2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第07讲 直线与圆的位置关系（解析版）

第07讲直线与圆的位置关系

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：直线与圆的位置关系及判断

位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；

（3）直线与圆相离，没有公共点．

判定方法：

（1）几何判定法：

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：

①d>r圆与直线相离；

②d＝⇔r圆与直线相切；

③d<r⇔圆与直线相交．

（2）⇔代数判定法：

AxByC0

由消元，得到一元二次方程的判别式，则

222

(xa)(yb)r

①0直线与圆相交；

②0⇔直线与圆相切；

③<0⇔直线与圆相离.

⇔

知识点2：弦长

设直线的方程为，圆的方程为222，弦长的求法有几何法和代数法：

lykxbC(xx0)(yy0)r

（1）几何法:如图,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有

|AB|

()2d2r2,

2

即|AB|2r2d2.

（）代数法如图将直线方程与圆的方程联立设直线与圆的两交点分别是

2:,,A(x1,y1),B(x2,y2),

1

则|AB|(xx)2(yy)21k2|xx|1|yy|(直线l的斜率k存在).

121212k212

知识点3：直线与圆相切的相关知识点

1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点

(2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解.

（3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等.

(4)过切点过圆心的直线与切线垂直.

2.求切线方程的常用方法：

（）求过圆上一点的圆的切线方程的方法

1(x0,y0)

1

先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方

k

程．若或不存在，则可直接得切线方程为或．

k0kxx0yy0

（）求过圆外一点的圆的切线方程的方法：

2(x0,y0)

①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，

yy0k(xx0)kxykx0y00

可求得k，切线方程即可求出．

②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元

yy0k(xx0)ykxkx0y0x

二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出．

注意过圆外一点的切线必有两条。

知识点4：利用直线与圆的位置关系求范围

（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代

数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到

数形结合的思想．

y

（2）若P(x,y)是定圆C：(xa)2(yb)2r2上的一动点，则mxny和这两种形式的最值，一般都

x

有两种求法，分别是几何法和代数法．

|manbt|

①几何法．mxny的最值：设mxnyt，圆心C(a,b)到直线mxnyt的距离为d，

m2n2

由dr即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值．

yy

的最值：即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值．

xx

②代数法．mxny的最值：设mxnyt，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，

求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值．

yy

的最值：设t，则ytx，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个

xx

值，一个为最大值，一个为最小值．

知识点5：圆与圆位置关系及判断

（1）几何法

位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示

两圆相离

dr1r2

0

两圆内含

dr1r2

两圆相交

2r1r2dr1r2

两圆内切

dr1r2

1

两圆外切

dr1r2

其中和分别是圆和圆的半径

r1r2C1C2,d|C1C2|.

（2）代数法

联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数210

两圆的公共点个数210

两圆的位置关系相交.外切或内切相离或内含

知识点6：两圆的公共弦

（1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当

两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．

（2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出

两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解．

【题型1圆的切线方程】

例1（25-26高二上·上海浦东新·月考）经过点2,4且与圆x2y24相切的直线方程为．

【答案】x2或3x4y100

【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求

得直线斜率，即可求得切线方程.

【详解】由题意知，圆心坐标为0,0，半径为2，

当过点2,4的直线斜率不存在时，直线方程为x2，符合题意；

当过点2,4的直线斜率存在时，设直线方程为y4kx2，

2k43

即kxy2k40，依题意有2，解得k，

k214

33

此时直线方程为xy240，即3x4y100，

44

所以所求切线的方程为x2或3x4y100.

故答案为：x2或3x4y100.

例2（24-25高二下·上海·月考）圆x2y25的过点M(1,2)的切线的一般式方程为.

【答案】x2y50

【分析】由点M在圆上，所以过M点的切线和O(圆心)M垂直，求出斜率，用点斜式求出方程.

【详解】根据题意，圆x2y25的圆心为O(0,0)，半径r5，

点M(1,2)在圆上,则kOM2，

1

则切线的斜率k，

2

1

则切线的方程为y2x1,变形可得2yx50;

2

故答案为:x2y50

变式1（24-25高二下·上海·月考）已知圆M:x2y24x0，点A1,3，则经过点A且与圆M相切的直

线方程为.

