初中数学七年级上册展开与折叠知识清单

初中数学七年级上册展开与折叠知识清单

一、核心概念与基本原理

（一）立体图形的展开图【基础】【必考】

将一个立体图形的表面按照一定的规则（通常沿某些棱剪开），展平后所得到的平面图形，称为该立体图形的展开图。理解这一概念的关键在于认识到展开图与原立体图形表面的一一对应关系，即展开图是由立体图形的各个表面通过展开、平移、旋转后在同一平面内拼接而成的闭合图形。同一个立体图形，由于剪开的棱不同，可以得到多种不同形状的展开图。

（二）平面图形的折叠【基础】【必考】

与展开过程相反，将一个平面图形通过想象或实际操作，沿着某些线（即将成为棱的线）进行翻折，围成一个立体图形，这个过程称为折叠。折叠是展开的逆过程，是检验一个平面图形是否为某个立体图形展开图的根本方法。

（三）展开与折叠的互逆关系【重要】

展开与折叠是互逆的两个过程，它们共同构成了空间图形与平面图形之间转换的桥梁。这种转换的核心是“对应关系”的建立，具体包括：

1、面与面的对应：展开图中的每个多边形区域，对应于立体图形上的一个表面。

2、棱与棱的对应：展开图中多边形的边，对应于立体图形上的棱。展开图中相邻多边形的公共边，对应于立体图形上相邻表面的公共棱。在折叠过程中，这些边必须完全重合。

3、顶点与顶点的对应：展开图中多条边的公共端点，对应于立体图形上的顶点。在折叠后，原来分散在不同位置的多个顶点可能会重合于立体图形的同一个顶点。

（四）空间想象能力与转化思想【核心素养】

本专题的核心是培养和发展学生的空间观念与几何直观。核心思想方法是将三维空间问题（立体图形）转化为二维平面问题（展开图）来处理，或者反之。这要求学生能够：

1、在脑海中模拟将一个立体图形“剪开”并“铺平”的过程。

2、在脑海中模拟将一个平面图形“折起”并“围拢”成立体图形的过程。

3、准确识别和理解图形在转化过程中的变与不变。不变的是：面的形状和大小、棱的长度、相邻关系（在折叠后，展开图中原本不相邻的面可能会成为相邻面）；变化的是：图形中各部分的位置关系。

二、常见几何体的展开图分类详析

（一）正方体的展开图【★★★★★】【高频考点】【重中之重】

正方体有6个面，12条棱，8个顶点。其展开图形式多样，但必须满足能围成一个完整、无重叠、无缝隙的立方体的条件。识别和记忆正方体的11种基本展开图是解决此类问题的基础。

1、类型划分与识别口诀【难点】

为了便于记忆，通常将这11种展开图分为四大类，即著名的“一四一”型、“二三一”型、“二二二”型和“三三”型。

（1）“一四一”型（6种）【高频】：

中间一行（或一列）有4个正方形并排，上下两行各有1个正方形。这1个正方形可以放在中间4个正方形的任意一个的上方或下方，但需注意上下两个正方形不能放在同一侧导致无法折叠。这种类型最为常见，结构稳定，容易识别。

（2）“二三一”型（3种）【高频】：

中间一行有3个正方形，上方有2个正方形并排，下方有1个正方形。或者中间一行有3个正方形，上方有1个正方形，下方有2个正方形。关键在于“2”和“1”不能与中间的“3”构成“凹”字形或“L”形。

（3）“二二二”型（1种）【基础】：

三行两列，每行均有2个正方形，呈阶梯状排列，像一串向上的阶梯。

（4）“三三”型（1种）【基础】：

两行三列，每行均有3个正方形，但只有一种特定的错位排列方式，两行之间仅有一个公共边。

2、判断展开图能否折叠成正方体的方法【解题步骤】

给定一个由6个大小相同的正方形组成的平面图形，判断其是否为正方体的展开图，可采用以下方法：

（1）结构排除法：首先观察图形是否由6个正方形构成。然后对照上述11种基本模型，看其是否属于其中一种。凡是有“田”字形（四个正方形围成一个田字格）、“凹”字形（图形中有明显的凹陷缺口）、“L”形（超过2个正方形呈直角拐弯）的图形，一定不能折叠成正方体。

