1，

xxa2(yy)a2yABa2ka2()

12120OP2

∴a22b2，

又c2a2b2b24，因此a28，

x2y2

∴椭圆标准方程1，

84

x2y2

故答案为：1

84

x2y2

变式2已知A,B是椭圆C:1的两点，AB的中点P的坐标为4,1．

369

(1)求直线AB的方程；

(2)求A,B两点间距离．

【答案】(1)xy50

810

(2)

5

【分析】（1）根据题意，设直线方程为y1kx4，然后联立方程，结合韦达定理即可得到k，从而得

到直线方程；

（2）根据题意，由韦达定理可得x1x2,x1x2，结合弦长公式代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）由题意知AB的斜率存在，设为k，设Ax1,y1,Bx2,y2，则直线方程为y1kx4，联

立方程

x2y2

12222

36914kx8k32kx64k32k320

ykx4k1

32k28k

则xx8k1，

124k21

经检验符合题意，则直线AB的方程为y1x4xy50．

x1x28

2

（2）由（1）可知联立后的方程为5x40x64064，

x1x2

5

64810

AB1(1)2824．

55

x2

变式3求所有斜率为1的直线被椭圆y21所截得线段的中点的轨迹．

4

【答案】点M的轨迹是直线x4y0在椭圆内的部分

【分析】设直线yxb被椭圆所截得的线段的两个端点A、B的横坐标为x1、x2，线段AB中点为

4

xb

M5

MxM,yM．联立直线与椭圆方程，由0求出b的取值范围，再列出韦达定理得到，消去参

b

y

M5

数，即可得到轨迹方程.

【详解】

Mx,y

如图，设直线yxb被椭圆所截得的线段的两个端点A、B的横坐标为x1、x2，线段AB中点为MM．

2

x2

y122

联立直线方程和椭圆方程得方程组4，消去y，并整理得5x8bx4b10．

yxb

2

当判别式8b454b2116b250，

即5b5时，上述方程有两个不同的实数解，即直线与椭圆的相交线段存在．

4

xb

8M5

因为xxb，yxb，从而，

125MMb