【答案】x3y20

【分析】将点A坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直

线方程.

2

【详解】x24x4y24，即M:x2y222，M2,0，

22

∵12322，即点A在圆M上，

30

设切线为l，则lAM，k3，

AM12

13

∴kl，

kAM3

3

∴切线l:y3x1，即l:x3y20.

3

故答案为：x3y20.

变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过点4,3且与圆x2y225相切的直线的方程．

【答案】4x3y250

【分析】分直线的斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解.

【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线方程为：x4，与圆相交；

当直线的斜率存在时，设直线方程为：y3k(x4)，即kxy4k30，

4k3

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d5，

1k2

4

即9k224k160，解得k，

3

4

所以直线方程为y3(x4)，即4x3y250.

3

22

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）（1）如图，已知点Mx0,y0为圆C:xy4上一点，求过点M的

圆C的切线l的方程．

（2）过点M2,23且与圆x2y24相切的直线的方程．

【答案】（1）x0xy0y4；（2）x3y40或x20．

【分析】（1）利用直线的点法式即可得解；

（2）分类讨论切线斜率存在与否，结合点线距离公式即可得解.

22

【详解】（1）因为点Mx0,y0是l与圆C的切点，可知x0y04，

且过点的半径与垂直，即是的一个法向量，

MOMlOMx0,y0l

于是可得切线l的点法式方程为x0xx0y0yy00．

22

整理得x0xy0yx0y04，

所以过点M的圆C的切线l的方程为x0xy0y4．

2

（2）由OM22234知，点M在已知圆外．

若所求直线斜率存在，可设所求直线的方程为y23kx2，即kxy2k230．

2k2323

由题意，得圆心O0,0到该直线的距离2，即k3k21，解得k；

k213

323

此时所求直线的方程为xy230，即x3y40；

33

若所求直线斜率不存在，则其方程为x2，即x20，

02

此时圆心O0,0到所求直线的距离为2，即等于半径的长，满足题意；

1202

综上：所求直线的方程为x3y40或x20．

【题型2弦长问题】

例3（23-24高二下·上海宝山·月考）直线xy10被圆x2y22x4y0所截得的弦长为（）

A．3B．23C．3D．6

【答案】B

【分析】先求出圆心和半径，利用弦长与半径的关系可得答案.

22

【详解】圆x2y22x4y0化为标准方程为：x1y25,圆心为1,2，r5；

121

圆心到直线的距离为d2，所以弦长为2r2d225323.

2

故选：B.

例4（24-25高二上·上海·月考）在圆C:x2y22x6y0内，过点E(0,1)的直线被该圆所截得弦AB的长

度的最小值为.

【答案】25

【分析】由题意可得当CEAB时，弦AB的长度取得最小值，所以先求出CE的长，再利用勾股定理可求

出AB的最小值

【详解】圆C:(x1)2(y3)210，则圆心C(1,3)，半径为10，

由圆的性质可知当CEAB时，弦AB的长度取得最小值，

因为CE(10)2(31)25，

所以弦AB的长度的最小值为2(10)2(5)225

故答案为：25

变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）过点1,1的直线l与圆C：x24xy20相交于A、B两点，则AB

的最小值是．

【答案】22

【分析】利用垂径定理很快就可以找到最小弦长的直线，再利用勾股定理进行求解即可.

2

【详解】因为圆C：x24xy20x2y24，圆心C2,0，半径R2

所以当过点P1,1的直线l垂直于PC时，弦长AB取最小值，

即AB=2R2PC224222.

故答案为：22.

变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆x2y26x8y25r2与x轴相切，求这个圆截y轴所得的

弦长．

【答案】27

【分析】根据题意，先求得圆的标准方程，然后令x0，求得y，即可得到弦长.

22

【详解】将圆x2y26x8y25r2方程化为标准式可得，x3y4r2，

22

因为圆与x轴相切，则r4，即圆的方程为x3y416，

令x0，解得y47，则圆截y轴所得的弦长为474727.