（2）想象折叠法：在脑海中或纸上选定一个面作为底面，然后想象其他面围绕它向上折起，检查最终能否围拢且不产生重叠。这是一种根本方法，需要多加练习。

（3）顶点标注法（进阶）：在展开图上标记各个顶点，通过折叠后顶点的重合关系来判断结构的合理性。

3、寻找正方体展开图相对面与相邻面的规律【★★★★★】【必考】【难点】

这是本专题最重要的考点，主要解决从展开图到立体图形的“对面”和“邻面”问题。

（1）基本原理【重要】：

在正方体中，任何一个面都有且只有一个相对的面（对面），其余四个面都是它的相邻面（邻面）。在展开图中，原本在立体图形中相对的两个面，展开后必定不会相邻。

（2）判定方法：

①同行或同列间隔法（“Z”端是对面）【重要】：

在一行或一列中，如果中间隔着一个正方形，那么这两个正方形就是相对的面。例如，在一行四个正方形中，第一个和第三个是相对面；第二个和第四个也是相对面。这是最基本的判定方法。

②“Z”字形两端法【★★★★★】【高频考点】【解题关键】：

这是最常用也最易出错的方法。沿着图形边缘，寻找形如“Z”字型的路径（可以旋转、拉长）。如果两个正方形分别位于这个“Z”字型的两端，并且它们之间只隔着一个“拐弯”的连接，那么这两个面就是相对的面。这里的“Z”字型可以正着、斜着、横着。准确理解“Z”字两端是攻克难题的关键。

（3）相邻面的判定：

相邻面的关系更为复杂。在展开图中，原本在立体图形中相邻的面，在展开图中要么直接相连（有公共边），要么通过折叠后才会相邻（原本没有公共边）。解题时，常利用“邻面”关系来排除错误选项。例如，给定一个立体图形及其三个相邻面上的图案，要求在展开图中找到对应位置。

（二）长方体的展开图【重要】

长方体有6个面，通常每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）。

1、基本特征与分类

长方体的展开图也遵循与正方体类似的结构，但由于其面的大小不完全相同，因此对展开图的结构要求更为严格。展开图必须由三组全等的长方形（每组两个）构成，并且这些长方形在拼接时必须能保证相对的棱长度相等。

2、与正方体展开图的异同点【易错点】

（1）相同点：展开图的基本结构类型（如一四一、二三一等）同样适用于长方体，但具体形状由长方体的尺寸决定。

（2）不同点：正方体的所有面都是全等的正方形，而长方体的面有长、宽、高的区别。因此，在判断一个长方形组成的图形是否为长方体的展开图时，除了结构要正确外，还必须验证棱长的对应关系。例如，一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么在展开图中，所有标注为“长”的棱长度必须都是a，所有标注为“宽”的棱长度必须都是b，所有标注为“高”的棱长度必须都是c。这一点是长方体问题特有的考点。

