初中数学九年级（北师大版）下册第五章《投影与视图》复习知识清单

初中数学九年级（北师大版）下册第五章《投影与视图》复习知识清单

一、投影：光与影的数学原理

（一）投影的基本概念与分类【基础】

1、投影的定义：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。理解投影的形成需要三个要素：光源、物体和投影面。

2、投影的分类：根据光源的不同，投影分为中心投影和平行投影。这是本章最重要的分类标准，也是解决相关问题的逻辑起点。

（二）中心投影【高频考点】★★★

1、定义：由同一点（点光源）发出的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影。例如：路灯、手电筒、台灯、蜡烛的光芒下形成的影子。

2、核心性质：

（1）光线相交：所有光线都始于同一点光源。

（2）共线关系：光源、物体上的点及其影子上的对应点在同一条直线上。这是作图与计算的核心依据。

（3）影长变化：在点光源下，物体离光源越近，影子越短（但变化非线性）；离光源越远，影子越长。等高的物体，距离光源近的影子短，距离光源远的影子长；等长的物体（平行于地面放置），距离光源越近，影子越长，反之越短。

3、重要考向与题型：

（1）确定光源位置：给定物体与影子，通过作两对对应点连线的交点来确定点光源的位置。

（2）作图：作出物体在点光源下的影子。方法是过光源和物体顶端作直线，与投影面的交点即为影子的顶端。

（3）计算：利用相似三角形（通常是由光线、物体和影子构成的三角形与由光线、光源高度等构成的大三角形相似）进行相关计算。

4、典型例题与解题步骤【难点】：

（1）题型：如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，影子的长度是变长了还是变短了？变化了多少米？

（2）解题步骤：

步骤一：建模。将实际问题抽象为几何模型，画出截面图。标注已知数据：PO=8m，小明身高=1.6m，OA=20m，AB=14m。

步骤二：分析。判断影子的位置。人在A点（远）时，影子在A点右侧；人在B点（近）时，影子在B点右侧。分别在图中画出两个位置的影子AC和BD。

步骤三：计算。利用相似三角形对应边成比例。在A点位置，由△MAC∽△POC，得MA/PO=CA/CO，即1.6/8=CA/(CA+20)，解得CA=5m。在B点位置，OA=20，AB=14，则OB=6m。由△NBD∽△POD，得NB/PO=DB/DO，即1.6/8=DB/(DB+6)，解得DB=1.5m。

步骤四：作答。5m>1.5m，所以影子变短了，缩短了5-1.5=3.5m。

5、易错点：在中心投影中，虽然影长与物高不成正比，但它们与光源的距离存在几何关系（相似）。切忌直接用平行投影中“物高与影长成正比”的规律来解中心投影问题。【非常重要】

（三）平行投影【高频考点】★★★

1、定义：由平行光线（如太阳光）所形成的投影叫做平行投影。在平行投影中，光线是平行的。

2、核心性质：

（1）光线平行：同一时刻，光线方向一致。

（2）物高与影长成正比：同一时刻，不同物体的高度与其在地面上的影长成正比。即：甲物高/甲影长=乙物高/乙影长。这是解决实际测量问题的核心工具。【重要】

（3）方向性：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的方向变化为：西→西北→北→东北→东。影长的变化为：长→短→长。

（4）正投影：当平行光线垂直于投影面时，这种投影称为正投影。正投影能真实反映物体的形状和大小（如线段、平面图形平行于投影面时）。

3、重要考向与题型：

（1）判断光线类型：区分中心投影和平行投影。关键是看光线是否平行，或物体的影子是否在同一时刻指向同一方向。

（2）测量物高：利用标杆、自身身高与影长，通过比例关系求大树、旗杆、建筑物的高度。

（3）影子落在斜坡上：此类问题更具综合性，需要将影子分为地面部分和斜坡部分进行处理，常需结合三角函数或构造直角三角形求解。【难点】【热点】

4、典型例题与解题步骤（影子落在斜坡上）：

（1）题型：如图，小明想测量一棵树AB的高度。他发现树的影子恰好落在地面BC和一斜坡CD上。已知地面部分影长BC=5m，斜坡部分影长CD=4m，斜坡与水平地面的夹角∠DCE=30°。同一时刻，他测得1m长的标杆在地面上的影长为2m。求树AB的高度。（结果精确到0.1m）

（2）解题步骤：

步骤一：处理斜坡影长。过D点作DH⊥CE于点H。在Rt△CDH中，∠DCH=30°，CD=4m，则DH=2m，CH=2√3≈3.46m。

步骤二：转化思想。将树的影子“延长”至水平地面。过D点作DG⊥AB于G，则四边形BHDG为矩形，GB=DH=2m，GD=BH=BC+CH=5+3.46=8.46m。