变式3（23-24高二上·上海宝山·月考）在平面直角坐标系xOy中，过点P0,1且互相垂直的两条直线分别

22

与圆O:x2y24交于点A，B，与圆M:x2y11交于点C，D.

(1)若直线AB的斜率为3，求ABM的面积；

235

(2)若AB，求CD的长；

3

339

【答案】(1)；

5

25

(2)

3

【分析】（1）先求解直线AB的方程，再计算AB与M点到直线AB的距离，进而可得ABM的面积；

（2）设直线AB:ykx1，再根据垂径定理可得k28，进而根据垂径定理求解CD即可.

【详解】（1）若直线AB的斜率为3，则直线AB的方程为3xy10.

300110

所以O点到直线AB的距离为2，

32110

3211310

d

M点到直线AB的距离为2，

3215

所以AB242，所以S△ABd.

101010ABM25

（2）由题可知，直线AB的斜率显然存在且不为0，设为kk0，则直线AB:ykx1.

22

1AB

所以点到直线的距离d，所以1，

OAB124

k12k21

235351

又AB，所以4，解得k28.

391k2

1

因为直线AB与直线CD互相垂直，所以直线CD:yx1.

k

22

11

kk

d

所以点M到直线CD的距离222，

11

11

kk

4425

所以CD2121.

k21813

【题型3过交点方程】

例5（24-25高二下·上海·月考）若直线ykx1与曲线yx24x3恰有两个公共点，则实数k的取值

范围是（）

4444

A．,B．0,C．1,D．1，

3333

【答案】D

【分析】根据题意得：ykx1为恒过定点(0,1)的直线，曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的上半圆，由此

利用数形结合思想能求出k的取值范围．

【详解】根据题意得：ykx1为恒过定点A(0,1)的直线，

由曲线yx24x3，可得(x2)2y21(y0)，

所以曲线表示圆心为C(2,0)，半径为1的上半圆，如图所示，

|2k1|

当直线与圆C相切时，有1，

k21

4

解得：k0（舍去）或k，

3

把B(1,0)代入ykx1，得k1，

4

k的取值范围是[1,)．

3

故选：D.

22

例6（24-25高二上·上海·月考）已知直线l:yx2与圆O:xy4相交于A、B两点，则ABAO的值

为.

【答案】4

【分析】联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求ABAO.

yx2

2

【详解】由题意，联立22，有x2x0，解得x0，x2，

xy4

若A0,2，则B2,0，则ABAO2,20,220224.

故答案为：4.

变式1（23-24高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：yx上在第一象限内的点，

B5,0，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若ABCD0，则点A的横坐标为.

【答案】5

【分析】先设A点坐标，然后表示出圆的方程，将直线与圆的方程联立，求出点D坐标，然后根据向量垂

直求出参数，求出A点坐标.

a5a

【详解】设A(a,a)(a0)，因为B(5,0)，所以C(,)，

22

2

a5aa5a2

则圆C的方程为(x)2(y)2，即(xa)(x5)y(ya)0，

224

y=x55

联立，解得D(,)，

(xa)(x5)y(ya)022

a5a

由ABCD(5a,a)(,)0，得a25a0，解得a0或a=5，

22

又a0，所以a=5，即A(5,5)，所以点A的横坐标为5.

故答案为：5

变式2已知圆C:x2y2ax2ay50恒过定点A，B，则直线AB的方程为．

1

【答案】yx

2

【分析】由圆的方程化简，确定A,B的坐标，由此确定直线AB的方程.

【详解】方程x2y2ax2ay50，可化为ax2yx2y250，

所以点A,B为直线x2y0与圆x2y25的交点，

所以若点A的坐标为2,1，则点B的坐标为2,1，

1

所以直线AB的方程为yx，

2

1

故答案为：yx.

2

变式3（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线l1:2xy10和l2:xy20的交点为P，求以点P

为圆心，且与直线3x4y10相交所得弦长为12的圆的标准方程．

【答案】(x3)2(y5)272

【分析】联立两直线方程，可以求出交点坐标，根据点到直线距离公式和圆的弦长公式，以及圆的标准方

程即可求解.