（三）圆柱的展开图【基础】

圆柱由三个面组成：两个底面（圆形）和一个侧面（曲面）。

1、侧面展开图的形状【高频考点】

圆柱的侧面沿一条高剪开后，展开得到的是一个长方形（或正方形，当底面周长等于高时）。这个长方形的一条边等于圆柱的底面周长，另一条边等于圆柱的高。

2、底面与侧面的位置关系

在展开图中，两个底面圆形通常位于侧面长方形的两侧，且与长方形的相应边相切。有时也会采用其他剪开方式，但最常见的就是这种“长方形+两边两个圆”的排列方式。

（四）圆锥的展开图【基础】

圆锥由两个面组成：一个底面（圆形）和一个侧面（曲面）。

1、侧面展开图的形状【高频考点】

圆锥的侧面展开后是一个扇形。这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。

2、底面与侧面的位置关系

在展开图中，底面圆形与扇形相切，通常位于扇形的弧边上。扇形的圆心角大小由底面半径和母线长共同决定。

（五）棱柱的展开图（以三棱柱、四棱柱为例）【重要】

棱柱的特点是上下底面是全等的多边形，侧面是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）。

1、三棱柱的展开图

三棱柱有5个面：2个全等的三角形底面和3个矩形侧面。其展开图通常是一个大矩形被分割成三个小矩形（侧面），两个三角形分别位于这个大矩形的两侧（或上下），并且三角形的每条边必须与相应侧面的对应边长度相等。

2、棱柱展开图的规律

（1）侧面展开图是一个大矩形（或平行四边形），其一边长是棱柱的底面周长，另一边长是棱柱的高。

（2）底面多边形位于侧面展开图的两侧，且与侧面的相应边相接。

（六）棱锥的展开图（以四棱锥为例）【了解】

棱锥的特点是有一个底面（多边形）和若干个侧面（三角形），所有侧面交于一个公共顶点（锥顶）。其展开图通常以底面为中心，周围环绕着若干个三角形（侧面）。每个三角形的一条边与底面的边相等，另一条公共边（即侧棱）长度相等（正棱锥中）。

三、考点、考向与解题策略

（一）常见题型与考查方式【总览】

本专题的考查形式灵活多样，常见于选择题、填空题，偶见于解答题或作图题。主要考查学生对空间图形的认识、想象和推理能力。

1、辨别与判断型

（1）识别展开图：给出一组由多个相同小正方形组成的平面图形，要求判断哪些是某个特定几何体（如正方体）的展开图。

（2）识别几何体：给出一个展开图，要求判断它折叠后能形成哪个立体图形。

2、特征与对应型

（1）寻找对面或邻面：在正方体的展开图中，给定一个面，要求找出与它相对的面或相邻的面。常结合数字、字母或图案进行考查。

（2）图案或标记的对应：在正方体的表面画上不同的图案、数字或箭头，给定一个立体图形，要求找出其对应的展开图，或者反之。此类问题难度较大，需要综合考虑图案的方向和位置关系。

3、计算与应用型

（1）最短路径问题：在几何体的表面上，求两点之间的最短路径。解决方法是将几何体的表面展开成平面，利用“两点之间线段最短”的原理来求解。【重要考点】

（2）面积与周长计算：根据展开图，计算几何体的表面积或侧面积，或根据展开图给出的尺寸反推几何体的棱长、高等。例如，已知圆柱侧面展开图的长和宽，求圆柱的底面直径。

（3）包装与设计问题：结合生活实际，如设计一个长方体包装盒，使其展开图满足一定的尺寸要求，并计算所需材料的面积。

（二）核心考点深度剖析

1、考点一：正方体展开图的识别与判断【★★★★★】

【考向分析】此考点是基础，主要考查学生对11种基本图形的熟悉程度以及排除干扰项的能力。题目往往会在图形中加入“田”、“凹”、“L”等典型错误结构来设置陷阱。

【解答要点】

（1）计数：首先确认图形是否由6个小正方形组成。

（2）排错：快速扫描图形中是否出现“田”字格、“凹”字形、或“7”字形（即三个正方形构成一个直角拐弯，且旁边没有其他面填补）等无效结构。

（3）定型：若图形结构规整，尝试将其归入“一四一”、“二三一”、“二二二”、“三三”等大类中，从而确认其正确性。

2、考点二：正方体表面相对面与相邻面的确定【★★★★★】

【考向分析】此考点是重中之重，常考常新。可以单独命题，也可以与图案、数字、方位词结合命题。难度层次分明，基础题直接套用“间隔法”，中高档题则需要综合运用“Z字法”和空间旋转想象。