步骤三：构造相似。实际上，光线AF（F为树尖A的影子）是平行的。我们可以理解为，如果没有斜坡，树的影子会一直延伸到水平地面的某点F。但此处，我们可以利用“同一时刻，物高与影长成正比”的原理。树AB在水平地面上的“等效影长”应为BF（水平距离），但这里我们有DG作为树AG部分（即AB减去地面以上2m的部分）在水平面上的影长。

更清晰的解法：过D作DE的垂线，交AB的延长线于F。则四边形BFDC是梯形？不，更好的方法是延长AD交BC的延长线于M。则M点是树尖A在假设地面全是水平的情况下的影子的位置。此时，地面部分影长BM=？我们需要求出CM。

步骤四：利用两次相似或比例。光线AM//标杆光线。设AB=h。则AG=h-2（因为G点高度等同于D点高度，即2m）。在水平投影中，AG的影长应为DG=8.46m。根据比例：标杆1/2=树高AG/DG，即1/2=(h-2)/8.46，解得h-2=4.23，h=6.23≈6.2m。

5、易错点：

（1）忽略影子方向：同一时刻，所有物体的影子方向必须相同。

（2）正投影理解偏差：当物体平面不平行于投影面时，其正投影会发生形变（如线段变短，矩形变平行四边形），但中考要求不高，重在理解其本质。

（四）中心投影与平行投影的对比辨析【难点】

1、光线来源：中心投影光线交于一点；平行投影光线平行。

2、影长与物高关系：中心投影不成比例（依赖距离）；平行投影成比例（同一时刻）。

3、判断方法：过物体顶端及其影子顶端作直线，若两直线平行则为平行投影，若相交于一点则为中心投影。

4、应用场景：中心投影用于路灯、探照灯下的影子问题；平行投影用于太阳光下的影子问题。

二、视图：从立体到平面的转化

（一）三视图的概念与位置【基础】

1、视图的定义：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形。

2、三视图的构成：

（1）主视图：从正面看到的图形，反映物体的长和高。

（2）左视图：从左面看到的图形，反映物体的高和宽。

（3）俯视图：从上面看到的图形，反映物体的长和宽。

3、三视图的位置关系：主视图在左上边，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。这是国家标准规定的布局，画图时必须遵守。【重要】

（二）三视图的投影规律（三等关系）【核心法则】★★★★★

1、长对正：主视图与俯视图的长（水平方向尺寸）相等，且左右两端对正。

2、高平齐：主视图与左视图的高（竖直方向尺寸）相等，且上下平齐。

3、宽相等：俯视图与左视图的宽（纵深方向尺寸）相等。注意：俯视图的宽体现在竖直方向上（从上往下看的前后距离），左视图的宽体现在水平方向上（从左往右看的前后距离）。两者数值相等。【非常重要】【易错点】