2xy10x3

【详解】联立，解得，

xy20y5

所以P坐标为(3,5)，

33451

圆心到直线3x4y10的距离为d6，

3242

l

半径为rd2()2626262.

2

2

圆的标准方程为：(x3)2(y5)26272.

故圆的标准方程为：(x3)2(y5)272.

【题型4位置关系问题及求解参数】

y

例7如果实数x,y满足等式(x2)2y23，则的最大值是（）

x

133

A．B．C．D．3

232

【答案】D

y

【分析】表示圆上动点与原点O连线的斜率，画出满足等式(x2)2y23的图形，由数形结合，可求出

x

y

的最大值．

x

【详解】满足等式(x2)2y23的图形如图所示：

y

表示圆上动点与原点O连线的斜率，

x

y

由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切取最大值，

x

连接BC，在RtOBC中，BC3，OC2

3

易得sinBOCBOC60

2

y

此时tan603

x

故选：D．

例8（24-25高二下·上海宝山·月考）若直线l:kxy3k0与曲线C:1x2y1有两个不同的交点，则

实数k的取值范围是．

13

【答案】,

24

【分析】根据直线和圆的位置关系，结合图象来求得正确答案.

【详解】直线l:kxy3k0，即ykx3，过定点D3,0，

曲线C:1x2y1（y1），

2

可化为x2y11（y1），

即以0,1为圆心，半径为1的圆的上半部分，

画出直线和半圆的图象如下图所示，

101

设A1,1，则k的最小值为kAD.

132

当直线l与半圆相切于B点时，圆心0,1到直线l:kxy3k0的距离：

13k3

1，解得k或k0（舍去），

1k24

13

所以k,.

24

13

故答案为：,

24

2

变式1（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线ykx2与圆x1y21相交，则实数k的取值范围

是．

3

【答案】,

4

【分析】利用几何法求解直线与圆相交时，k的取值范围.

2

【详解】x1y21的圆心为(1,0),

2

则当直线ykx2与圆x1y21相交时，

k2

圆心到直线的距离小于半径，则1.

k21

3

解得：k,,

4

3

故答案为：,.

4

2y

变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知实数x、y满足x2y23，求的取值范围．

x

33

【答案】,

33

yy0

【分析】表示圆上的点Px,y与原点O0,0所在直线的斜率，求出过原点O0,0与圆相切的切

xx0

线的斜率，即可得解.

yy0

【详解】表示圆上的点Px,y与原点O0,0所在直线的斜率，设为k，

xx0

故此圆的切线方程为ykx，

再根据圆心2,0到切线的距离等于半径，

2k03

可得r1，解得k，

1k23

y33

所以的取值范围为,．

x33

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线yxm和曲线y1x2有两个交点，求实数m的取值

范围．

【答案】m1,2

【分析】易得曲线y1x2表示圆x2y21在x轴及x轴上方的部分，结合图象求出临界值，进而可得出

答案.

【详解】曲线y1x2表示圆x2y21在x轴及x轴上方的部分，

当直线yxm与半圆相切时，m0，

m

此时1，解得m2（m2舍去），

11

当直线yxm过点1,0时，m1，

由图可知，m1,2.

【题型5利用位置关系求最值】

例9（23-24高二上·上海宝山·月考）设A、B为圆x2y21上的两动点，且AOB120，P为直线

l:3x4y150上一动点，则PAPB的最小值为.

【答案】5

【分析】取AB中点C，求出C点轨迹方程，PAPB2PC，转化求C点到直线l上点的距离的最小值，

由此计算可得.

1

【详解】设C是AB中点，因为AOB120，所以OCOAsin30，

2

1

即C在以原点为圆心，为半径的圆上，

2

所以PAPBPCCAPCCB2PC，所以PAPB2PC，

0015

155

又POmin3，所以PC3，所以|PAPB|25.