【解题步骤与易错点】

（1）步骤一：确定基准面。无论题目如何变化，通常选择一个特征最明显或带有标记的面作为基准。

（2）步骤二：寻找对面。熟练运用“同行或同列隔一个”以及“Z字形两端”的方法，快速锁定与基准面相对的面。

（3）步骤三：分析邻面。确定对面后，剩下的四个面就是邻面。但邻面之间的位置关系（如上、下、左、右）需要结合它们在展开图中的原始位置，通过折叠过程中的旋转来判断。

（4）【易错点1】：“Z字法”误用。学生容易把不是严格“Z”字形路径的两个面也当作相对面。必须确保两个面分别位于“Z”字的两个远端，且中间的连接路径是连续的、只经过一个“转折点”。

（5）【易错点2】：忽略图案方向。当题目中涉及箭头、字母等具有方向性的图案时，学生往往只关注了哪个面，而忽略了图案在折叠后方向是否发生旋转。例如，一个箭头在展开图中指向右，折叠到立体图形的侧面后，它可能指向前、后或上，具体取决于折叠方式。

3、考点三：带图案或标记的正方体展开与折叠【★★★★】【难点】

【考向分析】这是对学生空间想象能力的综合考验。题目通常会给出一个正方体的三种不同摆放方式，或者给出一个展开图并标明几个面上的图案，要求判断折叠后图案的相对位置是否正确。

【解题策略】

（1）排除法【非常重要】：这是最常用且高效的解题技巧。根据“相对面不能相邻”的原则，首先排除那些在展开图中原本相对，但在立体图形中却出现在相邻位置上的选项。再根据“相邻面关系固定”的原则，检查立体图形中三个相邻面上的图案，其相互位置关系（如哪个在左，哪个在上）是否与展开图一致。

（2）固定面旋转法：选择一个在立体图形和展开图中都能明确识别的面作为“基准面”。想象将展开图以这个基准面为底（或前）开始折叠，逐步构建出整个立体图形，然后与题目给出的立体图形进行比对。

（3）公共点判断法（高级技巧）：对于一些图案正好汇聚在同一个顶点周围的情况，可以分析这些图案在展开图中围绕该公共点的排列顺序和方向，看其与折叠后立体图形中该顶点周围的情况是否吻合。

4、考点四：其他几何体的展开图及应用【★★★】

【考向分析】主要考查圆柱、圆锥、棱柱的侧面展开图形状及相关计算，常与面积、周长、最值问题结合。

【解答要点】

（1）圆柱：牢记侧面展开图是长方形，长=底面周长C，宽=高h。求最短路径时，常将侧面展开，将曲面上的曲线转化为平面上的直线。

（2）圆锥：牢记侧面展开图是扇形，弧长l=底面周长C，半径R=母线长L。涉及圆心角θ时，有关系式θ/360°=底面半径r/母线长L，或C底面=2πr=(θ/360°)*2πL。

（3）棱柱：侧面展开图是长方形（直棱柱），长=底面周长，宽=高。计算表面积时，等于侧面积加上两个底面积。

（三）解题思想方法归纳【思想升华】

1、分类讨论思想

在探索正方体展开图有多少种时，运用了分类讨论思想，按照中间一层正方形的个数将其分为四类，有序地找出所有可能，避免了重复和遗漏。在解决复杂折叠问题时，有时也需要对不同的折叠方式或基准面进行讨论。

2、转化思想

这是本专题最核心的思想。“化立体为平面”用于研究展开图、计算表面积、求表面最短路径；“化平面为立体”用于判断折叠结果、还原几何体。通过这种转化，将复杂的空间问题转化为学生相对熟悉的平面几何问题来解决。

3、数形结合思想

将抽象的几何体形状与其展开图中的数量关系（如棱长、周长、面积）结合起来。例如，通过展开图中给出的线段长度，计算出几何体的表面积或体积。在解题时，要养成在图形上标注已知数据的习惯，让图形“说话”。