（三）常见几何体的三视图【高频考点】★★★★

1、正方体：三视图都是全等的正方形。

2、圆柱：主视图和左视图都是全等的矩形（或正方形），俯视图是圆。

3、圆锥：主视图和左视图都是全等的等腰三角形，俯视图是圆（带圆心点，表示顶点）。

4、球：三视图都是全等的圆。

5、正三棱柱：主视图是矩形（中间可能有一条虚线或实线，取决于摆放），左视图是矩形（宽度较窄），俯视图是正三角形。

6、正四棱锥：主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是正方形（带对角线交点，表示顶点）。

7、圆台：主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆。

（四）画三视图的规则与要求【基础操作】★★

1、确定方向：先确定主视图的观察方向，通常选择能反映物体主要特征的方向。

2、布局定位：画出主视图，然后在下方画俯视图，右方画左视图。

3、遵循法则：严格遵循“长对正、高平齐、宽相等”的法则作图。可利用“45°辅助线”或“圆弧连接法”来保证俯视图与左视图的宽相等。

4、虚实分明：看得见的轮廓线画成实线，看不见但存在的轮廓线（如被挡住的棱）画成虚线。【关键点】这是检验是否真正理解视图本质的标志。

5、复杂组合体：对于由基本几何体构成的组合体，应先分析其组成部分，再逐一画出，并注意遮挡关系。

（五）由三视图还原几何体【难点】【核心素养】★★★★★

1、基本方法：想象法。将三个视图“叠加”起来，在脑海中构建立体图形。

2、具体步骤：

（1）俯视图定根基：俯视图通常反映物体的底面形状，是构建几何体的“地基”。

（2）主视图定高度：主视图反映物体的长度和高度，可以知道物体各部分的大致高度。

（3）左视图定宽度：左视图反映物体的宽度和高度，辅助确定纵深方向的形状。

（4）综合分析：将三个视图的信息综合起来，判断各部分之间的位置关系（上下、左右、前后）和连接方式。

3、常见题型：

（1）确定几何体的形状：给出三视图，说出它是哪种几何体或画出其草图。

（2）确定小立方块的个数：给出由小立方块搭成的几何体的三视图（或其中两个视图），求组成该几何体所需小立方块的最多/最少个数。【高频考点】【热点】

（3）计算表面积或体积：先由三视图还原几何体，再根据图中标注的尺寸计算其表面积（注意是否有被遮挡的面）或体积。

4、典型例题与解题步骤（确定小立方块个数）：

（1）题型：由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示。请画出该几何体的左视图的所有可能情况，并求出组成该几何体的小正方体的最多块数和最少块数。

（2）解题步骤：

步骤一：俯视图打地基。在俯视图的每个小方格内，根据主视图提供的高度信息，标注可能摆放的层数。

步骤二：主视图疯狂盖。主视图反映了每一列的最大高度。从俯视图的列对应主视图的列，确定每列的最大可能层数。

步骤三：结合左右视图（此题未给）或进行推理。要保证主视图不变，那么每一列的最高层数必须与主视图一致。在此基础上，其他位置可以放1块（保证立体图形稳定），也可以不放（如果有悬空则不行）。最少块数时，在保证主视图和俯视图不变的前提下，其他位置只放必要的支撑块（通常为1）。最多块数时，在不超过每列最大高度的前提下，所有能放的位置都放满。

步骤四：计算。假设俯视图有3列，每列格子数已知。根据主视图得知第一列最大高度为3，第二列为1，第三列为2。那么最多块数：第一列所有格子都放3块，第二列所有格子放1块，第三列所有格子放2块。然后求和。最少块数：第一列必须有且仅有一个格子放3块（主视图能看到3层），其余格子放1块（起支撑作用或为空，但不能影响主视图）；第二列所有格子都放1块；第三列必须有且仅有一个格子放2块，其余格子放1块。再求和。

5、易错点：

（1）忽略虚线的含义：视图中的虚线表示被遮挡的轮廓，还原几何体时，虚线提示了该处有凹进去或被挡住的棱。

（2）尺寸误读：未注意视图上标注的尺寸，导致还原的几何体比例失调。

（3）想象力匮乏：平时要多观察实物，多做实物与视图的转化练习，培养空间观念。

三、综合应用与数学思想方法

（一）核心素养体现

1、空间观念：本章是培养空间想象能力和几何直观能力的关键章节。通过投影与视图的学习，学生需要在二维平面和三维立体之间进行自由的切换和转化。

2、建模思想：将生活中的影子问题（如测量旗杆高度、路灯下行走）抽象为几何模型（相似三角形、直角梯形等），并用数学方法解决。

3、分类讨论：在中心投影中，点光源位置不同，影子方向不同；在由三视图还原几何体时，小立方体的摆放可能存在多种情况，需要进行分类讨论，尤其是求最多、最少个数的问题。【难点】

（二）考点全景透视与备考策略【考试指南】

1、投影部分（分值约占3-5分）：

（1）选择题/填空题：主要考查对中心投影和平行投影概念的理解，如判断下列现象属于哪种投影，或给出两幅影子图判断光源位置。

（2）解答题：通常与相似三角形、三角函数知识结合，考查实际应用。如测量树高、楼高，求路灯高度等。解题关键是将实际问题转化为数学相似模型。【必考】

2、视图部分（分值约占5-7分）：

（1）选择题/填空题：这是最主要的考查形式。包括：

①给出几何体，判断其三视图（尤其是左视图或俯视图）。【高频考点】

②给出三视图，判断几何体的形状。【高频考点】

③给出由小立方体搭成的几何体的俯视图及其数字表示，画出或选择主视图/左视图。

④给出三视图中的两个，求小立方体的个数（最多、最少）。

（2）解答题：较少出现，但一旦出现，往往是综合题，如先由三视图还原几何体，再计算其表面积或体积，要求计算准确，并注意单位。【难点】【热点】

3、备考策略：

（1）回归教材，夯实基础：熟记常见几何体的三视图，理解并会背诵“长对正、高平齐、宽相等”九字真言。

（2）掌握核心方法：

①投影问题：关键抓“相似”，无论是平行投影的比例，还是中心投影的光线、物体、影子共线构成的相似三角形。

②视图问题：关键抓“转化”，熟练进行“几何体→三视图”和“三视图→几何体”的双向转化。

（3）专