32(4)2min22min2

故答案为：5

例10圆x2y24上的点到直线4x3y250的距离的最小值是．

【答案】3

【分析】由圆心到直线的距离减去半径求解即可.

【详解】圆x2y24的圆心坐标为(0,0)，半径为2，

|25|

圆心到直线4x3y250的距离d52，

4232

所以圆x2y24上的点到直线4x3y250的距离的最小值是523．

故答案为：3

变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）直线mxny10（m0，n0）截圆x22xy22y0的弦

14

长为22，则的最小值为.

mn

【答案】9

【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得m,n关系，然后

由基本不等式求得最小值．

【详解】由题意圆的标准方程是(x1)2(y1)22，圆的圆心为C(1,1)，半径为r2，

弦长为22，则弦为直径，已知直线过圆心，

所以mn10，即mn1，

14144mn4mn4mn12

(mn)()5529，当且仅当即m,n时等号成立．

mnmnnmnmnm33

故答案为：9．

22

变式2已知直线l:xy40与圆C:x1y12，求圆C上各点到直线l的距离的最大值．

【答案】32

【分析】先求出圆心到直线的距离d，再根据圆C上各点到直线l的距离的最大值为dr即可得解.

22

【详解】圆C:x1y12的圆心C1,1，半径r2，

114

圆心C1,1到直线l:xy40的距离d22，

11

所以圆C上各点到直线l的距离的最大值为dr32.

变式3已知圆C的圆心坐标为1,2，且圆C与直线l:x2y70相切，过点A3,0的动直线m与圆C

相交于M、N两点，点P为MN的中点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)求OP的最大值．

【答案】(1)(x1)2(y2)220

(2)52

【分析】（1）运用点到直线距离公式求出圆C的半径；

（2）求出点P的运动轨迹，再确定OP的最大值．

11227

【详解】（1）由题意知点C到直线l的距离为d25，也是圆C的半径，

12(2)2

圆C的半径为25，

则圆C的标准方程为(x1)2(y2)220；

（2）依题意作出图形如图所示，

P为弦MN的中点，由垂径定理知：CPMN，又MN过定点A，

1122

点P的轨迹为以CA为直径的圆，圆心为A，C的中点(2,1)，半径为CA(31)(02)2，

22

22；

OPmax21252

OP的最大值为52．

一、填空题

2

1．（23-24高二上·上海·月考）若直线xy10是圆xay21的一条对称轴，则a．

【答案】1

【分析】将问题转化为直线过圆心，从而得解.

2

【详解】圆xay21的圆心坐标为a,0，

2

因为直线xy10是圆xay21的一条对称轴，所以圆心a,0在此直线上，

所以a010，解得a1.

故答案为：1.

2．（24-25高二上·上海松江·期中）若圆C：x2y22mx4y10关于直线y=3x+1对称，则实数

m.

1

【答案】

3

【分析】根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，即可代入求值.

【详解】由题知，直线y=3x+1过圆C的圆心m,2，

1

则3m12，解得m.

3

1

故答案为：

3

3．（23-24高二上·上海·期末）过点1,1作圆x2y22的切线，则切线方程为.

【答案】xy20

【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.

【详解】由题意可知：圆x2y22的圆心为0,0，

因为点1,1在圆x2y22上，故切线必垂直于切点与圆心连线，

10

而切点与圆心连线的斜率为1，故切线的斜率为1，

10

故切线方程为：y1x1即xy20.

故答案为：xy20.

2

4．（24-25高二上·上海·月考）过点M3,3作圆C:x1y225的切线，则切线的一般式方程为．

【答案】4x3y210

【分析】求出圆经过点M的直径所在直线的斜率即可得切线斜率，进而求出切线方程.

22

【详解】因为313225，所以点M3,3在圆C:x1y225上，而圆心C(1,0)，

3034

直线CM的斜率k，因此圆C在点M处切线斜率为，

(3)143

4

所以所求切线方程为y3x3，即4x3y210.

3

故答案为：4x3y210

5．（24-25高二下·上海·月考）过点A1,1作圆(x3)2(y4)225的切线l，则直线l的方程为.