4、模型化思想

熟记正方体的11种展开图模型，以及圆柱、圆锥侧面展开图的基本模型，可以帮助学生快速识别和判断，提高解题效率。遇到新问题，可以尝试将其与已知模型进行类比。

四、易错点与难点突破

（一）易错点汇总与剖析

1、对展开图概念理解不清

【错误表现】认为一个立体图形只有一种展开图。

【原因分析】忽视了剪开棱的不同选择会导致展开图形状的不同。

【正确理解】同一个立体图形，由于剪开的棱不同，可以得到多种形状的平面图形，但它们都能折回原立体图形。

2、误判正方体的展开图

【错误表现】将含有“田”、“凹”、“L”形结构的图形误认为是正方体的展开图。

【原因分析】缺乏动手操作或空间想象经验，只关注了面的数量，忽略了面的连接方式是否合理。

【突破对策】牢记11种标准图形，并通过“折一折”的实践活动或借助软件演示，深刻理解“田”等结构为何不能折叠成正方体（折叠时会产生面重叠或无法围拢）。

3、寻找相对面时出错

【错误表现】在应用“Z字法”时，找错了“Z”字的两端，或者忽略了“Z”字路径必须是连续的、不穿过其他面的。

【原因分析】对“Z字法”的适用条件理解不深，机械套用。

【突破对策】多画图，多练习，在复杂的展开图中亲手描出不同的“Z”字路径。明确“Z字法”的核心是找到两个面，它们之间存在一条只拐一个弯的路径，且这两个面分别位于路径的起点和终点。

4、忽视图案的方向性

【错误表现】在判断带图案的正方体折叠问题时，只关注了图案在哪个面上，而忽略了图案本身的方向（如箭头指向、字母的朝向）。

【原因分析】空间旋转想象能力不足，未能考虑到图案会随着面的旋转而改变方向。

【突破对策】以图案本身为参照物。例如，如果图案是“↑”，那么要关注它指向的是哪个邻面。在脑海中或草稿纸上，选择一个面固定，然后一步步折叠其他面，同时旋转图案到正确方位。

5、混淆几何体的棱长对应关系

【错误表现】在解决长方体展开图问题时，未能正确区分长、宽、高，导致计算错误。

【原因分析】对长方体棱的特征认识不清，在展开图中找不到长、宽、高的对应线段。

【突破对策】在长方体的展开图上，用不同颜色的笔或不同符号标出所有长度等于“长”、“宽”、“高”的棱。牢记“长、宽、高”各有4条，它们在展开图中可能会分布在不同的位置。

（二）难点突破策略

难点一：如何在复杂展开图中准确找到指定面的相对面或邻面？

【策略】综合运用多种方法。先整体观察图形结构，判断其属于哪种类型（如一四一型）。对于“一四一”型，中间一行的四个面，两两相对（第一个对第三个，第二个对第四个）；上下两个面相对。对于其他类型，“Z字法”是首选。如果“Z字法”不易找到，可以采用“排除法”：先找出所有与指定面有公共边的面（直接邻面），那么剩下的唯一一个面（在6个面中）就极有可能是其相对面，再验证其合理性。

难点二：如何解决表面涂色或带图案的立方体问题？

【策略】此难点在于需要动态旋转。核心技巧是“选定基准，逐面还原”。以题目中立体图形的一个面（比如正面）为基准，在展开图中找到这个面。然后，根据立体图形中各个面之间的上下左右关系，想象展开图中的这个面被固定后，其周围的面向什么方向折叠，并检查图案位置和方向是否与立体图形一致。如果立体图形给出了三个不同方向的视图，可以综合利用它们提供的信息，用排除法快速剔除错误选项。

难点三：如何求解几何体表面的最短路径问题？

【策略】关键是将立体问题平面化。

1、确定起点和终点所在的表面。

2、考虑几种可能的路径展开方式。通常，起点和终点位于不同的面上，需要将它们所在的几个面展开到同一个平面上，且展开方式要使得连接起点和终点的线段不穿过几何体的内部。

3、画出相应的展开图，连接起点和终点，得到一条线段。

4、利用勾股定理等平面几何知识计算这条线段的长度。

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