【答案】4x3y10

【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用dr解方程.

【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为y1kx1，即kxy1k0，

4k34

则圆心3,4到切线的距离5，得k，

k213

切线方程为4x3y10；

当直线斜率不存在时，直线方程为x1，则圆心3,4到切线的距离d45，故直线x1不是切线.

故直线l的方程为4x3y10.

故答案为：4x3y10.

22

6．（23-24高二下·上海黄浦·月考）已知直线l：xy50，圆C：x2y281，则直线l被圆C

所截得的线段的长为．

【答案】92

【分析】根据已知求出圆心、半径以及圆心到直线的距离，进而根据弦长公式，即可得出答案.

22

【详解】由已知可得，圆C：x2y281的圆心为C2,2，半径r9，

2259

圆心到直线xy50的距离为d9，

22

所以，直线与圆相交.

2

2229

根据垂径定理可得，直线l被圆C所截得的线段的长为2rd2992.

2

故答案为：92.

7．（24-25高二上·上海·期中）若圆x2y22x30与直线xy10相交于A、B两点，则弦AB的长

为．

【答案】22

【分析】根据题意，求得圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解.

【详解】由圆x2y22x30，可化为(x1)2y24，可得圆心为C(1,0)，半径为r2，

101

则圆心C(1,0)到直线xy10的距离为d2，

1212

所以弦长AB2r2d224(2)222.

故答案为：22.

8．（23-24高二上·上海·月考）已知bR，若圆x2y29上恰有四个点到直线yxb的距离为1，则b的

取值范围是.

【答案】22,22

【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】由圆的方程x2y29，可得圆心为0,0，半径为3，

若圆上恰有四个点到直线yxb的距离等于1，

则圆心到直线yxb的距离小于312，

直线的一般式方程为xyb0，

b

则d2，解得22b22，

2

则b的取值范围是22,22.

故答案为：22,22.

9．（24-25高二上·上海闵行·月考）已知圆C:x2(y2)2R2(R0)上恰好存在2个到直线y3x2的距

离为1的点，则R的取值范围是.

【答案】1,3

【分析】由圆的方程可得圆心与半径，整理直线方程为一般式，求得圆心到直线的距离，结合题意，可得

答案.

【详解】由圆C:x2(y2)2R2，则圆心C0,2，半径为R，

由直线y3x2，则一般式为3xy20，

022

圆心到直线的距离d2，

31

由题意可知d1Rd1，解得1R3.

故答案为：1,3.

10．（24-25高二下·上海·月考）在以点3,2为圆心，2为半径的圆上取任意一点Px,y，若

3x4ya63x4y的取值与x,y无关，则实数a的取值范围是.

【答案】,27

【分析】先将z转化为点P到两直线距离之和的5倍，根据z取值与x,y无关得出距离和与P位置无关，再

由圆心到直线l距离判断圆与直线l相离，最后根据直线m与圆相切求出a的值并确定a的取值范围.

【详解】由已知可得Px,y所在的圆的方程为(x3)2(y2)24，

3x4ya3x4y6

设z3x4ya63x4y5，

32423242

故z可看作点P到直线m:3x4ya0与直线l:3x4y60

距离之和的5倍，

因为3x4ya63x4y的取值与x,y无关，

所以这个距离之和与P点在圆上的位置无关，

3342611

圆心3,2到直线l的距离为2，

32425

所以圆与直线l相离，如图所示，可知直线m平移时，

P点与直线m,l的距离之和均为直线m,l之间的距离，此时可得圆在两直线之间，

当直线m与圆(x3)2(y2)24相切时，

3342a

2，解得a7（舍去），或a27，所以a27.

3242

故答案为：,27

11．（25-26高二上·上海松江·期中）关于x的方程1x2kx21有两个不同的实数根，则实数k的取

值范围.

4

【答案】1,

3

【分析】把问题转化为曲线y1x2与ykx21有两个交点，画出图象，由数形结合思想即可求解.

【详解】关于x的方程1x2kx21有两个不同的实数根，

即曲线y1x2与直线